《 统计预测和决策》 主讲教师：斯琴 联系方式：sq_6552980@163.com 内蒙古财经大学统计学系.

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1 《 统计预测和决策》 主讲教师：斯琴 内蒙古财经大学统计学系

2 目 录 1 统计预测概述 9 平稳时间序列预测法 10 灰色预测法 2 定性预测法 11景气预测法 3 回归预测法 13 风险型决策方法
目 录 1 统计预测概述 2 定性预测法 3 回归预测法 4 时间序列分解法和趋势外推法 6 时间序列平滑预测法 7自适应过滤法 9 平稳时间序列预测法 5生长曲线预测法 8马尔柯夫预测法 11景气预测法 10 灰色预测法 13 风险型决策方法 14 贝叶斯决策方法 15 不确定型决策方法 16多目标决策法 12统计决策概述

3 1 统 计 预 测 概 述 1.1预测的基本概念 1.2 统计预测方法的分类及其选择 1.3 统计预测的原则和步骤 1.4 预测的精度
1 统 计 预 测 概 述 1.1预测的基本概念 1.2 统计预测方法的分类及其选择 1.3 统计预测的原则和步骤 1.4 预测的精度 回总目录

4 本章教学要求和重点 通过本章学习了解预测的基本概念、理论基础等预测的基本理论，为学习后面各种具体的预测方法打好基础。本章学习重点是预测的概念、作用、基本原则的以及步骤。 回总目录 回本章目录

5 1.1 统计预测的概念和作用 统计预测概念: 预测是对不确定事件或事件的估计或表述。 三要素构成：实际资料是预测的依据 经济理论是预测的基础
数学模型是预测的手段。 回总目录 回本章目录

6 统计预测的作用 1、为人类提供生存的信心和发展的动力 2、为决策者制定政策、编制计划提供依据 3、拓展人们的视野，启迪人们的创造能力
影响预测作用大小因素主要有: （1）预测费用的高低； （2）预测方法的难易程度； （3）预测结果的精确度 回总目录 回本章目录

7 1.2 统计预测方法的分类和选择 一、统计预测方法的分类 (一）按照预测方法和结果的表述不同分为定性预测定 量预测
1.2 统计预测方法的分类和选择 一、统计预测方法的分类 (一）按照预测方法和结果的表述不同分为定性预测定 量预测 （二）按照预测超前期的长短分为短期、中期、长期预测。 （三）按照预测是否重复分为一次性预测和反复预测。 （四）按照预测范围不同分为宏观预测与微观预测。 回总目录 回本章目录

8 二、统计预测方法的选择 选择统计预测方法主要考虑三个问题： 合适性 费用 精确性 回总目录 回本章目录

9 1.3 统计预测的原则和步骤 一、统计预测的原则 1、连贯原则 2、类推原则 3、相关原则 4、概率推断原则 5、反馈原则 回总目录
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10 二、统计预测的步骤 确定预测目的 搜索和审核资料 分析预测误差，改进预测模型 选择预测模型和方法 提出预测报告 回总目录 回本章目录

11 1.4 预测的精度 一、对预测精度的认识 二、产生误差与失误的原因 三、提高预测精度的可能性 回总目录 回本章目录

12 复习思考题 1、预测？为什么进行经济预测是必要和可能的？ 2、预测应遵循哪些基本原则？ 3、简述预测的基本步骤。 4、试述统计预测和经济预测的联系和区别。 回总目录 回本章目录

13 2 定 性 预 测 法 2.1 定性预测概述 2.2 德尔菲法 2.3 主观概率法 2.4 定性预测的其他方法 2.5 情景预测法 回总目录

14 本章教学要求和重点 通过本章学习了解定性预测的基本概念及特点，了解定性的判断与评估预测方法，并为这种方法的进一步发展做出思考。本章学习重点是专家评估法，市场调查预测法、交叉影响法和情景预测法。

15 2.1 定 性 预 测 概 述 一、定性预测的概念和特点 定性预测的概念：
2.1 定 性 预 测 概 述 一、定性预测的概念和特点 定性预测的概念： 是指预测者依靠熟悉业务知识、具有丰富经验和综合分析能力的人员与专家，根据已掌握的历史资料和直观材料，运用个人的经验和分析判断能力，对事物的未来发展做出性质和程度上的判断，过一定形式综合各方面的的意见，作为预测未来的主要依据。 回总录 回本章目录

