第一模块 向量代数与空间解析几何 第六节 二次曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念 二、常见的二次曲面及其方程 三、空间曲线的方程 第六节 二次曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念 二、常见的二次曲面及其方程 三、空间曲线的方程 四、空间曲线在坐标面上的投影

一、曲面方程的概念 若曲面  上的点的坐标都满足方程 F( x, y, z ) = 0 (或 z = f ( x , y ))， 则称方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或 z = f ( x , y ))， 为曲面  的方程. ( 或 z = f ( x , y )) 而曲面  就称为方程 F( x , y , z ) = 0 ( 或 z = f ( x , y )) 的图形.

二、常见的二次曲面及其方程 1.球面方程 球心在 M0 ( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球面方程 球心在原点时，

例 1 表示怎样的曲面? 并将常数项移到等式右端， 解 原方程两边同时除以 2 ， 得 配方得 半径为 1 的球面. 所以， 原方程表示球心在

2.母线平行于坐标轴的柱面方程 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 定曲线 C 称为柱面的准线. 称为柱面， 动直线 L 称为柱面的母线， L 柱面的形成 C

现在来建立以 x y 坐标面上的曲线 C : f ( x , y ) = 0 为准线， 的柱面方程. 平行于 z 轴的直线 L 为母线 过M 作平行于 z 轴的直线交 x y 坐标面于点 设 M (x, y, z)为柱面上的任一点， 由柱面定义可知 所以 的坐标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 . 必在准线 C 上. 所以点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . 由于方程 f (x , y)= 0 不含 z， 而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线 与 x y 坐标面的交点必不在曲线 C 上， z L 也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0. M 所以，不含变量 z 的方程 O y C x

f (x , y)= 0 平行于 z 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 x y 坐标面上的曲线为准线， 类似地， 不含变量 x 的方程 f( y , z)= 0 平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 y z 坐标面上的曲线为准线， 而不含变量 y 的方程 f (x , z)= 0 平行于 y 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 x z 坐标面上的曲线为准线，

例如方程 在空间表示以 x y 坐标面上的圆为准线、 称为圆柱面 平行于z 轴的直线为母线的柱面. O y x

方程 y = x2 在空间表示以 x y 坐标面上的抛物线为准线、 称为抛物柱面. 平行于z 轴的直线为母线的柱面. z O y x

方程 在空间表示以 x z 坐标面上的椭圆为准线， 　称为椭圆柱面. 平行于 y 轴的直线为母线的柱面, z 2 O y x

平面曲线 C 绕同一平面上定直线 L 旋转所形成的曲面， 称为旋转曲面， 定直线 L 称为旋转轴. 3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程 　　平面曲线 C 绕同一平面上定直线 L 旋转所形成的曲面， 称为旋转曲面， 定直线 L 称为旋转轴. 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程. 现在来建立 y z 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 z 设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点， 过点 M 作平面垂直于 z 轴， P M0 交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )， C M 交曲线 C 于点M0( 0, y0, z0 ). 由于点 M 可 以由点 M0 绕 z 轴旋转得到， O y x 因此有

① ② 所以 又因为 M0 在曲线 C 上， 所以 f ( y0 , z0 ) = 0 O M M0 P C 又因为 M0 在曲线 C 上， 所以 f ( y0 , z0 ) = 0 将 ①、② 代入 f ( y0 , z0 ) = 0， 即得旋转曲面方程: 同理，曲线 C 绕 y 轴旋转成的曲面方程为 旋转曲面的形成

将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程: 例 2 (1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a  0 )， 绕 z 轴. (2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2( a > 0 )， 绕 z 轴. (3) x y 坐标面上的椭圆 分别绕 x、y 轴.

