材料力学（乙） 第六章 组合变形 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年5月7日

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 1、概念 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形, 则构件的变形称为组合变形。 （1）若其中一种是主要的，其余变形引起的应力或变形很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。 （2）当几种变形所对应的应力或变形属同一量级时，则构件的变形则需要看成简单变形的组合。

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 2、工程实例 弯拉组合 偏心拉伸 外力平行但偏离轴线 横向载荷＋轴向载荷

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 2、工程实例 弯扭组合：辘轳从深井中提水

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 2、工程实例 压弯组合：吊车吊起重物

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 2、工程实例 吊车立柱 压弯组合：吊车立柱的偏心压缩

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 2、工程实例 弯扭组合

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 2、工程实例 压弯扭组合

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 3、处理组合变形的基本方法：叠加法 内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。 材料线性 材料非线性

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 3、处理组合变形的基本方法：叠加法 1）外力分析 将外力简化并沿主惯性轴分解，将组合变形分解为基本变 形，使之每个力（或力偶）对应一种基本变形。 2）内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险截面。分 别计算每一种基本变形下构件的应力和变形。 3）应力分析 画出危险截面的应力分布图，利用叠加原理将基本变形下的 应力和变形叠加，建立危险点的强度条件。

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 3、处理组合变形的基本方法：叠加法 应力、变形 基本变形1 组合 组合变形 基本变形2 应力、变形 基本变形… 应力、变形

6.1 组合变形和叠加原理（8.1） 3、处理组合变形的基本方法：叠加法 = + = + +

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 1、受力特点 P 图示折杆ABC，已知杆各段的横截面面积均 为A，弯曲刚度均为EI。试求自由端截面C的 水平和铅垂位移。 2P 解： （2）C截面的竖直位移 截面C的竖直位移主要三部分组成： （3）由AB杆压缩变形引起的竖直位移wy3。

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 1、受力特点 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还有横向力。 F1 F2 2、变形特点 杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形。

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 3、示例 F1 F2 Fy F Fx F1 ：产生弯曲变形 F2 ：产生拉伸变形 Fy ：产生弯曲变形  Fy Fx Fy ：产生弯曲变形 Fx ：产生拉伸变形

 6.2 拉（压）弯组合（8.2） 4、内力分析 MZ FN 横截面上内力 1、拉(压) ：轴力 FN 2、弯曲： 弯矩 MZ 剪力 FS x y O z 横截面上内力 MZ 1、拉(压) ：轴力 FN FN 2、弯曲： 弯矩 MZ  剪力 FS 因为剪力引起的切应力较小，故一般不考虑。

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 5、应力分析 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： x y O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ （1）拉伸引起的正应力 FN （2）弯曲引起的正应力 （3）二者方向均垂直于截面

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 5、应力分析 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： 符号： z x O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ FN 符号：

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 5、应力分析 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： 符号： z x O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ FN 符号：

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 5、应力分析 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： 符号： z x O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ FN 符号：

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 6、强度条件 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： x y O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ FN 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其强度条件仍然为

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 6、强度条件 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： x y O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ FN 注意：当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别校核杆件的拉、压强度条件。

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 6、强度条件 MZ (z, y) FN 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： 特别指出： x y O z 横截面上任意一点(z, y)处的正应力计算公式为： (z, y) MZ FN 特别指出： 对于弯曲刚度EI较小的杆，在压缩与弯曲组合变形下，轴向压力引起的附加弯矩较大，且附加弯矩的转向与横向力引起的弯矩同向，此时叠加原理将不再适用。

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.1 F1 F2 F2 + F1l/4 + 轴力 弯矩 杆的危险截面：中间截面 l/2 x 轴力图 弯矩图 +

- 6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.1 F1 F2 F2   拉伸正应力 最大弯曲正应力 l/2 l/2 最大弯曲正应力 杆危险截面下边缘各点为危险点，其拉应力为 -  

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.2 内力：FN，Mmax

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.3 悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度Wz = 237 cm3, 横截面面积A=35.5 cm2，总受力F= 34 kN，横梁材料的许用应力为[]=125 MPa。校核横梁AB的强度。 C 30° A B D F 1.2m 1.2m

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.3 F F FRAy FRAx Fy Fx 解：(1) 分析AB的受力情况 C A B D 30° A B D F 1.2m 1.2m B A D F FRAy FRAx FNBC 30° Fy Fx

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.3 F F FRAy FRAx Fy Fx 解：(1) 分析AB的受力情况 C 解：(1) 分析AB的受力情况 AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形。 30° A B D F 1.2m 1.2m 中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘。 B A D F FRAy FRAx Fy FNBC FNBC 30° Fx

