等腰梯形 梯形中線 自我評量

我們知道梯形是一組對邊平行 ，另一組對邊不平行的四邊形 ；其不平行的對邊稱為梯形的 兩腰。當梯形的兩腰等長時， 就稱該梯形為等腰梯形。如圖 4-10，梯形ABCD 中， // ， ＝ ，梯形ABCD 即為等腰梯形。 圖4-10

1 等腰梯形的性質 如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ， ＞ ， ＝ ，試說明∠A＝∠B，∠C＝∠D。

如右圖，分別過C、D 兩點作梯形 的高 、 ， 在△ADE 和△BCF 中， 因為 ，（已知） ，（兩平行線間距離相等） ＝90°， 說明 如右圖，分別過C、D 兩點作梯形 的高 、 ， 在△ADE 和△BCF 中， 因為 ，（已知） ，（兩平行線間距離相等） ＝90°， 所以△ADE △BCF，（RHS全等） 故∠A＝∠B（對應角）。 ∠AED＝∠BFC

又因為 // ， 所以∠ADC＝180°－∠A （同側內角互補） ＝180°－∠B（∠A＝∠B） ＝∠BCD（同側內角互補） 說明 又因為 // ， 所以∠ADC＝180°－∠A （同側內角互補） ＝180°－∠B（∠A＝∠B） ＝∠BCD（同側內角互補） 故∠BCD＝∠ADC。

如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ，∠B＝60°，∠ACD＝30°，求∠ACB 與∠D。 ∠ACB＝∠DCB－∠ACD ＝∠B－30°（等腰梯形∠DCB＝∠B） ＝60°－30°＝30° ∠D＝180°－∠DCB （同側內角互補） ＝180°－60°＝120°

2 等腰梯形性質的應用 如右圖，等腰梯形 ABCD 中， // ， ＞ ， ＝ ，連接 、 兩條對角線， 試說明 ＝ （對角線等長）。

在△ABD 和△BAC 中， 因為 （已知），∠BAD＝∠ABC （由例題 1 可知）， （公用邊）， 說明 在△ABD 和△BAC 中， 因為 （已知），∠BAD＝∠ABC （由例題 1 可知）， （公用邊）， 所以△ABD △BAC （SAS 全等）， 故 （對應邊）。

如右圖，等腰梯形 ABCD 中， 　　//　　，∠B＝60°，∠ACD＝30°， 且知 ＝ ＝3， ＝6，求： (1)∠DAC 與∠BAC。

(1) ∠ACB ＝∠DCB－∠DCA＝∠ABC－∠DCA ＝60°－30°＝30° ∠BAC ＝180°－∠ABC－∠ACB ＝180°－60°－30°＝90° 因為∠DAB ＋∠ABC＝180°（同側內角互補） 所以（∠DAC＋90°）＋60°＝180°， ∠DAC＝30°

(2) 與 的長 ＝ ＝3 （因為∠DAC＝∠DCA＝30°）

由例題1與例題2可知： 等腰梯形ABCD 中， // ， ＝ ，則∠A＝∠D，∠B＝∠C，且 ＝ 。 即，等腰梯形的兩組底角分別相等，且對角線等長。

3 等腰梯形性質的應用 如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ， ＝13， ＝28， ＝38，且 與 分別垂直 於E、F 兩點，求： 配合習作基礎題 1 3 等腰梯形性質的應用 如右圖，等腰梯形ABCD 中， // ， ＝13， ＝28， ＝38，且 與 分別垂直 於E、F 兩點，求： (1) 的長 (2) 的長 (3)等腰梯形ABCD的面積。

(1)因為△ABE △DCF（RHS 全等），所以 ＝ （對應邊）。 又 ＝ ＋ ＋ 其中 ＝ ＝28，（矩形對邊相等） ＝ （對應邊）。 又 ＝ ＋ ＋ 其中 ＝ ＝28，（矩形對邊相等） 所以38＝ ＋28＋ 38＝2 × ＋28 ＝（38－28）÷2＝5 解 ＝

解 (2) (3) 梯形ABCD 面積 ＝（28＋38）× 12÷2 ＝396 (上底＋下底) ×高÷2

1.如右圖，等腰梯形ABCD 的面積為28，且 ＝4， ＝10，求 與 的長

＝（ － ）÷2 （因為△ABE △DCF， ＝ ） ＝（ － ）÷2（矩形對邊相等） ＝（10－4）÷2 ＝ 3 （△ABE為直角三角形）

2.如右圖，等腰梯形ABCD 中， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1，求∠AED與梯形ABCD 的面積。

