传热学 -导热部分 建筑环境与设备工程教研室 蒯大秋.

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1 传热学 -导热部分 建筑环境与设备工程教研室 蒯大秋

2 绪 论 0.1 基本概念 传热学是研究热量传递规律的学科。 物体内只要存在温差就有热量从物体的高温部分传向低温部分；
   物体内只要存在温差就有热量从物体的高温部分传向低温部分；    物体之间存在温差，热量就会自发的从高温物体传向低温物体。 热量传递过程 根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类：稳态传热过程和非稳态传热过程。 稳态传热过程（定常过程）指物体中各点温度不随时间而变的热传递过程。 非稳态传热过程（非定常过程）指物体中各点温度随时间的变化而变化的热传递过程。 各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传

3 绪 论 热过程；而在启动、停机、工况改变时的传热过程则属 非稳态传热过程。 0.2 传热学的重要性及必要性
传热学是热工系列课程教学的主要内容之一，是建环专业必修的专业基础课。是否能够熟练掌握课程的内容，直接影响到后续专业课的学习效果。 传热学在生产技术领域中的应用十分广泛。 日常生活中的例子（思考？） 若房间里气体的温度在夏天和冬天都保持20℃，那么在冬天与夏天、人在房间里所穿的衣服能否一样？为什么？ 夏天人在同样温度（如：25℃）的空气和水中的感觉不一样。为什么？

4 绪 论 北方寒冷地区，建筑房屋都是双层玻璃，以利于保温。如何解释其道理？越厚越好？
在动力、化工、制冷、建筑、机械制造、新能源、微电子、核能、航空航天、微机电系统（MEMS）、新材料、军事科学与技术、生命科学与生物技术等领域大量存在传热问题。 航空航天：高温叶片气膜冷却与发汗冷却；火箭推力室的再生冷却与发汗冷却；卫星与空间站热控制；空间飞行器重返大气层冷却；超高音速飞行器（Ma=10）冷却；核热火箭、电火箭；微型火箭（电火箭、化学火箭）；太阳能高空无人飞机。 微电子： 电子芯片冷却。 生物医学：肿瘤高温热疗；生物芯片；组织与器官的冷冻保存。 军事：飞机、坦克；激光武器；弹药贮存。

5 绪 论 制冷：跨临界二氧化碳汽车空调/热泵；高温水源热泵。 新能源：太阳能；燃料电池。 0.3 传热学的特点、研究对象及研究方法 特点
理论性、应用性强。传热学是热工系列课程内容和课程体系设置的主要内容之一，是一门理论性、应用性极强的专业基础课，也是建筑环境与设备工程专业的主干专业课之一，在热量传递的理论分析中涉及到很深的数学理论和方法，在生产技术领域应用十分广泛，传热学的发展促进了生产技术的进步。学习方法：理解概念，掌握分析方法，理论联系工程实际问题，同时也要了解传热学的发展动态和前景，从而开辟我们广阔且纵深的思考空间。 研究对象：传热学研究的对象是热量传递规律。    

6 绪 论 研究方法：传热学主要研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用经验的方法寻求热量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温度、密度、速度是坐标的连续函数，即将微观粒子的微观物理过程作为宏观现象处理。 0.4 热量传递的三种基本方式 导热（热传导） 物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称导热。如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。 下面从微观角度分析气体、液体、导电固体与非金属固体的导热机理。 气体中：导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，温度

7 绪 论 升高，动能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使热能从高温传到低温处。
导电固体：其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样运动。自由电子的运动在导电固体的导热中起主导作用。 非导电固体：导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。 液体的导热机理：存在两种不同的观点第一种观点类似于气体，只是复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气体大；第二种观点类似于非导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）的作用(Chapter 1)。 我们只注重研究导热现象的宏观规律。

8 绪 论 导热的基本规律。傅立叶定律（ 1822 年，法国数学家）
如图所示两个表面分别维持均匀恒定温度的平板，是个一维导热问题。对于x方向上任意一个厚度为的微元层来说，根据傅里叶定律，单位时间内通过该层的导热热量与当地的温度变化率及平板面积A成正比，即 式中λ是比例系数，称为热导率， 又称导热系数，负号表示热量传 递的方向与温度升高的方向相反。 两个重要概念 热流量指单位时间内通过某一给定面积的热量，记为Ф单位 W。 热流密度（面积热流量）指单位时间内通过单位面积的热量，记 t  x  dx dt Q

9 绪 论 为q，单位W/㎡。 当物体的温度仅在 x 方向发生变化时，按傅立叶定律，热流密度的表达式为
傅立叶定律又称导热基本定律，上两式是一维稳态导热时傅立叶定律的数学表达式。 通过分析可知： 当温度 t 沿 x 方向增加时，dt / dx＞０而q ＜０，说明此时热量沿 x 减小的方向传递； 当dt / dx＜０时， q ＞0，说明热量沿 x 增加的方向传递。 导热系数λ表征材料导热性能优劣的参数，是一种物性参数，其单位： W/m.K 或W/m.℃。 导热系数λ与材质、温度有关，不同材料的导热系数值不同，即

10 绪 论 使同一种材料导热系数值与温度等因素有关。一般来说，金属材料最高，良导电体，也是良导热体，液体次之，气体最小。具体将在后续章节讨论。
对流：对流是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。 热对流指只依靠流体的宏观运动传递热量的现象，是热传递的另一种基本形式。而对流换热是指流体流过一个物体表面时的热量传递过程，对流仅仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。对流换热与单纯的对流不同，具有如下特点：① 对流换热是导热与热对流同时存在的复杂热传递过程；② 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动，也必须有温差；③ 壁面处会形成速度梯度很大的边界层。

11 绪 论 根据流体流动产生的原因不同有受迫（强制）对流和自然对流；根据对流换热时是否发生相变分：有相变的对流换热和无相变的对流换热。
对流换热的基本规律，又称牛顿冷却公式 热流量（单位时间传递的热量W） 热流密度（单位面积热流量W/m2） 其中：比例系数 h 为表面传热系数，单位W/m2.K或W/m2.℃。其物理意义是单位温差作用下通过单位面积的热流量；表面传热系数的大小与传热过程中的许多因素有关，它取决于物体的物性、换热表面的形状、大小相对位置和流体的流速等因素有关。 一般地讲，就介质而言，水的对流换热比空气强烈；就换热方式

