三角形的内角 淄博十五中 孟庆云

三角形三边的关系是什么？ 三角形的三个内角和是多少? 有什么办法可以验证呢? 想一想 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形的三个内角和是多少? 三角形的三个内角等于180° 有什么办法可以验证呢?

做一做 拿出准备的三角形纸片，把三角形的三个内角撕下来，拼一拼，看看能否得到你们的结论。

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问题：有什么方法可以得到１８０° 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗? １．平角的度数是１８０° ２．两直线平行，同旁内角的和 是１８０° 想一想 问题：有什么方法可以得到１８０° １．平角的度数是１８０° ２．两直线平行，同旁内角的和　　　　是１８０° 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?

。 。 ） 证法1： ） 作BC的延长线CD， 在△ABC的外部，以CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行). ∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). A 。 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° E (等量代换) 1 ） 。 ） 2 × × D C B

？ ？ ？ ？ 。 图形相同， 。 画法不同， 证明也不同. 证法2： ） ） 作BC的延长线CD， 过C作CE∥BA， 于是∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ？ ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) ？ 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ？ (等量代换) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° A 。 图形相同， 画法不同， E 证明也不同. 1 ） 。 ） 2 × × B C D

证法3： 过A作EF∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠CAF (两直线平行,内错角相等) 又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180° E F (平角的定义) A ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) C B

证法4： 过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° A E (等量代换) C B

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 思路总结 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和定理: 三角形的内角和等于1800.

例 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。 求下面各题. D B C E 北 80° 50° （1）∠DAC＝＿ ∠DAB＝＿ ∠EBC＝＿ ∠CAB ＝ ＿ 40° 30 ° （2）从C岛看A 、 B两岛的视角∠ C是多少? A 分析:在△A BC中, （1）题中已求得∠CAB ＝ 30 °,求∠C,根据三角形内角和 ,只要先求出∠ABC即可. 解：∵ AD∥BE ∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180° ∴ ∠ABE ＝ 180° － ∠DAB ＝ 180° － 80° ＝100° ∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝100°﹣40°＝60° 在△ABC中， ∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC ＝ 180° － 30 ° － 60 °＝90°

解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N 北 北 D E C N M ∟ 2 1 40 ° 50° B A 解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N 在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC= 50° ∴∠1=180 °- 90°- 50° = 40° ∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 ° ∴ ∠BNC =90° 同理得 ∠2 = 50° ∴ ∠ACB = 180 ° - ∠1 - ∠2=180 °- 40°- 50° = 90°

解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, E 北 A 40° 2 1 50° B F 解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, ∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 ° ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °

练一练 解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 ° 如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°。 从C处观测A、B两处时视角 ∠ACB是多少？ D A B 解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 ° 在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 ° ∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °

2. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°。求∠C的度数。 40 ° 150° A B C 1 2 D 解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180° 在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180° ∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 ° 即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 ° 40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 ° ∴ ∠BCD = 360 °-40 °- 40 °- 150 °=130 °

试一试： 600 600 200 1000 200 1：在△ABC中，∠A=700 ，∠C=500则∠B= 2：在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰5，则∠A= ， ∠B= ， ∠C= 3：在△ABC中， ∠A=1000 ， ∠B= 400 +∠C ，则 ∠C= 600 200 1000 200

（1）一个三角形中最多有 个直角？ 　　为什么？ （2）一个三角形中最多有 个钝角？ （3）一个三角形中至少有 个锐角？ 1 讨论 1 2

这节课你有 那些收获?

三角形的内角 三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是１８０度 推论１：直角三角形的两个锐角互余 推论２：四边形的四个内角和是３６０度

作业 必做题：教材第80页，练习 1 第82页，习题 7.2 2、3 选做题：习题 7.2 　　7、8

敬请各位领导和老师批评指正