16 （1）着重对事物发展的性质进行预测，主要凭 借人的经验以及分析能力；
定性预测的特点： （1）着重对事物发展的性质进行预测，主要凭 借人的经验以及分析能力； （2）着重对事物发展的趋势、方向和重大转折点进行预测。 回总目录 回本章目录

17 二 、定性预测和定量预测之间关系 定性预测的优点： 定性预测的缺点： 定量预测的优点： 定量预测的缺点： 定量预测与定性预测相互关系：
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18 2.2 德 尔 菲 法 一、德尔菲法的概念和特点 德尔菲法的概念： 德尔菲法是根据有专门知识的人的直接经验，对研究的问题进行判断、预测的一种方法，也称专家调查法。它是美国兰德公司于1964年首先用于预测领域的。 回总目录 回本章目录

19 德尔菲法的特点： 回总目录 回本章目录

20 二、德尔菲法的优缺点 德尔菲法的优点： 德尔菲法的缺点： 回总目录 回本章目录

21 三、德尔菲法应用案例 例 1 :某公司研制出一种新兴产品，现在市场上还没有相似产品出现，因此没有历史数据可以获得。公司需要对可能的销售量做出预测，以决定产量。于是该公司成立专家小组，并聘请业务经理、市场专家和销售人员等8位专家，预测全年可能的销售量。8位专家提出个人判断，经过三次反馈得到结果如下表所示。 回总目录 回本章目录

22 回总目录 回本章目录 单位：千件 专家 编号 第一次判断 第二次判断 第三次判断 最低 销售量 最可能 最高 最高销 售量 最低销 1
500 750 900 600 550 2 200 450 300 650 400 3 800 700 4 1500 1250 5 100 350 220 回总目录 回本章目录

23 回总目录 回本章目录 接上页 单位：千件 专家 编号 第一次判断 第二次判断 第三次判断 最低 销售量 最可能 最高 最高销 售量 最低销
6 300 500 750 600 7 250 400 8 260 350 370 410 610 平均数 345 725 390 550 775 415 570 770 回总目录 回本章目录

24 解答： 平均值预测： 在预测时，最终一次判断是综合前几次的反馈做出的，因此在预测时一般以最后一次判断为主。则如果按照8位专家第三次判断的平均值计算，则预测这个新产品的平均销售量为： 回总目录 回本章目录

25 将最可能销售量、最低销售量和最高销售量分别按0.50、0.20和0.30的概率加权平均，则预测平均销售量为：
加权平均预测： 将最可能销售量、最低销售量和最高销售量分别按0.50、0.20和0.30的概率加权平均，则预测平均销售量为： 回总目录 回本章目录

26 中位数预测： 用中位数计算，可将第三次判断按预测值 高低排列如下： 最低销售量： 300 370 400 500 550 最可能销售量：
最可能销售量： 最高销售量： 回总目录 回本章目录

27 中间项的计算公式为： 最低销售量的中位数为第三项，即400。 最可能销售量的中位数为第三项，即600。 回总目录 回本章目录

28 将可最能销售量、最低销售量和最高销售量分别按 0.50、0.20 和 0.30 的概率加权平均，则预测平均销售量为：
最高销售量的中位数为第四项的数字，即750。 将可最能销售量、最低销售量和最高销售量分别按 、 和 的概率加权平均，则预测平均销售量为： 回总目录 回本章目录

29 2.3 主 观 概 率 法 一、主观概率法概念 主观概率是人们凭经验或预感而估算出来 的概率。 回总目录 回本章目录

30 主观概率=客观概率？ 主观概率与客观概率不同，客观概率是根据事件发展的客观性统计出来的一种概率。在很多情况下，人们没有办法计算事情发生的客观概率，因而只能用主观概率来描述事件发生的概率。 回总目录 回本章目录

31 预测步骤： 二、主观概率法的预测步骤及其应用案例 （一）准备相关资料 （二）编制主观概率调查表 （三）汇总整理 （四）判断预测 回总目录
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32 应用案例 • 例 2 某地产公司打算预测某区2006年的房产需求量，因此选取了10位调查人员进行主观概率法预测，要求预测误差不超过 套。调查汇总数据如下表所示： 回总目录 回本章目录

33 回总目录 回本章目录 被调查人 编号 累计概率 0.010 （1） 0.125 （2） 0.250 （3） 0.375 （4） 0.500
（5） 0.625 （6） 0.750 （7） 0.875 （8） 0.990 （9） 房产需求量（套） 1 2111 2144 2156 2200 2222 2244 2267 2278 2311 2 1978 2100 2133 2500 3 2044 2289 2444 4 2167 2178 2189 2211 2233 5 2333 2356 2400 回总目录 回本章目录

