第6章利用MATLAB语言求解科学运算问题

第6章利用MATLAB语言求解科学运算问题
东北大学信息学院薛定宇 Sunday, , 11:20:13 Slide 1 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

本课程参考书 MATLAB语言符号运算局限性：
目前只支持32位MATLAB运行，在64位操作系统上必须安装32位版MATLAB 从MATLAB 2008b开始，符号运算放弃了Maple内核，改用MuPAD作为符号运算引擎，功能变弱了很多，好些问题不能再求解了 Sunday, , 11:20:13 Slide 2 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

本章内容提要（内容多，因学时限制，入门介绍）（详细内容查阅参考教材）
解析解与数值解 ch1 线性代数问题求解 ch4 简单介绍非线性方程求解 ch6 最优化问题求解 ch6 微分方程求解 ch7 数据插值、处理与拟合 ch8 其他应用 Sunday, , 11:20:13 Slide 3 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.1 解析解与数值解由已知公式一步步推导出的解解析解不存在或不现实，需要数值解
例如，高等数学计算，复杂问题不能手工求解，需要借助计算机解析解不存在或不现实，需要数值解不存在不存在 p，工程应用即可高阶矩阵的行列式，计算量 Sunday, , 11:20:13 Slide 4 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.2 线性代数问题的计算机求解矩阵分析问题由简单命令即可函数调用方法行列式 det(A)
特征值 eig(A)，[v,d]=eig(A) 逆矩阵 inv(A)，伪逆pinv(A) 范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf) 特征多项式系数 poly(A) 函数调用方法 eig(A), eig(sym(A)) Sunday, , 11:20:13 Slide 5 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.2.2 其他线性代数问题求解线性代数方程求解 Lyapunov方程、Riccati方程等矩阵函数求解解的判定矩阵三种情况
唯一解无穷多解无解，最小二乘解 Lyapunov方程、Riccati方程等 lyap、are等函数可以直接求解矩阵函数求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 6 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.3 非线性方程求解非线性方程的解析解非线性方程的数值解什么时候存在解析解？准解析解图解法任意指定初值进行搜索求解
单变量多项式方程可以转换成单变量多项式方程的多元方程准解析解非线性方程的数值解图解法任意指定初值进行搜索求解非线性矩阵方程的求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 7 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.3.1 非线性方程的解析解求解 MATLAB的solve函数可以求解方程简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解数学问题
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复杂例子数学形式 MATLAB求解语句（准解析解）解的检验 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13
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另一个复杂例子求解检验 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 10 (of 97)数学建模课程模板
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非线性方程的准解析解考虑非线性方程求解验证问题：该方程只有这一个解吗？ Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

6.3.2 一元、二元方程的图解法图解法只适合求解一元、二元方程
利用隐函数绘制函数ezplot，辅以hold on，可以把联立方程的解画在一个坐标系下重解前例 MATLAB语句 Sunday, , 11:20:13 Slide 12 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.3.3 一般非线性方程的数值求解方程的标准型其中，均是列向量或矩阵，维数相同求解步骤：选择变量，将非线性方程表示成标准型形式
其中，均是列向量或矩阵，维数相同求解步骤：选择变量，将非线性方程表示成标准型形式编写MATLAB程序描述原方程 *.m函数形式、inline函数、匿名函数形式调用fsolve函数求解方程 Sunday, , 11:20:13 Slide 13 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

求解实例，仍考虑前面例子选择变量，则向量形式 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13
选择变量，则向量形式 Sunday, , 11:20:13 Slide 14 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

用MATLAB描述求解、验证匿名函数描述 MATLAB函数描述，生成 myeq.m文件

提高求解精度寻找其他解：换初值停止迭代条件设置方法求解、检验 TolX TolFun
MaxIter: 最大迭代步数超限，默认500步设置方法求解、检验寻找其他解：换初值 Sunday, , 11:20:13 Slide 16 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解能直接求解矩阵方程举例，扩展Riccati方程其中求解、检验、其他解