12 绪 论 而言，有相变的强于无相变的，强制对流强于自然对流。
对流换热研究的基本任务就是用理论分析和实验方法推出各种场合下表面换热导数 h 的关系式。 热辐射是指有热运动产生的以电磁波形式传递能量的现象，也就是因热的原因而发出辐射能的现象，热辐射现象仍是微观粒子性态的一种宏观表象，也是热传递的另一种基本方式；而辐射指物体通过电磁波形式来传递能量的方式。 其特点：① 任何物体，只要温度高于0 K，就会不停地向周围空间发出热辐射；② 可以在真空中传播（与导热和热对流不同）；③ 伴随能量形式的转变；④ 具有强烈的方向性；⑤ 辐射能与温度和波长均有关；⑥ 发射辐射取决于温度的4次方（热辐射区别于导热和对流的基本特点）。

13 绪 论 辐射换热指物体间以辐射方式进行的的热量传递过程，它是辐射与吸收过程的综合作用；辐射换热与单纯的热辐射不同，就像热对流和对流换热一样。
自然界中的物体都在不停的向空间中发出热辐射，同时又不断的吸收其他物体发出的辐射热。因此，辐射换热是一个动态过程，当物体与周围环境温度处于热平衡时，辐射换热量为零，但辐射与吸收过程仍在不停地进行，只是辐射热与吸收热相等。 辐射换热的特点：① 不需要冷热物体的直接接触，即不需要介质的存在，在真空中就可以传递能量；② 在辐射换热过程中伴随着能量形式的转换（物体的热力学能→电磁波能→物体热力学能); ③ 无论温度高低，物体都在不停地相互发射电磁波能、相互辐射能量，高温物体辐射给低温物体的能量大于低温物体辐射给高温

14 绪 论 物体的能量，总的结果是热由高温传到低温。还有一些规律在后面的章节中介绍。 下面学习热阻的概念
在电学中学习了欧姆定律( I=U/R )，其中R就是电阻值。在此借用电学中的欧姆定律，令I=q，U=ΔT，结合导热的傅里叶定律和对流换热的牛顿冷却公式，则热阻 Rt 就相当于电阻R。导热热阻和对流换热热阻分别为Rλ=δ/λ和Rh=1/h，单位m2.K/W或K/W。当然辐射换热也有热阻，常用折合热阻的意思。 0.5 传热过程 传热过程指热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程。 传热过程的组成，一般包括串联着的三个环节组成，即：① 热流

15 绪 论 体→壁面高温侧；② 壁面高温侧→壁面低温侧；③ 壁面低温侧→冷流体。若是稳态过程则通过串联环节的热流量相同。
传热过程包含的传热方式：导热、对流、热辐射(忽略此项) 考虑一维稳态传热过程中的热量传递 左侧对流换热热阻 固体的导热热阻 右侧对流换热热阻 上面传热过程中传递的热量为 结合公式 ,传热系数

16 绪 论 传热系数是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关，单位W/m2.K。k 越大，传热性能越好。从传热系数计算式可以看出若要增大 k，可增大h1、λ 和h2或减小δ。上述计算中未考虑流体与壁面间有辐射换热现象。 记住：非稳态传热过程以及有内热源时，不能用热阻分析法 0.6 传热学发展简史 18世纪30年代工业化革命促进了传热学的发展。 导热（Heat conduction） 钻炮筒大量发热的实验（B. T. Rumford, 1798）； 两块冰摩擦生热化为水的实验（H. Davy, 1799）； 导热热量和温差及壁厚的关系（J. B. Biot, 1804）； Fourier 导热定律 (J. B. J. Fourier , 1822 ）等等。

17 绪 论 对流换热 （Convection heat transfer） 不可压缩流动方程 （M.Navier,1823)
流体流动Navier-Stokes基本方程 (G.G.Stokes,1845） 雷诺数(O.Reynolds,1880） 自然对流的理论解（L.Lorentz, 1881） 管内换热的理论解（L.Graetz, 1885；W.Nusselt,1916） 凝结换热理论解 （W.Nusselt, 1916） 强制对流与自然对流无量纲数的原则关系 (W.Nusselt,1909/1915） 流体边界层概念 （L.Prandtl, 1904） 热边界层概念 （E.Pohlhausen, 1921） 湍流计算模型 （L.Prandtl,1925；Th.Von Karman, 1939；R.C. Martinelli, 1947）。

18 绪 论 热辐射及辐射换热(Thermal radiation) 黑体辐射光谱能量分布的实验数据(O.Lummer,1889）；
黑体辐射能量和温度的关系(J.Stefan and L.Botzmann,1889）； 黑体辐射光谱能量分布的公式 维恩公式（1896）Rayleigh-Jeans公式； 能量子假说 (M. Planck,1900)和光量子理论(A.Einstein,1905)； 物体的发射率与吸收比的关系（G.Kirchhoff,1859/1860）； 物体间辐射换热的计算方法 （波略克，1935；H.C.Hotel, 1954；A.K.Oppenheim,1956)。 数值传热学 （1970） 思考题 1.热量传递的基本方式及传热机理。

19 绪 论 2.一维傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的定义。 3.牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。
4.黑体辐射换热的四次方定律基本表达式及其中各物理量的定义。 5.传热过程及传热系数的定义及物理意义。 6.热阻的概念. 对流热阻, 导热热阻的定义及基本表达式。 7.接触热阻,污垢热阻的概念。 8.使用串连热阻叠加的原则和在换热计算中的应用。 9.对流换热和传热过程的区别. 表面传热系数(对流换热系数)和传热系数的区别。 10.导热系数, 表面传热系数和传热系数之间的区别。 (END)

