統計網路學習館 線性迴歸
前言 大學 預測 聯考 成績 我們常問像下面的問題：能不能由高中生的IQ成 績預測大學聯考成績？是否能由大學聯考數學成 績預測大一微積分成績？ 大學 聯考 成績 預測
如果散佈圖顯示兩個變數之機有直線相關，那麼我們就可以藉由在散佈圖中畫條直線，來對它做概述。 迴歸分析就是對兩變數間的關聯做概述，但條件是：其中一個變數（自變數）可以用來解釋或預測另一個變數（因變數）。
簡單線性迴歸 迴歸的主要目的是做預測，目標是發展一種以一 個或多個自變數的數值來做為因變數預測的方法。 在此我們僅介紹「簡單線性迴歸」模式：就是只 用一個自變數去預測因變數的模式方程式如下： 其中x表自變數，y表因變數 表迴歸線在y軸上的截距，就是當x ＝0時的y值 表迴歸線的斜率，就是x增加一個單位時y改變 的量
最小平方法 當我們針對某問題，收集了兩個變數的數值資料後，便可求出迴歸式。但該如何求出 、 ？ 當我們針對某問題，收集了兩個變數的數值資料後，便可求出迴歸式。但該如何求出 、 ？ 有許多不同方法可以求得，而在迴歸分析上，最常用的是「最小平方法」。 利用最小平方法的概念，可求得 其中Sx、 Sy分別代表兩組資料的標準差
最小平方迴歸直線 y對x的最小平方迴歸直線，是使得所有資料點距 離直線的鉛直距離平方和為最小的距離。圖示如 下： x軸 y軸 迴歸直線 距直線的鉛直距離
範例一 某汽車公司想了解廣告費x對銷售量y的影響，收集過去12 年的資料如下，求汽車銷售量y對廣告費x的迴歸線？ 年代 73 74 75 76 77 78 銷售量y (輛) 1000 1100 1250 1280 1360 1480 廣告費x (萬元) 510 550 600 580 700 750 年代 79 80 81 82 83 74 銷售量y (輛) 1500 1720 180 1890 2100 2200 廣告費x (萬元) 860 930 1050 1030 1200 1320
解答 所以迴歸線為 其表示廣告費x增加1萬元時，汽車銷售量y平均 增加約1.4202輛。
了解迴歸分析的意義 預測根據的是對資料配適的某個「模式」 模型配適得離資料點越接近的，預測結果越好 預測超出有資料點的範圍是很靠不住的
怎樣應用迴歸式(1/3) 做描述用— 利用迴歸建立模式 後，就可用來描 述x是如何影響y。如迴歸式為 ，則不 利用迴歸建立模式 後，就可用來描 述x是如何影響y。如迴歸式為 ，則不 但知道x增加y就會減少，而且知道每增加一個單 位x ，就平均減少二個單位y 。
怎樣應用迴歸式(2/3) 做預測用 — 預測對企業是很重要的課題，因它可幫助企業做規劃。 如成大公司想知道林地內一棵樹的體積是否夠大，以便 決定是否砍下賣出。但是一棵樹未砍下時其體積很難算 出，必須砍下後才能量的精確，不過如果砍下後發現其 體積不足，不能當建材有些可惜，因此，如果能建立一 模式在未砍下前就能預測其體積，有其經濟效益。預測 方法之一是由已砍下的一些樹，量測在樹高1公尺地方的 直徑x做預測變數，體積y做準則變數，收集幾棵樹的資料 後建立y對x的迴歸模式後就能做預測。
怎樣應用迴歸式(3/3) 做控制用 — 控制與預測剛好相反，預測是給定輸入x求輸出y，而控制 則是欲得輸出y，求應放什麼樣的輸入x。如某公司年底想 做促銷活動，利用媒體做廣告，但到底要投入多少廣告 費才能使銷售量到達10000件，據過去8年的經驗，建立 銷售量y與廣告費x（單位：萬元）之間的關係式為： 則由上式知y＝10000時，求出x＝500 ，即需要投入500萬 元的廣告費才能得到銷售量10000件。
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