6.3.5 求解方法比较、总结图解法准解析解方法一般数值解法局限性：一元二元，精度低优点：显示出感兴趣区域全部实根
局限性：多项式类方程、不能选择初值优点：全部根包括复根、精度高一般数值解法局限性：实根、依赖于初值优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程 Sunday, , 11:20:13 Slide 18 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.4 最优化问题求解无约束最优化问题有约束最优化问题进化算法及其全局最优解法整数规划、混合整数规划、0-1规划
特殊问题线性规划二次型规划一般问题进化算法及其全局最优解法整数规划、混合整数规划、0-1规划动态规划与最短路径求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 19 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.4.1 无约束最优化问题求解数学形式，最大值问题的变换物理意义介绍目标函数描述 MATLAB求解匿名函数、M函数
数学形式，最大值问题的变换物理意义介绍目标函数描述匿名函数、M函数 MATLAB求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 20 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

无约束最优化求解举例求解步骤变换成标准型，引入，则描述目标函数求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13
变换成标准型，引入，则描述目标函数求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 21 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

图形验证中间过程 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 22 (of 97)数学建模课程模板

带有变量边界约束的最优化问题数学描述问题求解方法可以按照有约束最优化问题求解利用免费工具箱求解
loadFile.do?objectId=8277&objectType=file Sunday, , 11:20:13 Slide 23 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

最优化问题求解其他考虑全局最优解和局部最优解最优化加速算法几何解释如何避免最优区域过于平缓初值考虑、多初值并行算法，如遗传算法
考虑采用利用梯度信息 Sunday, , 11:20:13 Slide 24 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.4.2 有约束最优化问题的求解有约束最优化问题的数学形式约束条件，≥不等式的处理特殊形式一般最优化问题线性规划问题
二次型规划形式一般最优化问题 Sunday, , 11:20:13 Slide 25 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

线性规划问题一般数学形式 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

线性规划问题举例提取矩阵、向量，对号入座求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

双下标线性规划问题举例线性规划不能直接求解双下标问题引入变换，变成单下标问题，如

变换后的问题求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 29 (of 97)数学建模课程模板

二次型规划问题求解数学标准型 MATLAB求解函数注意事项注意1/2系数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

一般有约束非线性规划问题求解数学形式 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

非线性规划举例非线性约束条件的MATLAB描述目标函数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

求解另一种求解方法 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 33 (of 97)数学建模课程模板

实际最优化问题举例数学形式多个变量需要优化，不能直接求解引入决策变量进行替换，生成 x 向量

变换后的最优化问题标准型非线性规划线性等式不等式约束、非线性等式约束 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

非线性约束问题求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 36 (of 97)数学建模课程模板

6.4.3 进化算法及全局最优解法为什么要引入进化算法？传统方法过于依赖初值，容易产生局部最优解一元函数举例

常用进化算法遗传算法的基本思路遗传算法 PSO—粒子群优化算法蚁群算法基于生物界优胜劣汰、适者生存法则寻优
同时从多点开始并行搜索全局最优点用数学方法实现了交叉、遗传、变异等常用概率方法进化，每次的结果不同 Sunday, , 11:20:13 Slide 38 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

两个遗传算法工具箱可以使用遗传算法最优化工具箱(GAOT)下载主函数调用遗传算法与直接搜索工具箱（GADS）
主函数调用遗传算法与直接搜索工具箱（GADS） Sunday, , 11:20:13 Slide 39 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

单变量最优化问题举例求最大值目标函数定义（GAOT）求解方法 GAOT工具箱求解 GADS解法

多变量问题举例 GAOT工具箱求解 GADS工具箱求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

有约束最优化问题求解线性规划 GAOT求解不能求解有约束最优化，引入惩罚函数，即不满足约束条件时认为设置小目标函数
不能求解等式约束，需要解出，如 Sunday, , 11:20:13 Slide 42 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

含有约束条件的目标函数（两个变量）求解语句线性规划问题直接求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