34 回总目录 回本章目录 接上页 被调查人 编号 累计概率 0.010 （1） 0.125 （2） 0.250 （3） 0.375 （4）
0.500 （5） 0.625 （6） 0.750 （7） 0.875 （8） 0.990 （9） 房产需求量（套） 6 1867 1989 2000 2044 2111 2133 2156 2178 2200 7 2222 2289 2311 2356 2400 2433 2489 8 2056 2067 2100 2167 2278 9 2089 2122 2144 10 2244 2300 2322 2367 2444 平均数 2082.3 2131.1 2146.6 2176.6 2213.2 2237.7 2264.6 2282.3 2348.8 回总目录 回本章目录

35 解答： （1）综合考虑每一个调查人的预测，在每个累计概率上取平均值，得到在此累计概率下的预测需求量。由上表可以得出该地产公司对2006年需求量预测最低可到2083套，小于这个数值的可能性只有1%。 回总目录 回本章目录

36 （2）该集团公司2006年的房产最高需求可到2349套，大于这个数值的可能性只有1%。
（3）可以用2213套作为2006年该集团公司对该区房产需求量的预测值。这是最大值与最小值之间的中间值。其累计概率为50%，是需求量期望值的估计数。 回总目录 回本章目录

37 （4）取预测误差为67套，则预测区间为：（2213-67）~（2213+67），即商品销售额的预测值在2146套~2280套之间。
（5）当预测需求量在2146套和2280套之间，在第（3）栏到第（8）栏的范围之内，其发生概率相当于： =0.625也就是说，需求量在2146套~2280套之间的 可能性为62.5%。 回总目录 回本章目录

38 2.4 定 性 预 测 的 其 他 方 法 一、定性预测的其他方法概述 回总目录 回本章目录

39 课间休息

40 3 回 归 预 测 法 3.1 一元线性回归预测法 3.2 多元线性回归预测法 3.3 非线性回归预测法 3.4 应用回归预测时应注意的问题
3 回 归 预 测 法 3.1 一元线性回归预测法 3.2 多元线性回归预测法 3.3 非线性回归预测法 3.4 应用回归预测时应注意的问题 回总目录

41 本章学习要求、重点和难点 通过本章学习了解和掌握回归分析的方法，在回归分析的基础之上建立回归模型并进行预测。本章学习重点是一元线性回归预测和多元线性回归预测；难点是非线性回归预测法以及自相关、多重共线性的问题。

42 3.1 一元线性回归预测法 指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋 势时，运用合适的参数估计方法，求出一元线
3.1 一元线性回归预测法 指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋 势时，运用合适的参数估计方法，求出一元线 性回归模型，然后根据自变量与因变量之间的 关系，预测因变量的趋势。 回总目录 回本章目录

43 一、建立模型 一元线性回归模型： 是未知参数， 为剩余残差项 其中， ， 或称随机扰动项。 回总目录 回本章目录

44 二、估计参数 用最小二乘法进行参数的估计时，要求 满足一定的假设条件： 是一个随机变量； 的均值为零，即 在每一个时期中， 的方差为常量，即
各个 相互独立； 与自变量无关。 回总目录 回本章目录

45 用最小二乘法进行参数估计 ，得到的估计表达式为：
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46 三、进行检验 标准误差：估计值与因变量值间的平均 平方误差。 其计算公式为： 回总目录 回本章目录

47 可决系数：因变量与自变量的拟合程度的指标。
表示自变量解释了因 变量变动的百分比。 其计算公式为： 可见，可决系数取值于0与1之间，并取决于回归模型所解释的 方差的百分比。 回总目录 回本章目录

48 相关系数越接近+1或-1，衡量自变量与因变量关系密切。
其计算公式为： 由公式可见，可决系数是相关系数的平方。 相关系数越接近+1或-1，衡量自变量与因变量关系密切。 回总目录 回本章目录

49 相关系数测定变量之间的密切程度，可决系数测定自变量对因变量的解释程度。相关系数有正负，可决系数只有正号。
相关系数与可决系数的主要区别： 相关系数测定变量之间的密切程度，可决系数测定自变量对因变量的解释程度。相关系数有正负，可决系数只有正号。 正相关系数意味着因变量与自变量以相同的方向增减。 如果直线从左至右上升，则相关系数为正； 如果直线从左至右下降，则相关系数为负。 回总目录 回本章目录

