比和比值 黃琮聖 林姿均

（一）對等關係：比 （五）對等問題 （六）比值 （二）最簡單整數比 （七）比例尺的意 義及表示法 （三）線段圖 （四）正整數的倒 數問題 （八）成正比例和 反比例

（一）對等關係：比 對等關係是指兩數量Ａ、Ｂ之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量Ａ與Ｂ有對等關係。 在數學上有人用有序數對（Ａ，Ｂ）來表示，也有人用「比」的符號「Ａ：Ｂ」來表示

例如: 張三的鐵線是10公尺長重10公斤，李四的鐵線是20公尺長重18公斤，而王五的鐵線是15公尺重16公斤，…。上述各個例子的描述，皆產生一個對等關係，10公尺對10公斤，20公尺對18公斤，15公尺對16公斤，…。 記成「10：10」、「20：18」及「15：16」等等。

依據情境（語意）的不同，對等關係可以分為下列四類： （1）    若兩數量Ａ及Ｂ為同類量（被測量的性質相同），且Ａ與Ｂ都是同一全體量中的部分時，可稱為一種組合的對等關係。 （2）    若此兩數量為同類量，且一數量是全體量，另一數量是全體量的部分量時，可稱為一種母子的對等關係。 （3）    若Ａ、Ｂ分別描述兩個（堆）物件，於某種因素（性質），使這兩個（堆）物件具有相同的價值，可以交換，而形成Ａ與Ｂ的對等關係，則可稱為一種交換的對等關係。 （4）    若Ａ、Ｂ不為同類量，且此兩數量是描述同一物件的不同性質，Ａ、Ｂ的比值是做為密度的描述時，Ａ與Ｂ間的關係，可稱為一種密度的對等關係。

這四種類型的對等關係分別舉例如下： 1.組合：一種親子遊戲3個小孩需要2個大人來協助，有15個小孩將參加遊戲，需要多少大人來協助？ 2.母子：成衣廠裡包裝襯衫，每1打中有4件藍襯衫，要包裝 6打需要幾件藍襯衫？ 3.交換：小明想知道用幾部舊小汽車可以換3個布偶，而他是拿了14部舊小汽車換到了6個布偶。算算看，用幾部舊小汽車可以換3個布偶？ 4.密度：3公升的水重3公斤，幾公升的水重10公斤？

（二）最簡單整數比 用比的方式（Ａ：Ｂ）來描述對等關係時，如果比的前項與後項，都是整數，則稱之為一個「整數比」。當存在無限多個等價的比時，其中一個前、後項數值為最小的整數比，稱之為此等價類的「最簡單整數比」，而最簡單整數比的前項與後項具有互質的特性。

（三）線段圖 使用不同的表徵形式來表現一個數學物件，是數學能力的一項指標，反映能由不同的觀點來掌握此數學概念。線段圖是圖象表徵的一種，使用線段圖來表現文字描述的問題，常能使問題中數量間的關係具體化

例： 有15個橘子，每5個裝在1個盤子上，共需要幾個盤子？ 用數線表示 5個 15個 1 □ 5個 15個 □ 1

（四）正整數的倒數問題 如果只考慮有理數系對乘法運算而言，一個數的乘法反元素又稱為倒數。 有時為了避免觸及太抽象的數學定義，有些數學的書本也作以下的定義：一個不為零的數ａ，在數學上直接定義ａ的倒數是1/a。 例如「5條藍線和1條紅線一樣長時，問1條藍線和幾條紅線一樣長？」的問題中，答案1/5即為5的倒數

（五）對等問題 雖然做為基礎的對等關係（Ａ：Ｂ）與被製作出來的對等關係（Ａm：Ｂm），可以記作「Ａ：Ｂ＝Ａm：Ｂm」，但是此時的等號可能只具備「變成」的語意，而不必然是表示等價關係，如同在初次引入「2＋3＝5」 的紀錄時，等號是「得到」的意義，而非「2＋3」與「5」等價的意義。

例如： 「8個蘋果賣100元，多少個蘋果會賣25元？」的對等問題，是以「8個蘋果賣100元」的對等關係為基礎，來推論（製作）「2個蘋果賣25元」，為了討論的方便，用「8：100＝X：25」來代表這個問題，等號之前的對等關係「8：100」稱為「前比例項」，而等號之後的對等關係稱為「後比例項」

（六）比值 一個分數是等分割活動下的數量名，對於一個分量，由於對單位量進行不同份數的等分割，而產生不同的等值分數，例如：6/8盒和3/4盒蛋糕是不同的分數，但是兩者是等值的，數學上亦記為6/8＝3/4，當和 3/4等值的所有分數成為一個等價類，而用最簡分數3/4來代表這一個等價類，在數學上把這一個等價類所成的集合稱為有理數。

比值的表示法： 位名 十分位 百分位 千分位 萬分位 整數 1 分數 （1） 1/10 1/100 1/1000 1/10000 小數   十分位 百分位 千分位 萬分位 整數 1 分數 （1） 1/10 1/100 1/1000 1/10000 小數 0.1 0.01 0.001 0.0001 百分率 100% 10% 1% 0.1% 0.01% 相比之率 10成 1成 1分 1厘 1毛