遗传算法小结优点缺点利用遗传算法的优点可以求取全局最优解计算量恒定，适合于在线寻优适用范围窄，无约束最优化精度低
用遗传算法获得不精确的初值由初值出发利用传统搜索方法寻优 Sunday, , 11:20:13 Slide 44 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.4.4 整数规划和混合整数规划什么是整数规划、混合整数规划、0-1规划数学形式常用有效求解算法：分枝定界法
利用免费工具箱bnb20直接求解下载地址 Sunday, , 11:20:13 Slide 45 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

bnb20 工具箱使用和改进调用格式关键点：intlist的写法程序编写较早，有待改进调用前调用后

整数规划举例数学问题（线性规划）要求所有决策变量均为整数 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

混合整数规划若决策变量1,4,5要求为整数 bnb20的局限性不能采用匿名函数版本兼容性需要小修改

0-1规划问题求解 MATLAB只提供了0-1线性规划问题求解函数binprog，不能求解一般非线性问题可以利用bnb20直接求解
求解技巧：分别设置为0、1向量 Sunday, , 11:20:13 Slide 49 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.5 动态规划及最短路径求解动态规划 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

可以利用生物信息学工具箱函数直接求解先输入有向图信息（自动布局）求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

也可以利用著名的Dijkstra算法编程求解
生物信息学工具箱函数局限性复杂问题自动布局困难也可以利用著名的Dijkstra算法编程求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 52 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.6 微分方程问题求解解析解求解微分方程数值解边值问题的计算机求解常系数线性微分方程解析解微分方程组解析解
极特殊非线性微分方程解析解微分方程数值解标准型及其求解一般微分方程组的标准型转换特殊微分方程求解边值问题的计算机求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 53 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.6.1 微分方程的解析解方法直接调用dsolve函数直接求解的优点通用格式无需记忆方程的手工解法、技巧可以求解复杂问题

微分方程求解举例数学形式先不考虑初值，演示通解的解法直接求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

特解的解法结果 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 56 (of 97)数学建模课程模板

解析解的一个反例非线性微分方程求解非线性微分方程变形唯一方法：数值解问题求解试图求解

微分方程组的解析解微分方程组举例 MATLAB求解解析解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

6.6.2 微分方程初值问题的数值解法初值问题的标准型 , 已知 MATLAB求解步骤写出标准型描述标准型求解
匿名函数、M函数和inline函数求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 59 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

Lorenz微分方程举例及可视化数学形式微分方程描述求解可视化 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

M函数方法变步长求解方法与精度设定微分方程解的验证精度控制量不会过多增大计算量选择不同的RelTol参数

Lotka-Volterra捕食模型数学模型引入变量进行变换，令 MATLAB求解

带有附加参数的微分方程求解什么是附加参数？为什么使用附加参数？描述微分方程时引入附加参数求解时使用匿名函数 M函数

不同参数下的Lorenz问题求解数学模型附加参数问题描述求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

6.6.3 微分方程的标准化一般微分方程如何求解？常见微分方程类型转换后可以直接求解高阶微分方程的变换高阶微分方程组的变换
显式微分方程组隐式微分方程组容易解出的方程引入代数方程求解方法转换后可以直接求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 65 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

高阶微分方程的转换常见高阶微分方程形式状态变量选择方法不唯一，结果不唯一常见选法变换后模型

举例：Van der Pol 方程数学模型解析解不存在引入状态变量变换后模型求解

Van der Pol 方程结果解的验证极限环状态变量选择不同，模型不唯一 m 很大时用ode45无解，刚性方程ode15s
不同初值得出不同极限环状态变量选择不同，模型不唯一如 m 很大时用ode45无解，刚性方程ode15s Sunday, , 11:20:13 Slide 68 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

显式高阶微分方程组变换数学形式状态选择转换模型 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

Apollo 轨迹模型数学形式初值状态变量选择 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

变换后标准化模型求解验证 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13 Slide 71 (of 97)数学建模课程模板

隐式微分方程组的变换例子数学模型状态变量选择变换后模型 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

6.6.4 特殊微分方程求解矩阵微分方程求解刚性方程求解隐式微分方程求解微分代数方程求解延迟微分方程求解切换微分方程求解
随机微分方程求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 73 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.6.5 边值微分方程的求解数学模型 MATLAB求解函数二阶一般 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

二阶边值问题举例数学问题变换方程边值方程 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13
方程边值方程 MATLAB求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 75 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

