第十章 群与环 主要内容 群的定义与性质 子群

第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质

群简介 群在抽象代数中具有基本的重要地位 群是一个特殊的代数系统 是环、域和模的基础 在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支起作用 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中

群简介 群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 用以解决了五次方程问题 提出：把数学运算归类 例：全体整数的加法构成一个群

10.1 群的定义及性质 半群<G,*> ： <G,*>是一个代数系统,*是G上的二元运算,如果*在G上成立结合律 a*(b*c)=(a*b)*c 例：下列代数系统是半群 R+表示正实数集合,<R+,+>,<R+,*>是半群 <Mn(R),+>, <Mn(R), ·>是半群, Mn(R)是n阶矩阵的全体

10.1 群的定义及性质 独异点<G,*> ： 有幺元的半群 例：下列代数系统是独异点 <N,+,0>,<N,*,1>均为独异点 <P(S), ∪,Ø>,<P(S), ∩,S>均为独异点 <P(S), , >为独异点 <AA, >为独异点： 为函数复合 单位元为恒等函数

10.1 群的定义及性质 群<G,*> ： <G,*>为独异点, 并且 例： 每个元素都有逆元 <Z,+>是群,幺元是0,逆元是相反数 <Mn(R),>，为矩阵乘法运算 存在幺元是单位矩阵n 不是群,逆矩阵不一定存在 <Sn(R),> 为群 Sn(R)=所有可逆矩阵的全体

10.1 群的定义及性质 <N6,+6>为群,其中N6={0,1,2,3,4,5} <P(A),>为群 幺元是0 1+65=0,2+64=0,3+63=0 <P(A),>为群 BP(A),B=B=B BB=

10.1 群的定义及性质 例：四元群，设G={e,a,b,c}运算*表如下 e为单位元 G中运算是可交换的 每个元素都有逆元 * e a b

10.1 群的定义及性质 群论中一些重要的概念 例： 有限群G：G为有限集 无限群G：G为无限集 群G的阶：G的基数 平凡群：只含单位元的群 <Z,+>为无限群 <Zn,>是有限群, 阶数为n <{0},+>是平凡群

10.1 群的定义及性质 群中元素的幂: G为群，aG的n次幂 例： a0=e an=an-1a, n>0 (a)n= (a-1)m, n<0, m=-n 例： <Z3,>中求2-3 2-3=(2-1)3=13=111=0

10.1 群的定义及性质 群的元素的阶(周期): G是群，aG 例： a的阶：最小的正整数k，ak=e 记作|a|=k: a为k阶元 <Z6,>中, 2和4是3阶元, 3是2阶元 四元群中, e是1阶元, 其他元素是2阶元 * e a b c

10.1 群的定义及性质 定理：G是群，G中幂运算满足：

10.1 群的定义及性质 2）证明： (a*b)*(b-1 *a-1) =a*(b*b-1)*a-1 =a*e*a-1=e = b-1*b =e 所以(a*b)-1=b-1*a-1成立

10.1 群的定义及性质 定理：设<G,*>是群,则a,b,cG 如a*b=a*c, 则b=c 如b*a=c*a, 则b=c 证明: (1)群中的每一个元素都有逆元，因此只要两边同左乘a-1,即可得证。 (2)同理可证。 注：如果a*b=c*a,未必得到b=c，而只能知道b=a-1*c*a，因为*不一定满足交换律

10.1 群的定义及性质 例：设G为群，a,b∈G，且 (ab)2=a2 b2 证明：ab=ba 证： (ab)2=(ab)(ab) =abab=a2 b2=aabb 因为群的运算满足消去律，所以有 ab=ba

10.1 群的定义及性质 定理：设G为群，aG，|a|=r。对整数k ak=e 当且仅当 k是r的整数倍 |a-1 | =| a | 证：①充分性: 由于k是r的整数倍，必存在整数m使得k=mr, 所以有ak= amr= (ar)m= e。 必要性: 存在整数m和i，使得k=mr+i, 从而有 e＝ amr+i= amr ai= ai 因为a的阶是r，并且0≤i≤r-1 所以i＝0。则k是r的整数倍

10.1 群的定义及性质 定理：设G为群，aG，|a|=r。对整数k ak=e 当且仅当 k是n的整数倍 |a-1| =|a| 证：②由于(a-1 )r = (ar )-1 = e-1 = e。可知a-1 的阶是存在的。 令| a-1 | =t，根据前面证明有r是t的整数倍。 而a又是a-1的逆元，所以a的阶也是a-1的阶的因子，故有t是r的整数倍。 从而证明了r=t，即|a-1 | =|a|

10.1 群的定义及性质 例：设G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个 证：由前面定理，对任意aG a2=ea-1a2=a-1ea=a-1 故G中阶大于2的元素a, 必有 a≠a-1 由于|a|=|a-1|，故G中阶大于2的元素成对出 现

