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Yunnan University Chapt 5. 微分学基本定理及其应用 导 数导 数 函数性质 中值定理 §1. 中值定理 §2. 泰勒公式 §3. 函数的升降、凸性与极值 §4. 平面曲线的曲率 §5. 待定型
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Yunnan University §1. 中值定理 一、费尔马 ( Fermat ) 定理 注 1.
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Yunnan University §1. 中值定理 x y o 水平切线 P 注 2.
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Yunnan University §1. 中值定理 证明： 由定义及函数极限性质可证. 注 3.
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Yunnan University §1. 中值定理 二、拉格朗日 (Lagrange) 定理 1. 洛尔 ( Rolle ) 定理 x y o
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Yunnan University §1. 中值定理 注 1. 注 2. 几何意义 : 注 3. 三条件缺一，则 Rolle 定理可能不成立. 例如：
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Yunnan University §1. 中值定理 1 11 由图像可见，三个函数 Rolle 定理都不成立.
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Yunnan University §1. 中值定理 说明： Rolle 定理的三个条件都是充分条件. 证明：由⑴ 在 必有最大值 M 和最小值 m. 若 M = m ，则 M 和 m 中至少有一个不等于 于是在 内至少存在一点 ，使得 （或 ），从而对 （或 ）. 据 Fermat 定理，得
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Yunnan University §1. 中值定理 2. Lagrange 定理（微分中值定理） o a b x y A B 微分中值公式
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Yunnan University §1. 中值定理 注 1. Rolle 定理是 Lagrange 定理当 时的特殊情况. 注 2. 几何意义：如图 直线 AB 的方程
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Yunnan University §1. 中值定理 注 3. 微分中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，是 应用导数的局部性质研究函数全局性质的重要工具. 注 4. 定理的条件是充分的，但不是必要的. Rolle 注 3.
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Yunnan University §1. 中值定理 上一点 的切线平行于直线 AB. 证法：作辅助函数 是 与直线 AB 之差，即 则新曲线 上一点 的切线平行于 x 轴.
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Yunnan University §1. 中值定理 证明： ⑴ ⑵ （或（或 ） 则 （或（或 ） 由 Rolle 定理得证.
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Yunnan University §1. 中值定理 微分中值公式的其它形式 : ① ② 即： ③ ④ 在定理条件下，
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Yunnan University §1. 中值定理 Corollary 1. 即导数恒为零的函数必是常数函数. Corollary 2. 证明：
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Yunnan University §1. 中值定理 李普希兹 (Lipschitz) 条件 : Corollary 3.
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Yunnan University §1. 中值定理 例1.例1. 证明： 由零点存在定理，知 此即为方程的小于 1 的正实根. 矛盾,
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Yunnan University §1. 中值定理 例2.例2. 证明 :
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Yunnan University §1. 中值定理 三、 柯西 (Cauchy) 定理
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Yunnan University §1. 中值定理 注 1. 当 注 2. Rolle 定理、 Lagrange 定理、 Cauchy 定理都具有 “ 中值 ” 性，统称为微分中值定理，它们的关系是后者包含前者. 证明： 作辅助函数
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Yunnan University §1. 中值定理 （或（或 ） 则 由 Rolle 定理得证. 注 3. Cauchy 定理之证
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Yunnan University §1. 中值定理 例 3. 证明 : 结论可变形为
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Yunnan University §1. 中值定理 四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
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