20 第一章 导热理论基础 本章重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
① 傅立叶定律及其应用；             ② 导热系数及其影响因素；                ③ 导热问题的数学模型。 导热是指温度不同的物体各部分或温度不同的两物体之间直接接触而发生的热传递现象。导热可以发生在固体、液体和气体中，也可以发生在金属和非金属中，但其导热机理是不同的(见▲)。 1.1 基本概念及傅里叶定律 温度场(Temperature field)是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。 根据傅立叶定律，物体的温度分布是坐标和时间的函数。 t =f( x, y, z, τ) 其中x, y, z为空间坐标， τ为时间坐标。

21 第一章 导热理论基础 温度场分类:稳态温度场（定常温度场）和非稳态温度场（非定常温度场）。
稳态温度场（Steady-state conduction）是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式 t =f( x, y, z) ，可以表示为∂t/∂τ = 0。 非稳态温度场（Transient conduction）是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式 t =f( x, y, z, τ) 。 若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称为一维温度场。主要掌握一维稳态导热问题的求解方法。 等温面指同一时刻，温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。

22 第一章 导热理论基础 等温线指用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。 等温面与等温线的特点
温度不同的等温面或等温线彼此不能相交； 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。 物体的温度场通常用等温面或等温线 来表示。等温线图的物理意义：若每 条等温线间的温度间隔相等时，等温 线的疏密可反映出不同区域导热热流 密度的大小，如图所示是用等温线图 表示温度场的实例。

23 第一章 导热理论基础 温度梯度 (Temperature gradient) 是沿 等温面法线方向上的温度增量与法向
距离比值的极限，用gradt 表示。 等温面上没有温差，不会有热量传递； 温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向。 gradt = ∂t/∂n .n = ∂t/∂x .i+ ∂t/∂y .j+ ∂t/∂z .k 热流矢量是指等温面上某点，以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上正好等于沿该方向热流密度的矢量。与温度梯度相类似 q = qxi + qyj +qzk 。下面给出导热基本定律 导热基本定律(傅立叶定律)：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化

24 第一章 导热理论基础 率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即 数学表达式 ，傅里叶定律用热流密度表示
数学表达式 ，傅里叶定律用热流密度表示 负号表示热量传递方向与温度梯度(升高)的方向相反，傅里叶定律一般式 q=-λgradt =- λ ∂t/∂n .n =- λ (∂t/∂x .i+ ∂t/∂y .j+ ∂t/∂z .k) 热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。热流(密度)矢量与热流线的关系：在整个物体中，热流密度 矢量的走向可用热流线表示， 其特点是相邻两个热流线之间 所传递的热流密度矢量处处相 等，构成一热流通道。 傅里叶定律只适用于各向同性

25 第一章 导热理论基础 材料(也就是热导率在各个方向是相同的)。
导热系数(导热率、比例系数)可由傅里叶定律得到，在数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。热导率的数值表征物质导热能力大小，单位W/m.K，由实验测定。 影响热导率的因素有物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等，通常λ金属＞ λ非金属，λ固体＞λ液体＞λ气体。 不同物质热导率的差异，原因在于其构造差别和导热机理不同。气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递，一般λ气体≈ 0.006~0.6W/m.K，对于空气：0℃, λ=0.0244W/m.K, 20℃ λ=0.026W/m.K；除非压力很低或很高(在2.67×10-3~ 2.0×103MPa)范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 液体的热导率：主要依靠晶格的振动， λ≈0.07~0.7W/m.K，20 ℃

26 第一章 导热理论基础 的水 λ=0.6W/m.K。大多数液体（分子量M不变），温度升高T↑（或压力下降p↓），密度下降ρ↓， λ也降低。
固体的热导率分金属固体和非金属固体两种情况，纯金属的导热依靠自由电子的迁移和晶格的振动，且主要依靠前者，与导电机理一致，良导电体也是良导热体， λ金属≈ 12~418W/m.K；非金属的导热依靠晶格的振动传递热量，比较小，λ非金属≈ 0.025~3W/m.K，多孔材料的热导率与密度和湿度有关，大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构。 保温材料(隔热、绝热材料)指导热系数小的材料。我国文献中规定：t ≤350℃时，热导率λ ≤0.12W/m.K的材料定义为保温材料，导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。 λ越小，生产及节能的水平越高。我国 50 年代 0.23W/m.K,

27 第一章 导热理论基础 80 年代 GB4272-84 为0.14W/m.KGB427-92为0.12W/m.K。
根据热导率的性质，提高保温材料的保温性能( 高效保温材料)，对保温材料的热量转移机理进行了大量研究，采取的措施有：高温(或更高温度)时采用蜂窝固体结构的导热和穿过微小气孔的导热，其原理是多孔中的空气热导率小于固体或真空没有导热(但存在辐射)。如超级保温材料就是采取这样的方法：① 夹层中抽真空(减少通过导热而造成热损失)；② 采用多层间隔结构(1cm 达十几层)，特点是间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达10~4W/m.K。 各向异性材料指象木材、石墨等这些材料，具有各向结构不同，各方向上的热导率λ也有较大差别。此类材料的λ 必须注明方向。各向同性材料指各方向上的热导率λ相同的材料。

28 第一章 导热理论基础 1.2 导热微分方程式 (Heat Diffusion Equation)
计算通过导热传递的热量，可以利用傅里叶定律 q=-λgradt计算，应知道物体内的温度场t =f( x, y, z, τ) ，因此确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务。 导热微分方程是根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式。 推导导热微分方程的理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 假设：① 所研究的物体是各向同性的连续介质；② 热导率、比热容和密度均为已知；③ 物体内具有内热源，热源均匀分布，强度 qv (W/m3)。 根据热力学第一定律，q=ΔU+W，∵W =0，∴ q=ΔU。 d 时间内微元体中的能量守恒：

