第二节 偏 导 数 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅 中的 x 固定于 x0 处, 求 关于 t 的 一阶导数与二阶导数.
定义1. 设函数 在点 的某邻域内 极限 存在, 则称此极限为函数 的偏导数，记为 注意:
同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 是曲线 在点M0 处的切线 对 y 轴的 斜率.
注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续. 例如, 显然 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例1 . 求 在点(1 , 1) 处的偏导数.
例2. 设 求证 例3. 求 的偏导数 .
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 说明: 此例表明, 偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
例5. 求函数 的二阶偏导数及 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立.
例如, 二者不等
满足拉普拉斯 例6. 证明函数 方程
定理. 则 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 (证明略) 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. 说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在此点连续 函数在一点偏导数存在 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 先求后代 求一点处偏导数的方法 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
思考与练习 P130 题 5 , 6 解答提示: P130 题 5 即 x＝y＝0 时,
P130 题6 (1) (2)
Ex:1 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解: