第五章 二项分布和Poisson 分布及其应用
第一节 二项分布及其应用
学习要点： 1.二项分布和Poisson分布的定义、性质及概率分布图 2.二项分布和Poisson分布的应用及条件
第一节 二项分布及其应用 一、离散型随机变量及其概率分布列
离散型随机变量：假如用3只小白鼠作一定剂量某种毒物的毒性试验，那么试验后3只小白鼠“死亡数X”的可能取值能够一一列出，分别为0，1，2，3。这种可能取值能够一一列出的随机变量称为离散型随机变量。其概率分布特征 见表5.1。
二、二项分布的基本概念 (一)贝努利试验序列 特点： 1.每次试验的结果只能是两种互斥结果中的一种(A或者非A)； 2.各次试验的结果互不影响，即各次试验独立；
3.在相同试验条件下，各次试验中出现某一结果A具有相同的概率π(非A的概率为1-π)。 满足上述3个条件的n次试验构成的序列称为贝努利(Bernoulli试验序列。
(二)二项分布(binomial distribution) 的定义 贝努利试验序列中结果A出现次数的概率分布就是二项分布。
例5. 1 设小白鼠接受一定剂量某种毒物时，其死亡率为80％，对于每只小白鼠来说其死亡概率为0. 8，生存概率为0 例5.1 设小白鼠接受一定剂量某种毒物时，其死亡率为80％，对于每只小白鼠来说其死亡概率为0.8，生存概率为0.2。若以甲、乙、丙3只小白鼠逐只实验，则3只小白鼠中的死亡数X服从二项分布。下面就小白鼠的死亡情况进行分析(见表5.2)。
（三）二项分布的累计概率 结果A最多有K次发生的概率： （5.3）
结果A最少有K次发生的概率： （5.4）
例5.2 经统计，某省用“中药阑尾炎合剂”治疗急性阑尾炎性腹膜炎的有效率为86％，试分别估计： ①治疗10例中至少9例有效的概率； ②治疗10例中至多7例有效的概率。
(五) 二项分布的图形
三、二项分布的应用 (一)样本率
(二)总体率的区间估计 1.正态近似法 当n足够大，p和1-p均不太小时 ， 可信度为1-α的可信区间： （p-uasp,p+uasp）
例5.4 某医院用复方当归注射液，静脉滴注治疗脑动脉硬化症188例；其中显效83例，试估计复方当归注射液显效率的95％可信区间。
2.查表法 n≤50，特别是p很接近0或1时，附表3列出了总体率的95％和99％可信区间。
例5.5 从某学校随机抽取26名学生，发现有4名感染沙眼，试求该校沙眼感染率95％的可信区间。 本例n=26，X=4，查附表3的可信度为95％的可信区间为(0.04，0.35)，即(4％，35％)。
n≤50，特别是p很接近0或1时，附表3列出了总体率的95％和99％可信区间。
(三)单个总体率的假设检验 主要是推断样本所代表的总体率π与一个已知总体率π是否相等。 1.直接计算概率法
例5.7 一种鸭通常感染某种传染病的概率是0.2，现将一种药物注射到25只鸭后发现有1只鸭发生感染，试判断这种药物对预防感染是否有效。
假设： Ho：此药物对预防感染无效，即 π=0.2 H1：此药物对预防感染有效，即 π<0.2 单侧：a=0.05
在Ho成立的前提下，25只鸭中感染的只数X～B(25，0.2)，则有
2.正态近似法 当n足够大且π既不接近于0也不接近于1时，样本率p近似服从正态分布，利用正态分布理论可得：在Ho：π=πo成立的前提下，得到检验统计量为 （5.12）
例5. 9 根据以往经验，一般胃溃疡患者有20％发生胃出血症状。现观察某医院65岁以上溃疡病人304例，有31 例5.9 根据以往经验，一般胃溃疡患者有20％发生胃出血症状。现观察某医院65岁以上溃疡病人304例，有31.6％发生胃出血症状，问老年胃溃疡患者是否较容易出血？
假设 Ho：老年胃溃疡患者出血率等于 一般胃溃疡患者， 即π=0.2 H1：老年胃溃疡患者出血率高于一般胃溃疡患者， 即π >0.2 单侧α= 0.05
本例，n=304，p=0.316，π0=0.2，则有