29 [导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]
第一章 导热理论基础 [导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加] d 时间内沿 x 轴方向导入与导出微 元体的净热量 dQx =qx.dydz.dτ 元体的净热量 dQx+dx =qx+dx.dydz.dτ 其中qx+dx =qx + ∂qx/∂x.dx d时间内沿 x 轴方向导入与导出微 元体净热量 dQx - dQx+dx = - ∂qx/∂x.dx dydz. dτ 同理可得出d时间内沿 y轴和z轴方向导入与导出微元体净热量 dQy - dQy+dy = - ∂qy/∂y.dx dydz. dτ dQz - dQz+dz = - ∂qz/∂z.dx dydz. dτ 结合傅里叶定律，可得出导入与导出微元体的净热量①

30 第一章 导热理论基础 d 时间内微元体中内热源的发热量②： qv . dxdydz . dτ d 时间内微元体中热力学能的增量③：
mcdt=ρc ∂t/∂τ .dxdydz . dτ 能量守恒③=①+② 若物性参数 、c 和  均为常数 热扩散率a 是表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力，它反映了导热过程中材料的导热能力()与沿途物质储热能力(ρc )之间的关系； a值大，说明 值大或 ρc值小，

31 第一章 导热理论基础 说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。所以说热扩散率a反映了导热过程的动态特性，在研究非稳态导热过程的重要物理量，下一章重点学习。 若物性参数为常数且无内热源 若物性参数为常数、无内热源稳态导热 对于圆柱坐标系(r, , z) 对于球坐标系(r,  , ) 上述三式给出了不同坐标系的非稳态导热的微分方程式，其物理

32 第一章 导热理论基础 意义是反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。
导热微分方程式不适用情况：非傅里叶导热过程、在极短时间内产生极大的热流密度的热传递过程(如激光加工过程)和极低温度(接近于0K)时的导热问题。综上说明 导热问题仍然服从能量守恒定律； 等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）； 等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内 增加的能量(扩散项)； 等号右边最后项是源项； 若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。 通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分

33 第一章 导热理论基础 方程式的求解；预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。 1.3 定解条件(导热过程的单值性条件)
定解条件是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件，有几何、物理、时间和边界条件四项。 定解条件分类：① 初始条件：初始时间(时刻)温度分布的初始条件；② 边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。注意：非稳态导热定解条件有两个； 稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。 导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类： 规定边界上的温度值，称为第一类边界条件。如非稳态导热问题求解，要求给出以下关系式 ，前面导热问题；

34 第一章 导热理论基础 ② 规定边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。如非稳态导热问题的求解，要求给出以下关系式 ；
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值，稳态导热时，qw=const；非稳态导热时，qw=f2(τ)；特例绝热边界面时， 。 ③ 规定边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体温度，称为第三类边界条件，由牛顿冷却定律 qw=h(tw-tf) 和傅里叶定律qw=-λ(∂t/∂n)w，可表示为 。 导热微分方程式的求解方法：积分法、杜哈美尔法、格林函数法、拉普拉斯变换法 、分离变量法、积分变换法、数值计算法。求解思路：导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场。(END)

35 第二章 稳态导热 本章重点内容： ① 稳态导热的特点及其数学描述▽2t+qv/λ=0； ② 通过平壁的导热问题， ；
② 通过平壁的导热问题， ； ③ 通过圆筒壁的导热问题， ； ④ 通过肋壁的导热问题。 稳态导热过程的特点：物体的温度不随时间发生变化，即∂t/∂τ =0,若物体为常物性时，导热微分方程 ▽2t+qv/λ=0；在没有内热源的情况下，导热微分方程▽2t=0。这里可以表示为直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系，大家可以看书中的介绍。在上述三种坐标系中有一个特殊情形，就是可以归结为温度仅沿一个方向变化，且与时间无关的一维稳态导热过程，如通过房屋墙壁和汽轮机气缸等可视为平壁导热问题；长热力管道管壁的导热可视为圆筒壁的

36 第二章 稳态导热 的一维稳态导热；而实验中测量沙粒的导热系数实验装置可视为球面的一维稳态导热；而本行业常见的换热设备中常采用的肋壁导热过程。 2.1 通过平壁的导热 首先将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板、圆柱和圆球内的导热过程。它们有一个共同的特点，具有规则的几何形状。对于平壁可由直角坐标系的导热微分方程简化得出，如单层平壁的导热可以描述为： ① 几何条件：单层平板； ② 物理条件：、c、 已知，无内热源； ③ 时间条件：稳态导热过程∂t/∂τ =0； ④ 边界条件 o  x

37 第二章 稳态导热 控制方程 A.第一类边界条件 直接积分得 代入边界条件 代入Fourier 定律

38 第二章 稳态导热 热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况。
热阻的含义是指热转移过程的阻力。热量传递是自然界的一种转换过程 , 与自然界的其他转换过程类似，如电量、动量、质量等的转换。其共同规律可表示为：过程中的转换量=过程中的动力/过程中阻力。 热阻的分类：不同的热量转移有不同的热阻，如导热热阻、辐射热阻、对流热阻等。对平板导热而言，有面积热阻RA(单位面积的导热热阻)和热阻R(整个平板导热热阻)。 热阻的特点：串联热阻满足叠加原则，在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。

39 第二章 稳态导热 多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料组成。例如房屋的墙壁由白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成。假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等。 边界条件 热阻 由热阻分析法 问题：已知q如何计算其中第i层的右侧壁温？

40 第二章 稳态导热 注意：在工程上还有一类复合平壁，无论沿宽度或厚度方向都是由不同材料组合而成，如空斗墙、空斗填充墙、空心板和夹芯板等，由于不同材料导热系数的不相等，因此复合平壁的温度场是二维的甚至三维的，只有当组成复合平壁的各种不同材料的导热系数相差不是很大时，才可以按上面一维导热问题处理。 下面讨论第一类边界条件下导热系数随温度变化的情形 设λ=λ0(1+bt)， 则等式右边第一项为0。结果是当导热系数随温度变化时，平壁内的温度分布是二次曲线方程，当导热系数为常数时，b=0，λ=λ0 (λ0的特点)；当b>0，则曲线向上凸，当b<0，曲线向下凹， b=0，导热系数为常数的导热。 注：对于一维导热过程还可以由傅里叶定律分离变量积分求得，这种方法简单，仅适用于一维稳态导热，不是普遍适用的方法。