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.3 F F FRAy FRAx Fy Fx 解：(2) 压缩正应力 (3) 最大弯曲正应力 C 解：(2) 压缩正应力 30° A B (3) 最大弯曲正应力 D F 1.2m 1.2m B A D F FRAy FRAx Fy FNBC (4) 危险点的应力 FNBC 30° Fx

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力[t] = 30 MPa ，许用压应力 [c] =160 MPa。试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。 F 350 F 150 50 50 150

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F A=0.015 m2 z0 =0.075 m z1 =0.125 m y z z0 z1 F 350 F 150 50 50 150 解：(1) 确定形心位置 A=0.015 m2 z0 =0.075 m z1 =0.125 m 计算截面对中性轴y的惯性矩 Iy = 5.3110-5 m4

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 z z0 z1 F n F 350 F n n 150 50 My FN 50 150 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力FN及弯矩My

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 由轴力FN产生的拉伸正应力为 z z0 z1 F n F 350 F n n 150 50 My FN 50 150 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 由轴力FN产生的拉伸正应力为

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 z z0 z1 F n F 350 F n n 150 50 My FN 50 150 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 由弯矩My产生的最大弯曲拉应力为

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 z z0 z1 F n F 350 F n n 150 50 My FN 50 150 解：(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 由弯矩My产生的最大弯曲压应力为

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(3) 叠加：在界面内侧有最大拉应力 y z z0 z1 n 350 F n n 150 50 My FN 50 150 解：(3) 叠加：在界面内侧有最大拉应力

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(3) 叠加：在界面外侧有最大压应力 y z z0 z1 n 350 F n n 150 50 My FN 50 150 解：(3) 叠加：在界面外侧有最大压应力

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.4 F F F My FN 解：(4) 因此 y z z0 z1 n 350 n n 150 50

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.5 F=10 kN，l=2 m，e=l/10，a=30，[σ]=160 MPa，选择工字钢型号。 解： （1）计算简图 外力分解，向梁轴简化

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.5 F=10 kN，l=2 m，e=l/10，a=30，[σ]=160 MPa，选择工字钢型号。 解： （2）内力分析

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.5 F=10 kN，l=2 m，e=l/10，a=30，[σ]=160 MPa，选择工字钢型号。 解： （3）截面型号初选 按弯曲强度初步设计（弯曲正应力大于拉压正应力） 选12.6号工字钢, Wz=7.75×10-5 m3 , A=1.81×10-3 m2

6.2 拉（压）弯组合（8.2） 例题6.5 F=10 kN，l=2 m，e=l/10，a=30，[σ]=160 MPa，选择工字钢型号。 解： （4）校核与修改设计 12.6号满足强度要求，否则修改设计。

6.3 弯扭组合（8.4） F3 F4 F1 F2 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） 当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，称为对称弯曲。 F3 F4 F1 F2 对称弯曲要满足的两个条件： 1. 梁要有对称面； 2. 外力要作用在对称面内。

6.3 弯扭组合（8.4） 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） 非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲

6.3 弯扭组合（8.4） 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） 弯曲正应力分析 利用叠加法分析内力与应力 弯曲正应力沿横截面线性分布

6.3 弯扭组合（8.4） 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） 中性轴的位置

6.3 弯扭组合（8.4） 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） 中性轴的位置 中性轴为通过横截面形心的直线 中性轴的方位角为：

6.3 弯扭组合（8.4） 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） θ 中性轴的位置 My与Mz的合成弯矩的方位角 由于截面的 Iy Iz 故   即中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直，因此这种 弯曲也称为斜弯曲。

6.3 弯扭组合（8.4） 1、双对称截面梁的非对称弯曲（斜弯曲） 最大弯曲正应力 σmax发生在离中性轴最远的各点处 矩形、工字形与箱形等 具有外棱角截面：

6.3 弯扭组合（8.4） 例题6.6 Fy =Fz =F =1.0 kN，a=800 mm，截面高h=80 mm，宽b=40 mm，[σ]=160 MPa，校核梁强度。 解： （1）内力分析 危险截面：截面A

6.3 弯扭组合（8.4） 例题6.6 Fy =Fz =F =1.0 kN，a=800 mm，截面高h=80 mm，宽b=40 mm，[σ]=160 MPa，校核梁强度。 解： （2）应力分析 危险点：d, f （3）强度校核

F 6.3 弯扭组合（8.4） 2、弯扭组合 C A 1）研究对象： B a 圆截面杆 l 2）受力特点： 杆件同时承受转矩和横向力作用 3）变形特点： 发生扭转和弯曲两种基本变形

6.3 弯扭组合（8.4） m 3、内力分析 F F 设AB为直径为d的等直圆杆， B端具有与AB成直角的刚臂。 研究AB杆的内力。 C F l a B A 设AB为直径为d的等直圆杆， B端具有与AB成直角的刚臂。 研究AB杆的内力。 将力F向AB杆右端截面的形 心B简化得： 横向力 F（引起平面弯曲） 力偶矩 m = Fa（引起扭转） B A F m x AB杆为弯、扭组合变形