第十章: 群与环 第二节：子群

10.2 子群与群的陪集分解 子群：设<G,*>是群,H是G的(非空)子集,如果H关于G的运算*构成群,则称H为G的子群，记作H≤G 如果H是G的真子集，则称H是G的真子群，记作H＜G 子群说明：<H,*>是子群, 则 H对于运算*是封闭的 G的幺元e在H内 H的每个元素的逆元仍在H内(对逆运算封闭)。至于运算的结合律,由于在G中成立,对于H必然成立 如H构成子群,必然是非空的,至少有幺元e

10.2 子群与群的陪集分解 例： <R,+>是群, QR,<Q,+>是子群。 <N,+>？ <N6,+6>是群。H1={0,2,4}，则<H1,+6>是不是子群？ 2+62=4H1,4+64=2H1 2,4互为逆元 H2={0,1,5},< H2,+6>是不是子群？ 1+61=2H2,5+65=4H2 H2对运算+6不封闭

10.2 子群与群的陪集分解 子群的判定定理一：设<G,*>是群，HG,<H,*>是子群的充要条件是以下三条同时成立 H非空 如果aH,bH,则a*bH 若aH,则a-1H 证明：必要性是显然成立,下证充分性。 由(1)因H非空,取aH,由(3)a-1H,由(2)因a, a-1H则a*a-1H,eH, 从而<H,*>是子群

10.2 子群与群的陪集分解 子群的判定定理二：设<G,*>是群，HG,<H,*>是子群的充要条件是以下两条同时成立 H非空 a,bH, 均有a*b-1H 证明：必要性：任取a,bH.由于H是G的子群，必有 b-1H ，从而a*b-1H 。 充分性：因为H非空，必存在xH，根据给定条件得 x*x-1H，即eH 。设a是H的任一元素，即aH ,由 e,aH得e*a-1H,即a-1H。任取a,bH,由刚才的证 明知b-1H。根据给定条件知a*(b-1)-1H,即a*bH 根据上一定理可知<H,*>是<G,*>的子群

10.2 子群与群的陪集分解 子群的判定定理三： <G,*>是群,HG,如果H是有穷集，<H,*>是子群的充要条件是 : H非空 a,bH, 均有 a*bH 证明：设a是H的任一元素，即aH ，由判定定理一， 只需证明a-1H即可。 若a＝e，则a-1= e-1 = e H 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S H。由于H是有穷集 ，必有ai= aj (i<j) 。根据G中的消去律得aj-i= e，由 a≠e可知j-i>1，由此得 aj-i-1 *a =e和a*aj-i-1 =e 从而证明了a-1＝aj-i-1H

10.2 子群与群的陪集分解 例：设G为群，a∈G，令H={ak |k ∈Z} 即a的所有的幂构成的集合，证明：H是G是子群 ，称为由a生成的子群，记作<a> 证明：首先由a∈<a>知道<a>不为空，任取am,al∈<a> ， 则am(al ) -1 = am a-l = am-l∈<a> 根据判断定理二可知。 例如: 整数加群，由2生成的子群是 <2>={2k| k ∈Z}=2Z 群<Z6,>中，由2生成的子群是？

10.2 子群与群的陪集分解 例：设G为群，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即 证明：C是G的子群，称为G的中心

10.2 子群与群的陪集分解 子群格 若G为群，令S={H|H是G的子群}是G的所有子群的集合，在S上定义关系R如下： 那么<S, R>构成偏序集，称为群G的子群格

10.2 子群与群的陪集分解 用图表示子群格 （1） （2） <Z12,> * e a b c

第十章 习题课 主要内容 半群、独异点与群的定义 群的基本性质 子群的判别定理 30

基本要求 判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群 熟悉群的基本性质 能够证明G的子集构成G的子群 31

练习1 1. 判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群. (1) a 是正整数，G = {an | nZ}, 运算是普通乘法. (2) Q+是正有理数集，运算为普通加法. (3) 一元实系数多项式的集合关于多项式加法. 解 (1) 是半群、独异点和群 (2) 是半群但不是独异点和群 (3) 是半群、独异点和群 方法：根据定义验证，注意运算的封闭性 32

练习2 2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1} 解 (1) S关于V1构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子 半群 (2) S关于V1不构成子半群也不构成子独异点，S关于V2构 成子半群和子独异点 (3) S关于V1不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群 和子独异点 33

练习3 3. 设Z18 为模18整数加群, 求所有元素的阶. 解： |0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18, 说明： 群中元素的阶可能存在，也可能不存在. 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子. 对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）. 34

练习4 4．证明偶数阶群必含2阶元. 由 x2 = e  |x| = 1 或2. 换句话说, 对于G中元素x，如果 |x| >2, 必有x1 x. 由于 |x| = |x1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个. 那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个. 1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了G中必有 2 阶元. 35

作业 2 4 10 22 23