41 第二章 稳态导热 B.第三类边界条件的一维稳态导热过程，结合导热微分方程和边界条件，可得热流体通过平壁传给冷流体的热流密度
q=(tf1-tf2)/(Rt1+Rtδ+Rt2) 其中：Rt1=1/h1， Rtδ=δ/λi， Rt2=1/h2 实质上就是前面介绍的传热过程。 若平壁是由几层不同材料组成的 多层平壁，则 即多层平壁的总热阻等于各层热 阻之和。

42 第二章 稳态导热 1.2 单层圆筒壁的导热 工程上的热力管道，其长度远大于壁厚(一般当管道长度l:外径do ≥10)时，可以忽略沿轴向的温度变化，假设内、外壁面温度是均匀的，则温度场是轴对称的。 一维稳态无内热源常物性的导热过程 第一类边界条件 已知温度分布后可求得通过圆筒壁的导热

43 第二章 稳态导热 热流量。对于无限大平壁，各截面上的热流密度相同；对于圆筒壁，dt/dr不等于常数，不同半径r处的热流密度并不是常数。但在稳态情况下，通过l长度的圆筒壁的导热热流量是恒定的 热流密度 长度l圆筒壁的导热热流量 工程上为了计算方便，按单位管长计算热流量 ql =Ф/l。 单位长度圆筒壁的导热热阻 Rλl =ln(d2/d1)/2πλ，单位[m.K/W]。 圆筒壁内温度分布曲线的形状

44 第二章 稳态导热 n层圆筒壁 由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算，可应用串联热阻的性质计算
单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热

45 第二章 稳态导热 通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻[mK/W] 提一下通过球壳的导热 对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球
壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热 问题。 温度分布 热流量 热阻

46 第二章 稳态导热 其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： ① 求解导热微分方程，获得温度场；
② 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。 一维Fourier定律 当＝(t), A=A(x)时 分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关(稳态)，可得 实际上，不论如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利

47  第二章 稳态导热 用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。 当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则
1.3 通过肋片的导热 肋片是指依附于基础表面上的扩展表面。 常见肋片的结构有针肋、直肋、环肋、大套片； 结合第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热的结论 为了增加传热量，可以采取哪些措施? 增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制； 减小热阻（ ①金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略；② ) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的；③增 

48 第二章 稳态导热 大换热面积 A 也能增加传热量）。
在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段，有肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面

49 第二章 稳态导热 通过等截面直肋的导热 已知： ① 矩形直肋； ② 肋跟温度为t0，且 t0 >t； ③ 肋片与环境的表面
传热系数为h； ④,h和Ac均保持不变。 求温度场t和热流量 严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维问题比较复杂，将问题简化为一维问题。

50 第二章 稳态导热 简化：宽度 l >>和H肋片长度方向温度均匀l=1；大且<<H认为温度沿厚度方向均匀。
边界条件：肋根(第一类)；肋端(绝热)；四周(对流换热). 求解这个问题可以从两个方面入手：导热微分方程；能量守恒＋Fourier law。 能量守恒 Fourier定律 Newton冷却公式 得肋壁的导热微分方程

51 第二章 稳态导热 引入过余温度 和参数 带入上式得 边界条件 方程的通解为 应用边界条件可得 最后可得等截面内的温度分布 双曲正弦函数
引入过余温度 和参数 带入上式得 边界条件 方程的通解为 应用边界条件可得 最后可得等截面内的温度分布 双曲正弦函数 双曲余弦函数 双曲正切函数

52 第二章 稳态导热 稳态条件下肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量 肋端过余温度（即x ＝H的过余温度）： 下面对上式使用时几点说明：
① 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：Hc=H +  /2； ② 上述分析近似认为肋片温度场为一维。当Bi=h / 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的——数值计算。 肋片效率是为了从散热角度评价加装肋片后换热效果而提出来的。

53   第二章 稳态导热 物理意义是表征肋片散热有效程度的指标。 肋效率ηf 指实际散热量与假设整个肋表面都处于肋基温度下的散热量之比值。
其中肋片的纵截面积 可见，mH与参量 有关,其关系曲线如图2-17所示。这样矩形直肋的散热量可以不用上式复杂地计算，而直接用图2-17查图得出ηf 。然后散热量 。 影响肋片效率的因素有肋片材料的热导率  、肋片表面与周围介  

54 第二章 稳态导热 质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状和尺寸(P、A、H)。
为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。 对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图2-17和2-18分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线(Pp46)。

55 第二章 稳态导热 1.4 具有内热源的导热问题求解 生活中，如电缆(存在电阻，输送电力时将产生能量损失，并以热能形式散发出来)、混凝土凝固、核电站核燃料元件等放热问题，具有内热源的多孔介质中自然对流传热传质过程广泛应用在许多自然科学和工业工程中(例如换热器、化工过程和电子系统冷却、颗粒堆积床中的放热化学反应等)，还有内部热源的导热与对流换热的祸合传热问题是工程技术领域中常见的一种复杂换热问题(例如太阳能吸热器、微电子设备的冷却，室内火灾分析等等)，都可以看成具有内热源的导热问题。 我们仅讨论平壁中具有均匀内热源的情形。平壁具有均匀的内热源Φ，其两侧同时与温度为tf 的流体发生对流换热，表面传热系数为h，要确定平板中任一处的温度及通过该截面处的热流密度？由

56 第二章 稳态导热 于对称性，只要研究板厚的一半，见右图 问题的数学描述 得温度分布 t = Φ(δ2-x2)/2λ+ Φδ/h+tf
q=-λdt/dx= Φx 若定壁面温度，将x =δ, t=tw, 温度分布 t = Φ(δ2-x2)/2λ+tw 可以在图中表示出具有内热源的温度曲线。 思考：对于具有内热源的圆筒壁导热问题 同样列出问题的数学描述

57 第二章 稳态导热 两个重要概念 临界热绝缘直径 从多层圆柱体第三类边界条件问题的求解结果 传热过程的总热阻
上式说明临界热绝缘直径与保温层所选用材料的导热系数有关，选取原则是管径越小其保温材料的导热系数也越小。