6.3 弯扭组合（8.4） 3、内力分析 画内力图确定危险截面 B A F x B A m x m Fl 固定端A截面为危险截面

F 6.3 弯扭组合（8.4） 4、应力分析 C A B   M   A1 A4 A3 A2 z x A1 A1 A1 A4 T y x z A4 A2 A3 A1  C F A B M A4  A1 A2 A3 T  A3 A4 A2 A1  A1 A3 A2 A4

6.3 弯扭组合（8.4） 4、应力分析    M   A1 A2     A3  A1 A1 A4 A3 A4 A3 x A2  

6.3 弯扭组合（8.4） 4、应力分析  危险截面（A截面）上的最大弯曲 最大正应力发生在A1、A2处。 M 最大扭转切应力发生在截面周边上 的各点处。 T  A3 A4 A2 A1 危险截面上的危险点为A1和A2点。

6.3 弯扭组合（8.4） 4、应力分析  对于许用拉、压应力相等的塑性材 料制成的杆，这两点危险程度是相 同的，可取任意点A1来研究。 M A4  A1 A2 A3 对于许用拉、压应力相等的塑性材 料制成的杆，这两点危险程度是相 同的，可取任意点A1来研究。 A1点处于平面应力状态，该点的单 元体如图示： T  A3 A4 A2 A1 A1  

6.3 弯扭组合（8.4） 5、强度分析 1）主应力计算 对于圆形截面杆有 C1 1）主应力计算   对于圆形截面杆有 式中W为抗弯截面系数，Wt为抗扭截面系数，M、T为危险 截面的弯矩和扭矩。

6.3 弯扭组合（8.4） 5、强度分析 C1 2）根据第三强度理论，求相当应力  

6.3 弯扭组合（8.4） 5、强度分析 C1 3）根据第四强度理论，求相当应力  

6.3 弯扭组合（8.4） 5、强度分析 C1 4）强度校核  

6.3 弯扭组合（8.4） 5、强度分析 5）讨论 是危险点的正应力，是危险点的切应力 C1 5）讨论   是危险点的正应力，是危险点的切应力 该公式适用于图示的平面应力状态，且横截面不限于圆形 截面 ； 该公式适用于弯+扭组合变形、拉（压）+扭转的组合变 形、以及拉（压）+扭转+弯曲的组合变形； 切应力的方向可以不用考虑。

6.3 弯扭组合（8.4） 5、强度分析 5）讨论 W为抗弯截面系数，M、T为轴危险截面的弯矩和扭矩。 C1 5）讨论   W为抗弯截面系数，M、T为轴危险截面的弯矩和扭矩。 该公式仅适用于塑性材料发生弯+扭组合变形时，且其截 面为实心圆截面或空心圆截面。

6.3 弯扭组合（8.4） F2 F1 6、弯拉（压）扭组合 C A 1）研究对象： B a 圆截面杆 L 2）受力特点： 杆件同时承受转矩、横向力和纵向力作用 3）变形特点： 发生拉伸、扭转和弯曲三种基本变形

6.3 弯扭组合（8.4） 6、弯拉（压）扭组合 4）危险截面： 截面A 5）危险点a： 6）应力状态： 单向应力状态 + 纯剪切

6.3 弯扭组合（8.4） 6、弯拉（压）扭组合 7）强度条件：

6.3 弯扭组合（8.4） 例题6.7 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图。AB杆的外径 D=140 mm，内、外径之比α=d/D=0.8，材料的许用应力 []=160 MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。 A B C D 1.4m 0.6m 15kN 10kN 0.8m

6.3 弯扭组合（8.4） 例题6.7 F m 解： 1）将力F向AB杆的B截面形心 简化 AB为扭转和平面弯曲的组合变形。 10kN D A B 15kN 0.6m C 1.4m AB为扭转和平面弯曲的组合变形。 A B F m

6.3 弯扭组合（8.4） 例题6.7 F m + - 解： 2）作出弯矩图和扭矩图 固定端截面为危险截面 A B 15 kN·m

作业 下次内容 第七章 压杆稳定（1） 6.8b, 6.22, 8.2, 8.6, 8.16 l n·h0 两种层叠梁均由n个b×h0的相同材料的等截面板条组成，一种为层间不可滑动的，另一种为层间可滑动的（不计摩擦），弹性模量E已知，当截面上总的弯矩为M，试求出两种叠层梁的中点的挠度。 l n·h0 6.8b, 6.22, 8.2, 8.6, 8.16 下次内容 第七章 压杆稳定（1）