（七）比例尺的意義及表示法 比例尺是表示縮圖（或擴大圖）上的長度和實際長度的比或比值。縮圖或擴大圖和比例尺，可說完全是比和比值的應用。 比例尺的求法，一般採計算縮圖（擴大圖）和原圖的對應邊長之比，常以1和其擴大（縮小）倍率的比、比值或線段圖表示。例如一張比例尺為「1:1000」的地圖，以比的觀點來看，表示地圖上的1個單位長線段，就是代表實際上的1000個單位長。若單位為公分，則地圖上的1公分，表示實際上的1000公分；以比值的觀點來看，它表示地圖上的1是實際上的1/1000。有些地圖上，比例尺的說明，除了比值或比的形式外，常配以線段圖，例如： 比例尺：參萬分之一 比例尺：1:30000

（八）成正比例和反比例 在數學上對於具有對應關係的兩組數量(x1,x2,....xn)與(y1,y2,....yn)，希望找到某一個特定的函數：y=f(x)，來描述此兩組數量的對應關係，以進一步地用來預測另一個不在觀察資料裡的x，它的對應項y會是什麼。若由函數關係引入「正比例」與「反比例」，對於國小學童而言，由於函數概念尚未成熟，而無法介紹。

把一組數量先取倒數，再求這組倒數和這一組數量的對應項的比的比值，如果這些比值都相同時，稱這兩組數量成「反比例」。從這樣的規定知，可以說甲組數量和乙組數量成「正比例」，也可說是乙組數量和甲組數量成「正比例」，而「反比例」亦同。由比值的觀點引入「正比例」與「反比例」時，由於「正比例」只是單純地判斷對應項的比的比值，故「正比例」的引入先於「反比例」，而「反比例」亦可說是甲組數量的倒數與乙組數量成「正比例」時，甲組數量和乙組數量成「反比例」。

認 識 正 比 例 姿均、琮聖 92.5.30

教學對象分析 授課年級：六年級 授課時間：二節課﹝八十分鐘﹞ 先備知識： 已知比和比值的意義與表示法。

【灌籃高手】櫻木花道正和流川楓比賽投籃，已知每投進一顆「小人物上籃」（三步上籃）可得2分，投進兩球的話就有4分，身為記分員的你，可以怎麼樣幫助櫻木花道寫下個人投籃紀錄呢？（把記法寫下來） 我一定會贏過流川楓的~ 省省吧… 複習舊經驗（比的意義與記法）

隨著櫻木花道「小人物上籃」進球數的增加，我們發覺分數漸漸有了變化。再想一想，進球數和得分數之間可能有什麼樣子的關係呢？試著求出比值看看並且畫出關係圖。你發現了什麼？ 進球數（個） 1 2 3 4 5 得分數（分） 6 8 10 比值   我不會認輸的… 看我的小人物上籃… 進球數 得分數 關係洞察（正比例關係）

 比賽正如火如荼的展開著，在一旁的宮程良田和三井壽竟交換起東西來了，宮程拿了12本舊漫畫書跟三井壽換了3本雜誌過來。   赤木剛憲說： 「嗯…我也要拿13本舊漫畫來， 這樣就可以換到4本雜誌了。」   彩子說： 「12本舊漫畫的『價值』 是比3本雜誌的『價值』多的。」 晴子說： 「舊漫畫兌換雜誌的比是12：3」 你 們 在 幹 嘛 ！

請問誰的說法才是正確的呢？ □赤木剛憲 □ 彩子 □ 晴子 你的理由是 __________________ ◎先由小組討論看看 □赤木剛憲 □ 彩子 □ 晴子 你的理由是 __________________ ◎先由小組討論看看 正誤區辨 （比例的涵義與其代表意義）

說說看，你的理由是 ____________ 比賽到一半，中場休息了，晴子貼心地到頂好超市幫大家買一些運動飲料，她發現其中有4瓶裝飲料賣60元，8瓶裝飲料賣120元，還有12瓶裝飲料賣168元，晴子想了一下：它們的價錢隨著數量的增加而增加，所以它們是成比例的、是一致的？所以買哪一種包裝都差不多？ 你覺得晴子的想法對不對呢？  □對 □不對  說說看，你的理由是 ____________ 概念確認 （比例的概念）

上半場比賽終了，已知目前戰況是櫻木花道9次投籃中進了5次，流川楓18次投籃中進了10次。 晴子說： 「流川楓比較厲害， 因為他投進了10球大於櫻木的5球。」  三井壽說： 「櫻木投籃數和進球數的比是9：5， 流川楓是18：10。」  安西教練說： 「9：5 = 18：10。 這二人進球的比值是一樣的，所以是相同的比。」

請問誰說得對呢？ 理由是 _______________________ ◎小組分享一下 □ 晴子 □三井壽 □安西教練 請問誰說得對呢？  □   晴子 □三井壽 □安西教練  理由是 _______________________ ◎小組分享一下 概念再製（比的基準和比較量）

六十分鐘比賽結束，櫻木花道後來是輸給了流川楓，最後的懲罰是擦拭球隊中所有的籃球（包含洗）。若櫻木以每5分鐘可以清潔3顆球的速度來看，球隊中總共有30顆的籃球，櫻木需要花多少時間來清潔這些球呢？ 赤木剛憲說： 「5分鐘3顆球… 是5：3； 30顆籃球的話， 是30：18， 所以要花18分鐘。」 宮程良田說： 「5分鐘3顆球… 是5：3； 30顆籃球的話， 是50：30， 所以要花50分鐘。」

請問誰說的對呢？   □ 赤木剛憲 □ 宮程良田 你的理由是：__________________ ◎小組討論 概念應用

你也可以舉出在我們日常生活中，成正比例的例子嗎？ 試試看… 教學完畢（正比例）