58 第二章 稳态导热 接触热阻(Thermal contact resistance)
实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触 ——给导热带来额外的热阻。 当界面上的空隙中充满导热系 数远小于固体的气体时，接触 热阻的影响更突出。 当两固体壁具有温差时，接合 处的热传递机理为接触点间的 固体导热和间隙中的空气导热， 对流和辐射的影响一般不大。

59 第二章 稳态导热 结论：①当热流量不变时，接触热阻rc较大时，必然在界面上产生较大温差；②当温差不变时，热流量必然随着接触热阻rc的增大而下降；③即使接触热阻rc不是很大，若热流量很大，界面上的温差是不容忽视的。 这两章的思考题： 失量傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的定义。 温度场、等温面、等温线的概念。 利用能量守恒定律和傅立叶定律推导导热微分方程的基本方法。 使用热阻概念, 对通过单层和多层平板, 圆筒和球壳壁面的一维导热问题的计算方法。

60 第二章 稳态导热 利用能量守恒定律和傅立叶定律推导等截面和变截面肋片的导热微分方程的基本方法。
导热系数为温度的线性函数时, 一维平板内温度分布曲线的形状及判断方法。 肋效率的定义。肋片内温度分布及肋片表面散热量的计算。 放置在环境空气中的有内热源物体一维导热问题的计算方法。 导热问题三类边界条件的数学描述。 两维物体内等温线的物理意义，从等温线分布上可以看出哪些热物理特征。 导热系数为什么和物体温度有关? 而在实际工程中为什么经常将导热系数作为常数。 什么是形状因子? 如何应用形状因子进行多维导热问题的计算? (END)

61 第三章 非稳态导热 本章重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题求解。
要求掌握的内容：确定瞬时温度场的方法和确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。要求了解的内容有无限大物体非稳态导热的基本特点。 非稳态导热是很常见的，严格意义上的稳态导热是不存在的。根据非稳态导热过程的特点，可分为周期性的和瞬态的两大类。如周期性非稳态导热过程表现为物体的温度按照一定的周期发生变化，使得物体传递的热流密度也表现为周期性变化的特点；而瞬态导热过程是物体的温度随时间不断地变化(升高或降低)，在经

62 第三章 非稳态导热 历相当长时间后最终达到热平衡。 3.1 非稳态导热的基本概念
非稳态导热是指物体的温度随时间而变化的导热过程。 可分为周期性非稳态导热和瞬态非稳态导热，着重讨论瞬态非稳态导热。 温度分布的特点：以平壁内温度场的 变化过程为例，设有一定壁厚的平壁， 初始温度为T0，将其左侧表面的温度 突然加热升高到TH并维持不变，而右 侧表面仍与温度为T0的空气相接触。 在紧靠平壁左侧的区域温度首先上升， 其余部分仍然保持为原来的温度。经 过某一时刻，壁内温度分布如图中曲线HBD所示。

63 第三章 非稳态导热 平壁内温度场的变化过程随着时间的推移，温度变化波及的范围逐渐扩大, 平壁内自左向右，各截面温度依次升高，温度变化一层一层地传播到平壁的右侧表面HCD→HD。在一定时间之后，右侧表面温度也逐渐升高,如曲线HE→HF所示。 平壁内温度场的变化经过足够长时间(理论上为无限长时间)后，壁内温度分布将成为一条直线HG。此时非稳态导热过程结束，进入稳态导热过程。 将上述非稳态导热过程分为两个不同的阶段： 非正规状况阶段(右侧面不参与换热 )：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，特点是温度分布主要受初始温度分布控制。

64 第三章 非稳态导热 正规状况阶段(右侧面参与换热 )：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 T0 影响，主要取决于边界条件及物性，主要特点是温度分布主要取决于边界条件及物性。 导热过程的三个阶段可以划分为非正规状况阶段(起始阶段)、正规状况阶段和新的稳态。由此可以得出周期性非稳态导热和瞬态非稳态导热的根本区别在于前者没有非稳态导热过程的两个不同阶段，而后者有。 学习非稳态导热的目的： 了解温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律。 非稳态导热的导热微分方程式

65 第三章 非稳态导热 求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法有分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换；
近似分析法有集总参数法、积分法； 数值解法有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟 周期性非稳态导热过程，如夏季制冷，由于室外空气温度tf 以一天24h为周期进行周而复始的变化，建筑物室外墙面温度t|x=0也以24h为周期的变化，但它比室外空气温度变化滞后一个相位，当室内空气温度维持不变，但内墙处温度受室外温度周期地变化的影响，同样会周期性变化。只是外墙温度变化大，而内墙温度变化小(见pp56图3-2)。周期性非稳态导热过程的特点(两点)是一方面物体内各处的温度按一定的振幅随时间周期地波动；另一方面同一时刻物体内的温度分布也是周期性波动。

66 第三章 非稳态导热 tf h 本章以第三类边界条件为重点讨论非稳态导热过程的求解方法。 问题分析：如图所示存在两个换热环节 t
① 流体与物体表面的对流换热环节 Rh =1/h ② 物体内部的导热 Rλ =δ/λ 毕渥数的定义 Bi数对温度分布的影响 当Bi→∞时， Rλ >> Rh ，可以忽略对流换热热阻，过程一开始物体的表面温度就被冷却到tf ，并随着时间的推移整体逐渐趋近于tf 。 当Bi→∞时， Rλ << Rh ，可以忽略导热热阻，任一时物体内各点的温度接近均匀，并随着时间的推移整体地下降，逐渐趋近于tf 。 tf h x t 

67 第三章 非稳态导热 0 < Bi < ∞ 引入无量纲数 当所研究的问题非常复杂，涉及的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有量纲，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数。如毕渥数又称毕渥准则。 特征长度是指特征数涉及到的几何尺度，用符号 l 表示。

