§4.1数学期望

引例 例如：某7人的高数成绩分别为90，85，85，80， 80，75，60，则他们的平均成绩为 以频率为权重的加权平均

离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量的概率分布为 随机变量X的数学期望，记作E(X)，即

例1 已知随机变量X的分布律： 求数学期望E(X). P 4 1/4 5 1/2 6 求数学期望E(X).

连续型随机变量的数学期望的引出 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 <x1 < x2 < …，则 X 落在小区间 [ xi , xi+1) 的概率是： 阴影面积近似为 小区间[xi , xi+1 )

变量近似，该离散型随机变量的数学期望为： 在区间[ xi , xi+1 )中 ，X 与以概率 取值 xi 的离散型随机 阴影面积近似为 这正是 的渐近和式. 小区间[xi , xi+1 )

连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的概率密度为

若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p 0-1分布的数学期望 X服从0-1分布，其概率分布为 P(X=1)=p X P 0 1 1-p p P(X=0)=1- p 若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p

泊松分布的数学期望 分布律

均匀分布的期望 分布密度

正态分布的期望 分布密度

指数分布的期望 分布密度

一维随机变量函数的数学期望 设 是随机变量 X的函数, 离散型 设X的概率密度为 连续型

例2 已知随机变量X的分布律： 求数学期望E(X2). P 3 1/3 2 1/2 6 1/6 求数学期望E(X2).

服从 例3已知 上的均匀分布，求 的数学期望。 解

二维随机变量函数的数学期望 设 是随机变量 X,Y的函数, 离散型 连续型 设联合概率密度为

(X,Y)为二维离散型随机变量 (X,Y)为二维连续型随机变量

设(X,Y)的联合密度为 例4 求E(Y).

例5 设相互独立的随机变量X,Y的密度函数分别为 求E(XY). 解

数学期望的性质 当X和Y相互独立时，

二项分布X~B( n, p )的数学期望 二项分布可表示为 个0-1分布的和 若X~B( n, p )，则E(X)= np

(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). 例6 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). Xi P 0.920 1 1-0.920

例7 在一群体中普查某种疾病, 为此要抽检N个人 的血, 可以用两种方法进行. (1)将每个人的血分别 去验, 这就需要验N次 例7 在一群体中普查某种疾病, 为此要抽检N个人 的血, 可以用两种方法进行. (1)将每个人的血分别 去验, 这就需要验N次. (2)按k个人一组进行分组, 把 从k个人抽来的血混合在一起进行检验, 如果这混 合血液呈阴性反应, 就说明k个人的血都呈阴性反 应, 这样k个人的血就只需要验一次. 若呈阳性, 则 再对这k个人的血液分别进行化验. 这样, k个人的 血总共要化验k+1次. 假设每个人化验呈阳性的概 率为p, 且这些人的试验的反应相互独立. 求在这种情况下所需要的平均化验次数？

§4.2 方差

引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的 环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 哪一个射手的技术较好？ 首先比较平均环数 甲 = 8.3 乙 = 8.3

再比较稳定程度 甲： 乙： 乙比甲技术稳定，故乙技术较好.

则称它为X的方差，记作D(X)或Var(X). 均方差（标准差） 与 有相同的量纲

若c为常数 DX=0的充分必要条件为P{X=EX}=1

离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的概率分布为 连续型随机变量的方差 设连续型随机变量X的分布密度为f (x)

例1 随机变量的分布列如下 X P 4 5 6 1/4 1/2 1/4 求D(X) 解 E( X )=5

例2 已知 X 的密度函数为 其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5. 求 A ,B. 设 Y = X 2, 求D (Y ).

解 (1)

（2）设 Y = X 2, 求D (Y ).

0-1分布的方差 X P 0 1 1-p p

泊松分布的方差 分布律

均匀分布的方差

指数分布的方差

正态分布的方差

相互独立时 当随机变量X,Y

方差的性质 c为常数 为常数 相互独立时 当随机变量X,Y 当随机变量Xi 相互独立时

二项分布的方差 相互独立

常见分布及其期望和方差 分布名称 数学期望E(X) 方差D(X) 0-1分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布

标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都 存在, 且D(X )  0, 则称 为X的标准化随机变量.

例3 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次 为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶 的概率为 p , 求E(X ), D(X ). 解 令 X i 表示击中目标 i-1 次后到第 i 次 击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n 相互独立，且

§4.3协方差和相关系数

X ,Y 的协方差 若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称 为X ,Y 的相关系数

X ,Y 相互独立

例1 设 (X,Y) 的联合分布列为 求 X与Y 的协方差与相关系数. 1 1 Y 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 求 X与Y 的协方差与相关系数. 解: E(X) = 0 E(XY) = 0 Cov(X, Y) = E(XY)E(X)E(Y) XY = 0

例2(X, Y) 的密度函数为 求 X,Y 的相关系数. 解:

协方差的性质

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 求D(2X-3Y+8). 解: D(2X-3Y+8)=D(2X)+D(3Y) -12cov(X,Y) =4D(X)+9D(Y)-12cov(X,Y) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Cauchy-Schwarz不等式 的充要条件是存在常数a0，b，使得

的充要条件是存在常数a≠0，使得 P{Y=aX+b}=1 rXY是一个可以用来表征X,Y之间线性关系紧密 程度的量. 当|rXY |较大(小)时, 通常说X,Y线性相 关的程度较好(差); 当rXY =1时, X与Y 线性正相关； 当rXY =−1时, X与Y 线性负相关； 当rXY =0时, X与Y不存在线性相关关系，此时称 X与Y不相关.(X与Y只是没有线性关系，不排除 有非线性相关关系)

例5 设X~U(-0.5,0.5)，Y=cosX X与Y不相关. X与Y不独立. X与Y具有关系Y=cosX.

独立是指没有任何关系， 不相关是指没有线性相关关系. X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 但是，若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 注1：若(X,Y)~N(1,σ12, 2,σ22, ),则X和Y的相关系数为r. 注2：若(X,Y)~N(1,σ12, 2,σ22, )，则X和Y独立的充要条件是r=0. 独立 不相关

X , Y 不相关 X ,Y 相互独立 X ,Y 相互独立 X ,Y 相关 X , Y 不独立 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关

例6 设 (X, Y) 的联合密度函数为 判断 X与Y 相关性与独立性. X与Y相关. X与Y不独立.

例7 设 (X, Y) 的联合密度函数为 判断 X与Y 独立性与相关性. X与Y不相关. X与Y不独立.