含未知参数的边值问题数学问题变量选择 MATLAB求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

6.7 数据处理插值运算基于数据的数学模型拟合数据的统计分析一元插值二元网格样本数据插值二元一般样本数据插值多项式拟合
非线性原型函数的最优拟合基于神经网络的数据拟合数据的统计分析 Sunday, , 11:20:13 Slide 77 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

6.7.1 数据插值什么是插值？什么是曲线（曲面）拟合？ Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

一元函数的插值与曲线拟合数学问题 MATLAB求解步骤已知：样本点求未知点 X 处函数值 Y 生成样本点数据向量插值问题求解
‘linear’, ‘cubic’ ‘spline’ Sunday, , 11:20:13 Slide 79 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

一元插值举例由已知函数生成一组样本点，观察能否较好地插值拟合原曲线样本数据生成与显示 MATLAB命令

插值问题的极端例子正弦函数的曲线拟合假设已知稀疏点 0,0.4,1.2,2,p 处的函数值样本点计算与显示插值运算、曲线拟合

插值问题的反例假设由快速变化的函数生成一组稀疏的样本点，例如稀疏数据生成和样本点显示数据插值与曲线拟合效果样本点信息不足

二元网格样本点的插值已知在 x-y 平面上网格点处的 z 值，如何拟合 x-y 平面内任意点插值？如何拟合曲面？二元插值求解步骤：
构造网格数据标准型（meshgrid 函数）二元函数插值求解 Sunday, , 11:20:13 Slide 83 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

二元网格数据插值举例网格样本点数据原型函数稀疏数据生成数据插值 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

一般分布数据的二元插值问题样本点不一定在网格上常规曲面图绘制命令不能绘制曲面数据插值方法：曲面图绘制方法：
已知向量，计算点上的函数值常规曲面图绘制命令不能绘制曲面数据插值方法：曲面图绘制方法：让插值点 x,y 在网格上插值后直接利用surf函数进行曲面绘制 Sunday, , 11:20:13 Slide 85 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

插值举例由原型函数生成随机发布的数值 MATLAB语句插值运算 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

插值应用：由离散样本点进行最优化前面介绍的最优化是已知函数的最优化如果未知函数，可以考虑插值去拟合最优化举例

6.7.2 由数据拟合数学模型为什么要拟合数学模型？能拟合出那些模型插值只能求出感兴趣点的函数值有时需要数学模型表示
需要由模型推导其他内容能拟合出那些模型多项式模型已知非线性函数模型其他领域模型，如控制中拟合传递函数模型神经网络模型 Sunday, , 11:20:13 Slide 88 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

由数据拟合出多项式数学问题问题求解步骤：已知样本点数据求出一个拟合多项式（系数）准备数据向量设定多项式次数 n 拟合多项式

多项式拟合举例考虑原型函数的系数样本点生成数据对不同多项式次数拟合，观察效果 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

已知原型函数的最优函数拟合数学问题描述求解步骤：已知样本点已知原型函数（未知具体参数） fun 求出函数系数，使得拟合误差最小
生成样本点向量描述原型函数：匿名函数和M函数最优拟合 Sunday, , 11:20:13 Slide 91 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

一元函数拟合举例原始函数原型函数生成数据和原型函数的MATLAB表示曲线拟合

多元函数拟合举例原函数原型函数生成样本点写出原型函数求解 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

神经网络模型模拟生物神经网络进行计算、近似等适合数据拟合的神经网络类型径向基网络的使用前馈神经网络（反向传播BP算法）
径向基网络 (RBF网络) 径向基网络的使用建立网络训练网络泛化 Sunday, , 11:20:13 Slide 94 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

一元拟合举例原始问题径向基神经网络拟合生成数据、拟合、比较 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

二元函数拟合举例原始问题径向基网络拟合数据生成、拟合、比较 Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

6.7.3 数据的统计分析已知数据矩阵 X 统计量计算均值 mean(X) （按列计算）每列数据的方差 cov(X(:,i))
标准差 std(X(:,i)) 协方差矩阵 cov(X) 相关系数矩阵 corrcoef(X) Sunday, , 11:20:13 Slide 97 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

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