68 第三章 非稳态导热 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
数学方法求解传热问题包括两个方面(建立数学模型)： (1) 常对实际问题适当简化，建立数学模型，求解(精确解、近似解、数值解)。简化涉及三个方面：① 边界条件简化(导热问题归纳三类边界条件；② 导热物体内部热阻简化处理(集总参数法)；③ 导热物体形状的简化(从实物各种形状中抽象简化出了无限大平板:厚度δ<<l，无限长圆柱:直径d<<l等概念)，将导热问题简化为一维导热(坐标系的选择应根据不同形状选用相应坐标系)。 (2) 建立数学方程求得通解，与定解条件(初始+边界条件)特解。 3.2 一维非稳态导热的分析解（无限大平壁的瞬态导热） 有一厚度为2δ的无限大平壁，其物性参数λ、a 均为已知常数，初

69 第三章 非稳态导热 tf h 始时平壁各处和两侧介质温度均匀t0，假 t 设突然两侧介质温度降低为tf 并保持不变。
上述一维瞬态导热可描述为 τ >0，0< x <δ 初始条件 τ=0，t = t0 0< x <δ 边界条件 (对称性) 引入变量(过余温度) θ(x,τ)=t(x,τ)-tf 上述公式简化为 用分离变量法可得其分析解为 tf h x t 

70 第三章 非稳态导热 可得出第三类边界条件下无限大平壁冷却时壁内温度分布
定义一个无量纲参数，傅里叶准则数 Fo=aτ/δ2，它是非稳态导热过程的无量纲时间。 因此上述解析结果可表示为 下面讨论非稳态导热的正规状况 表现为上述解可利用无穷级数的第一项来近似，工程上一般可取Fo≥0.2，其分析解取级数的首项，板中心温度误差小于1%，这个精度完全满足工程需要。 特点是与时间无关

71 第三章 非稳态导热 非稳态导热所能传递的最大热量(等于其蓄热量): Q0=ρcV(t0-t∞)，若令Q为[0,τ]内所传递热量，则
其中 为某时刻的平均过余温度，可表示为 详细的计算方法可以参考文献杨世铭《传热学》。 对无限大平板、长圆柱体及球都可以采用如下通式计算 此处的A及函数f(μl ,y)可查相应的表。 无限大平板 长圆柱体及球

72 第三章 非稳态导热 可见上述计算是非常复杂的，工程上对于Fo≥0.2的无限大平壁非稳态导热过程，通常应用分析解的计算线图(采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线称为诺模图；在诺模图中用以确定温度分布的图线称海斯勒图)。书中图3-5给出了无限大平壁无量纲中心温度θm/θ0=f(Bi,Fo)，图3-6给出了无限大平壁任一位置无量纲温度θ(x,τ)/θm=f(Bi,x/δ)，图3-7为无限大平壁无量纲热流Φτ/Φ0=f(Bi,Fo). 结合公式 ，取对数可得到如下形式 lnθ =-mτ+K(Bi,x/δ)，其中m=β12a/δ2。 当Fo≥0.2时，物体在给定的条件下冷却或加热，物体中任何给定位置过余温度的对数值随时间按线性规律变化，其中τ*=0.2δ2/a，当τ> τ*时称瞬态温度变化的正常情况阶段，m就是冷却(加热)率，且冷却率m与时间和位置无关，仅取决于物体的热物性参数、形

73 第三章 非稳态导热 状和尺寸以及物体表面的边界条件。根据这一特点，可以利用瞬态法测定物体材料的热物性参数。
集总参数法(看看Bi数对温度分布的影响) 忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，Bi→0 温度分布只与时间有关，即t =f(τ) ，与空间位置无关，也称为零维问题。 温度分布：任意形状的物体，参数 均为已知，且τ =0时，t =t0 将其突然置于温度恒为t∞的流体中。 当物体被冷却时，由能量守恒可知

74 第三章 非稳态导热 令θ =t-t∞过余温度，上式 (控制方程) (初始条件) 分析解 过余温度比值，说明物体中的温度呈指 数分布。
分析解 过余温度比值，说明物体中的温度呈指 数分布。 其中指数项： 下面看看指数的量纲： 即与1/τ的量纲相同，当τ=ρVc/hA时，则θ/θ0=e-1=36.8%。

75 第三章 非稳态导热 上式表明：当传热时间等于ρVc/hA时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称ρVc/hA为时间常数，用τC表示。 应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线

76 第三章 非稳态导热 如果导热体的热容量(Vc)小、换热条件好(h大)，那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/hA)小。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快，这是测温技术所需要的。如微细热电偶、薄膜热电阻。 由于τ=4ρVc/hA时，有θ/θ0=e-4=1.83%，工程上认为此时导热体已达到热平衡状态。 瞬态热流量，Φ(τ)=hA(t(τ)-t∞)=hAθ=hAθ0e- ρVcτ/hA。 导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量： 思考：当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）

77 第三章 非稳态导热 集总参数法的准则数说明，即BivFov物理意义。 无量纲热阻 无量纲时间
集总参数法的应用条件 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%， 对厚为2δ的无限大平板 对半径为R的无限长圆柱 对半径为R的球

78 第三章 非稳态导热 半无限大物体的瞬态导热 概念：半无限大物体指以无限大的y-z平面为界面，在正x方向延伸至无穷远的物体。这里仅了解该问题的数学描述方法，已知该物体的初始温度t0，导热过程开始时，表面温度突然升为tw且维持不变，令θ=t-t0。 ∂θ/∂τ=a∂2θ/∂x2 τ=0，θ=0 x=0，θ=tw-t0=θw x→∞，θ=0。求解过程可参考《数学物理方法》和书中pp67 二维及三维问题的求解 考察一无限长方柱体 截面为2δl1× 2δl2的长方形

79 第三章 非稳态导热 利用以下两组方程便可证明 Θ(x,y,τ)=Θ(x,τ)·Θ(y,τ) 及

80 第三章 非稳态导热 其中： 即证明了Θ(x,τ)·Θ(y,τ)是无限长方柱体导热微分方程的解，这样可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题。 思考题 １非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi0 和Bi 各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方法。时间常数的定义及物理意义. ６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特点。