(1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a  0 )绕 z 轴旋转， 解 故 z 保持不变，将 y 换成 则得

即所求旋转曲面方程为 点 O 称为圆锥的顶点. 表示的曲面称为圆锥面，

(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为 该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转抛物面的开口向下. 一般地， 方程 O y x 所表示的曲面称为椭圆抛物面。

(3) x y 坐标面上的椭圆 绕 x 轴旋转， 得旋转曲面的方程为 故 x 保持不变， 而将 y 换成 该曲面称为旋转椭球面. 　　类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得的旋转椭球面的方程为

b < n < b ， c < h < c) 一般地，方程 用坐标面或平行于坐标面的平面 x = m ， 所表示的曲面称为椭球面. 其特征是: y = n， z = h ( a < m < a ， 截曲面所得到的交线均为椭圆. b < n < b ， c < h < c) 当 a，b，c 中有 a = b 或 b = c 或 a = c 时， 即为旋转椭球面， 当 a = b = c 时，即为球面. z O y x

三、空间曲线的方程 1.空间曲线的一般方程 称为空间曲线的一般方程 例 3 下列方程组表示什么曲线?

(1) 因为 x2 + y2 + z2 = 25 是球心在原点， 半径为 5 的球面， 解 z = 3 是平行于 x y 坐标面的平面， O y x

(2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同， 因而它们的交线是在 x y 坐标面上的圆 z = 0 是 x y 坐标面， (2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同， 因而它们的交线是在 x y 坐标面上的圆 z 若把(2)写成同解方程组 O y 它表示母线平行于 z 轴的圆柱面与 x y 坐标面的交线. 这样更清楚地看出它是 x y 坐标面上的圆 x

2.空间曲线的参数方程 也可以用另一个变量 t 的函数来表示， 空间曲线  上动点 M 的坐标 x，y，z 即 t 为参数. 形如上的方程组称为曲线  的参数方程，

设质点在圆柱面 上以均匀的角速度  例 4 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 设质点在圆柱面 上以均匀的角速度  例 4 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 质点的位置为 P( x, y, z )， 解 设时间 t 时， 由 P 作 x y 坐标面的垂线 则从 P0 到 P 所转过的角 = t， 垂足为 Q (x, y , 0) 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为： O P x  y P0 Q 此方程称为螺旋线方程.

四、空间曲线在坐标面上的投影 平行于 z 轴的直线为母线的柱面， 设  为已知空间曲线， 则以  为准线， 设  为已知空间曲线， 则以  为准线， 称为空间曲线  关于 x y 坐标面的投影柱面. 而投影柱面与 x y 坐标面的交线 C 可以定义曲线  关于 y z 坐标面、z x 坐标面的投影柱面及投影曲线. 称为曲线  在 x y 坐标面的投影曲线. 类似地， 设空间曲线  的方程为 消去 z ，得 G( x , y )= 0.

可知满足曲线  的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 　就是曲线  关于 x y 坐标面的投影柱面. 因此，柱面 G( x , y ) = 0 而 就是曲面 在 x y 坐标面上的投影曲线的方程. 　就可得到  关于 yz 坐标面 同理， 从曲线  的方程中消去 x 或者 y， 　或者 zx 坐标面的投影柱面方程， 从而也可得到在相应的投影曲线的方程.

它是曲线  关于x y 坐标面的投影柱面 － 圆柱面的方程，  在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 例 5 求曲线 解 从曲线  的方程中消去 z ， 得 x2 + y2 3x 5y = 0 ， 即 它是曲线  关于x y 坐标面的投影柱面 － 圆柱面的方程，  在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 空间直线在 坐标面上的投影

在 x y, y z 坐标面上的投影曲线的方程. 例 6 求曲线 解 就是  关于x y 坐标面的投影柱面方程， 因而曲线  在 x y 坐标面上的投影曲线是圆.

得到曲线  关于 y z 坐标面的投影柱面的方程 从曲线  的方程中消去 x ， 所以  在 y z 坐标面的投影曲线是一段抛物线 (0 ≤ y ≤ 8).