(1) // ，且 ＝ ， 所以四邊形ADEB 為平行四邊形， 故 ＝ ＝1。 同理，四邊形ADCE 為平行四邊形， ＝ ＝ ＝1， 所以△ADE 為正三角形，∠AED＝60°。

(2) 作 ⊥ 於H，由勾股定理得 梯形ABCD面積

梯形兩腰中點的連接線段 稱為梯形中線。 如圖4-11，梯形ABCD 中， // ，且E、F 分別為 與 的中點， 即為梯形ABCD 的中線。 圖4-11

4 梯形中線作圖 如右圖，梯形ABCD 中， // ，試用尺規作圖 畫出其中線 。

(1)作 的中垂線L，交 於E 點。 (2)作 的中垂線M，交 於F 點。 (3)連接 ，則 即為所求。 作法 (1)

(2) (3)

利用尺規作圖畫出右圖等腰梯形ABCD 的中線。

5 梯形中線應用 如右圖，梯形ABCD中， 為中線， ＝3， ＝5，且四邊形ABFE的周長為10，求四邊形EFCD 的周長。

解 四邊形 ABFE 的周長為 10 四邊形EFCD 周長 （E、F 為 、 中點）

如右圖，梯形ABCD 中， 為中線， ＝ 3 ，且四邊形EFCD的 周長比四邊形ABFE 的周長多 3 ，求 的長。

四邊形EFCD的周長＝四邊形ABFE的周長＋ 3 （因為 ， ）

接著我們來介紹梯形中線與其上、下底之間的關係。 6 梯形中線性質 如右圖，梯形ABCD 中， // ， 為中線，試說明 // (或 )且 ＋ ＝2 × 。

在△DFP和△CFQ中，因為∠1＝∠2 (對頂角)， ＝ ，（F 為 中點） ∠3＝∠4（內錯角）， 所以△DFP △CFQ（ASA全等）， 說明 (1)過F點作 // ，分別交直線 AD與直線BC 於P、Q 兩點， 則 ABQP 為平行四邊形， 所以 （對邊相等） 。 在△DFP和△CFQ中，因為∠1＝∠2 (對頂角)， ＝ ，（F 為 中點） ∠3＝∠4（內錯角）， 所以△DFP △CFQ（ASA全等）， 故 ， （對應邊） 。

所以四邊形AEFP為平行四邊形，(對邊平行且相等) 故 ，且 。 同理，EBQF 為平行四邊形，所以 ，且 。 說明 (2)因為 ＝ ‧ （ ） ＝ ‧ （ ） ＝ （E 為 中點） 又 // ，（ // ） 所以四邊形AEFP為平行四邊形，(對邊平行且相等) 故 ，且 。 同理，EBQF 為平行四邊形，所以 ，且 。

說明 (3) 故

由例題6 可知，梯形中線與其上、下底有下列關係： (1)梯形中線會與上、下底平行。 (2)上底＋下底＝2 × 梯形中線長，或梯形中線長＝（上底＋下底）÷2。

配合習作基礎題 3 7 梯形中線性質的應用 如右圖，梯形ABCD 中， ＝8， ＝6，∠B＝104°，求中線 的長與∠BEF。

梯形中線長＝（上底＋下底）÷2 所以 ＝（ ＋ ）÷2 ＝（6＋8）÷2 ＝7 ∠BEF＝180°－∠B 同側內角互補 ＝180°－104° 所以 ＝（ ＋ ）÷2 ＝（6＋8）÷2 ＝7 解 ∠BEF＝180°－∠B ＝180°－104° ＝76° 同側內角互補

如右圖，梯形ABCD 中， ＝6，中線 ＝7.5，∠DEF＝58°，求 的長與∠C。 配合習作基礎題 2 如右圖，梯形ABCD 中， ＝6，中線 ＝7.5，∠DEF＝58°，求 的長與∠C。 ＝（ ＋ ）÷2 7.5＝（6＋ ）÷2 ＝9 ∠C＝∠DEF（同位角相等） ＝ 58°

在國小的時候，我們曾利用切割拼補的方式得知梯形面積公式為（上底＋下底）× 高÷2，而這個公式也可由三角形面積公式來推得： 圖4-12

如圖4-12，梯形ABCD 中， ，高為h。連接 ，可得 梯形ABCD面積＝△ABD面積＋△BCD面積

即梯形ABCD面積＝（上底＋下底）× 高÷2。 由例題6已知：上底＋下底＝2 × 梯形中線長， 所以梯形面積＝（上底＋下底）× 高 ÷ 2 ＝2 × 梯形中線長 × 高 ÷ 2 ＝梯形中線長 × 高