81 第三章 非稳态导热 ７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。
８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的概念如何应用在实际工程问题中。 ８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况阶段的换热问题? ９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热问题? 10半无限大平板非稳态导热的计算方法。

82 第四章 导热数值解法基础 本章重点内容 ① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
要求掌握内容：数值解法的实质。 了解内容：非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。求解导热问题的三种基本方法：理论分析法、数值计算 法、实验法。 三种方法的基本求解过程 理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解，也称为理论解； 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，如导热物

83 第四章 导热数值解法基础 体的温度场等用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；也称为数值解，这也是数值解法的实质； 实验法，就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 三种方法的特点 分析法：①能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；②局限性很大，对复杂的问题无法求解；③分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。 实验法: 是传热学的基本研究方法，①适应性不好；②费用昂贵

84 第四章 导热数值解法基础 从前两章的分析可见，如直接积分法和分离变量法，导热问题分析解是相当繁难的、复杂的，且对于复杂几何形状的物体和非线性边界条件下的导热问题，求解分析解几乎是不可能的。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：有限差分法 finite-difference、有限元方法 finite-element 、边界元方法 boundary- element和分子动力学模拟(MD)。 分析解法与数值解法的异同点： 相同点：根本目的是相同的，即确定温度场t =f(x ,y,z;τ) ； 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。

85 第四章 导热数值解法基础 物理问题的数值求解过程 例题：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题(见图)。 建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化） 设立温度场的迭代初值 建立节点物理量的代数方程 求解代数方程 改进初场 否 是否收敛 是 解的分析

86 第四章 导热数值解法基础 基本概念 控制容积或称微元体，每个节点都可以看作是以它为中心的一个小区域的代表，每个节点的温度代表它所在微元体的平均温度。 网格线指一系列与坐标轴平行的线段。界面线就是边界线。 节点指网格线的交点。 步长指相邻两节点的距 离。 当Δx=Δy时均匀网格。 网格步长也可以不等称 非均匀网格。 网格线与物体边界的交 点称为边界节点。 x y n m (m,n) M N

87 第四章 导热数值解法基础 4.1 建立离散方程的方法 (1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法) 泰勒级数展开法。根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n 同样也可以用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n

88 第四章 导热数值解法基础 若取上面式右边的前三项，并将两式相加移项整理即得二阶导数的中心差分 同样可得
截断误差：上两式级数余项中的Δx和Δy的最低阶数为2。 一阶导数可表示为(三种方法) (∂t/∂x)│m,n=(tm+1,n-tm,n)/Δx+o(Δx) 向前差分表达式 (∂t/∂x)│m,n=(tm,n-tm-1,n)/Δx+o(Δx) 向后差分表达式 (∂t/∂x)│m,n=(tm+1,n-tm-1,n)/2Δx+o(Δx2) 中心差分表达式 对于温度对时间的一阶导数(非稳态导热问题)，常常采用向前(向后)差分表达式，原因是温度对时间一阶导数的中心差分表达式求解非稳态导热问题将导致数值解的不稳定。

89 第四章 导热数值解法基础 第四章 导热数值解法基础 对于二维常物性稳态导热问题。在直角坐标中，其导热微分方程为： 离散后其节点方程为：
控制容积平衡法(也称为热平衡法) 基本思想：对每个有限大小的控制容积都应用能量守恒，获得温度场的代数方程组。该方法是从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 即 Φi+Φv=Φo+Φτ 单位W，该式对内部节点和边界节点均适用

90 第四章 导热数值解法基础 o y x y x 举例：常物性、稳态、无内热源导热问题 从所有方向流入控制体的总热流量＝0 内部节点
当温度场还没有求出来之 前，我们并不知道dt/dx， 所以必须假设相邻节点间 的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布(从以前的分析可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布)，因此可写出如下表达式 (m, n) o y x (m-1,n) (m+1,n) (m,n-1) x y (m,n+1)

91 第四章 导热数值解法基础 结合能量守恒方程可写出 当Δx=Δy时

92 第四章 导热数值解法基础 重要说明：所求节点温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。 4.2 稳态导热的数值计算 对于内节点离散方程的建立，可以采用前面的Taylor（泰勒）级数展开法和控制容积平衡法(热平衡法)，比较简单。下面介绍边界节点离散方程的建立 对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。 而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点

93 第四章 导热数值解法基础 的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式，用Φ表示内热源强度。 平直边界上的节点 当Δx=Δy时 x y qw qw

94 第四章 导热数值解法基础 外部角点 内部角点 讨论关于边界热流密度的三种情况 绝热边界，令qw=0即可；
qw值不为零，流入元体， qw取正；流出元体， qw取负即可； 对流边界，此时qw=h(tf -tm,n) ，将此表达式代入上述方程，并将此项中的tm,n与等号前的tm,n合并，可得如下公式 平直边界

95 第四章 导热数值解法基础 辐射边界条件 qw=const=εσ(tf4-tm,n4)或其他条件。 代数方程的求解方法
直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。迭代法目前应用较多的方法，主要包括高斯-赛德尔迭代法(每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值)和雅可比迭代法(每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值)。 高斯-赛德尔迭代法是先假设一组解(迭代初场)，记为：ti(0) 代入迭代方程求得第一次解ti(1)，每次计算均用最新值代入，直到相邻

96 第四章 导热数值解法基础 两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。判断收敛的准则有
max│ti(k+1)-ti(k)│≤ε ， max│(ti(k+1)-ti(k))/ ti(k) │≤ε 或max│(ti(k+1)-ti(k))/ tmax(k) │≤ε 其中ε为允许的偏差，一般相对偏差值取10-3~10-6。 对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散； 对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，这样结果一定收敛。这一条件数学上称主对角线占优(对角占优)，即 。

97 第四章 导热数值解法基础 采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。 思考题 1.节点的概念。 2.向前差分、先后差分、中心差分的概念。 3.利用能量守恒定律和傅立叶定律, 推导内点和边界点离散方程的基本方法。 4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起, 不计接触热阻, 如何推导接触面上节点离散方程。 5.显式差分方程及稳定性判据。 6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别。

98 第四章 导热数值解法基础

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