第4讲 函数的单调性与最值 考纲要求 考纲研读 1.会求一些简单函数的值域． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 利用函数单调性、图象等方法求 一些简单函数的值域或最值；或 以最值为载体求参数的范围，并 能解决实际生活中的一些优化 问题.

f(x1)>f(x2) 1．函数的单调性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有__________，那么就说 y ＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的______________； 如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1<x2 时，都有________， 那么就说 y ＝ f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的 f(x1)<f(x2) 单调增区间 f(x1)>f(x2) ____________． 单调减区间

f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) 2．用导数的语言来描述函数的单调性 设函数 y＝f(x)，如果在某区间 I 上___________，那么 f(x)为 区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上____________，那么 f(x)为 f′(x)>0 f′(x)<0 区间 I 上的减函数． 3．函数的最大(小)值 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0∈A，使得对于 任意 x∈A，有____________恒成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大 值；如果存在定值 x0∈A，使得对于任意 x∈A，有___________恒 成立，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值． f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0)

1．函数 y＝x2－6x 的减区间是( D ) A．(－∞，2] C．[3，＋∞) B．[2，＋∞) D．(－∞，3] 2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在实数集上是增函数，则( A ) 1 2 1 2 A．k>－ B．k<－ C．b>0 D．b>0

3．已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为( D ) A．[－4,1] C．[－4,1]∪[0,5] B．[0,5] D．[－2,3] 4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的 单调减区间是______________． [0，＋∞) 　　5．(2012年安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________. －6

a x 考点1 利用定义判断函数的单调性 例1：已知函数f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性； 考点1 利用定义判断函数的单调性 a x 例1：已知函数f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数 a 的取值范围．

解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．

【互动探究】 2x x－1 1．试用函数单调性的定义判断函数 f(x)＝ 的单调性． 在区间(0,1)上

考点2 利用导数判断函数的单调性 函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围． 解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题 求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区 间的子区间的关系求解．

　　解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－ax＋a－1. 　　令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1. 　　当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意． 　　当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数． 　　依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0. 　　当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0. 　　所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7， 　　所以a的取值范围是[5,7]．

【互动探究】 ＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_________. m<－1

考点3　 函数的最值与值域 例3：求下列函数的值域：

B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数 解题思路：关于 x 的一次分式函数，可通过求关于 x 的方程 在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)， 观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方 B 程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋ (A， x２－x＋1 B 是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数 或将已知等式化成关于 x 的二次方程，用判别式求函数的值域．

【互动探究】 3．求下列函数的值域：

例题：(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)＝ 易错、易混、易漏 6．求函数的单调区间时没有考虑定义域 例题：(2010 年广东珠海北大希望之星实验学校)函数 f(x)＝ C log2(4x－x2)的单调递减区间是( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(2,4) D．(2，＋∞) 正解：由4x－x2>0 得0<x<4，又由u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4 知函数u 在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数f(x) ＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选C. 【失误与防范】易忽略 x 需满足4x－x2＞0 这个条件．

图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域， 都必须考虑函数的定义域． 求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、 图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域， 都必须考虑函数的定义域．

x 1．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如函 小值，如 y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如 y＝x2； 1 2．并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最 小值，如 y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如 y＝x2； 1 x 有的函数既无最大值也无最小值，如y＝—.