如右圖，梯形ABCD 中，∠B＝∠C＝90°， ＝6，中線 ＝8.5，求梯形ABCD 的面積。 8 梯形中線與面積的關係 如右圖，梯形ABCD 中，∠B＝∠C＝90°， ＝6，中線 ＝8.5，求梯形ABCD 的面積。 配合習作基礎題 4、5、6 解 梯形ABCD 面積 ＝ × ＝8.5 × 6 ＝51 梯形面積＝梯形中線長‧高

如右圖，梯形ABCD 的面積為63， ⊥ ，且 ＝7。 (1)求梯形中線 的長。 梯形ABCD 面積＝ × 63＝ × 7 ＝9

如右圖，梯形ABCD 的面積為63， ⊥ ，且 ＝7。 (2)求 ＋ 。 ＝（ ＋ ）÷2 9＝（ ＋ ）÷2 ＋ ＝18

1.梯形：梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平 行的四邊形；其不平行的對邊稱為梯形的兩腰。 2.等腰梯形：若梯形的兩腰等長，就稱該梯形為 等腰梯形。 3.等腰梯形的性質：如右圖， 等腰梯形ABCD 中， ， ，∠A＝∠D， ∠B＝∠C，且對角線 ＝ 。

4.梯形中線：梯形兩腰中點的連接線段，稱為梯形中線。 5.梯形中線性質： (1)梯形中線會與上、下底平行。 (2)上底＋下底＝2 × 梯形中線長，或梯形中線長＝（上底＋下底）÷2。 6.梯形中線與面積關係： 梯形面積＝（上底＋下底）× 高÷2 ＝梯形中線長 × 高

4-3 自我評量 1.試求右圖梯形中，∠1、∠2 的度數。 ∠1＝180°－117°＝63° ∠2＝180°－102°＝78°

2.如右圖，等腰梯形ABCD的面積 為238，且 ＝10， ＝14， 求 與 的長。 梯形ABCD 面積＝

2. ＝（ － ）÷2 (因為△ABE △DCF， ＝ ) ＝（ － ）÷2 （矩形對邊相等） ＝（24－10）÷ 2 ＝7 （△ABE 為直角三角形）

3.如右圖，等腰梯形ABCD中， ，∠A＝∠B，M 為 中點，∠A＝40°，∠DMC＝50° ，求∠MCB。 因為 ＝ （ABCD 為等腰梯形）， ∠MAD＝∠MBC＝40°， ＝ （M為 的中點）， 所以△ADM △BCM （SAS全等）， 故 ＝ 。

∠MCD＝ ＝65° ∠BCD ＝180°－40°＝140° ∠MCB＝∠BCD－∠MCD ＝140°－65° ＝75°

4.如右圖，梯形ABCD 中， ，中線 ＝5，∠B＝90°， 於H， ＝2，求 的長。 設 ＝x 所以 ＝ ＋ ＝2＋ （矩形對邊相等） ＝2＋x 由 ＝（ ＋ ）÷2 5＝（2＋x＋x）÷2，x＝4 所以 ＝4。

5.承上題，若已知梯形ABCD的面積為15，求 的長。 15＝5 × ＝3 ＝ ＝3（矩形對邊相等）

6.如右圖， 為梯形 ACFH 的中線， 為梯 形 BDEG 的中線，且 ＝16 ， ＝22，求 與 的長。 設 ＝x， ＝y 由梯形中線性質知， 16＋y＝2x x＋22＝2y 2x－y＝16 … …  x－2y＝－22 …  式－式×2得 3y＝60，y＝20 代入式得 x＝18， 所以 ＝18， ＝20。

數學謎題64＝65？ 下面圖一為邊長8的正方形，依不同顏色剪成4塊，再按圖二拼湊，看起來似乎可以拼成兩個全等的直角三角形。若以三角形面積公式計算圖二的總面積，再與圖一的正方形面積比較，是否發現不對的地方？

圖二 圖一

圖一的正方形面積是8 × 8＝64，而圖二的兩個直角三角形面積是 × 2＝65，到底圖二的問題出在哪兒呢？ 若將圖二的兩個三角形疊在圖三（面積為13 × 5的長方形）上，如圖四，可發現有一空隙，也就是不能將圖二看成兩個直角三角形，應該為兩個凹四邊形，而圖四中的空隙，實際上是面積為65－64＝1的平行四邊形哦！同學們不妨思考看看！

圖三 圖四