50 回归系数显著性检验 检验假设： 检验统计量： ~ 其中， ，若 检验规则：给定显著性水平 则回归系数显著。 回总目录 回本章目录

51 回归模型的显著性检验 回归方程不显著 回归方程显著 检验统计量： 检验规则：给定显著性水平 则回归方程显著。 ，若 检验假设： ~ 回总目录
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52 相关系数的显著性检验：（t检验法) 相关系数的显著性检验为两类: 一是对总体相关系数ρ是否为零进行检验
一是对总体相关系数是否为某一给定的值检验 首先讨论样本相关系数г的分布：

53 德宾—沃森统计量（D—W） 检验 之间是否存在自相关关系。 其中， D—W的取值域在0~4之间。 回总目录 回本章目录

54 在D—W小于等于2时， D—W检验法则规定：
检验法则： 在D—W小于等于2时， D—W检验法则规定： 如 ,认为 存在正自相关; 如 ,认为 无自相关; 在D—W大于2时, D—W检验法则规定: 如 ,认为 存在负自相关; 如 ,认为 无自相关; 如 ,不能确定 是否有自相关。 回总目录 回本章目录

55 四、进行预测 1.点预测 2.区间预测 小样本情况下置信区间 大样本情况下,近似的置信区间的 常用公式为： 置信区间： 回总目录 回本章目录

56 例题分析 • 例 1 已知身高与体重的资料如下表： 身高（米） 1.55 1.60 1.65 1.67 1.7 1.75 1.80 1.82
体重（公斤） 试计算：（1）拟合适当的回归方程； （2）判断拟合优度情况； （3）对模型进行显著性检验；（α=0.05） （4）当体重为75公斤时，求其身高平均值的95% 的置信区间。 回总目录 回本章目录

57 解答： （1）n=8，经计算得： 因此： 回总目录 回本章目录

58 因此，建立的一元线性回归方程为： （2） 回归直线的拟合优度不是很理想 。 回总目录 回本章目录

59 所以拒绝原假设，认为所建立的线性回归模型是显著的。
（3） 所以拒绝原假设，认为所建立的线性回归模型是显著的。 回总目录 回本章目录

60 （4） 回总目录 回本章目录

61 例2： 据6对样本数据计算股票价格与气温的样本相关系数r=0.5,是否认为以a=5%的水平认为它们之间存在一定程度的线性相关关系？

62 计算题： 1、某市为传统的煤炭工业城市，多年的开采已使资源几乎枯竭，15位专家分别对该城市的剩余煤炭开采年份作了预测，分别为40、30、35、40、40、50、30、45、35、45、40、40、50、30、50（单位年）。 利用中位数法及四分位数法计算专家们意见的集中趋势。

63 2、某超市顾客的付款时间与所购商品价值之间的关系数据如下表：
付款时间（分钟） 3.6， 4.1，0.8，5.7，3.4，1.8，4.3，0.2，2.6，1.3 商品价值（元） 306，305，24，422，218，62，401，20，155，65 试问： （1）付款时间与所购商品价值之间是否存在显著的相关关系？ （2）计算回归模型，并做相关统计检验（t, F, D-w)。 （3）试构造当付款时间为3分钟时，所购商品价值的置信度为99%的置信区间。

64 课 间 休 息

65 3.2 多 元 线 性 回 归 预 测 法 素的影响，因此，一般要进行多元回归分 析，我们把包括两个或两个以上自变量的 回归称为多元回归。
社会经济现象的变化往往受到多个因 素的影响，因此，一般要进行多元回归分 析，我们把包括两个或两个以上自变量的 回归称为多元回归。 回总目录 回本章目录

66 一、建立模型（以二元线性回归模型为例 ） 二元线性回归模型： 回总目录 回本章目录

67 二、拟合优度指标 标准误差：对y 值与模型估计值之间的离 差的一种度量。 其计算公式为： 回总目录 回本章目录

68 可决系数： 意味着回归模型没有对y的变差做出任何解释； 意味着回归模型对y的全部变差做出解释。 回总目录 回本章目录

69 三、 置信范围 置信区间的公式为： 置信区间= 统计量数值表 其中 是自由度为 的 是观察值的个数， 在内的变量的个数。 中的数值，
是包括因变量 回总目录 回本章目录

70 四、自相关和多重共线性问题 自相关检验 ： 其中 ， 回总目录 回本章目录

71 多重共线性检验： 由于各个自变量所提供的是各个不同因素的信息，因此假定各自变量同其他自变量之间是无关的。但是实际上两个自变量之间可能存在相关关系，这种关系会导致建立错误的回归模型以及得出使人误解的结论。为了避免这个问题，有必要对自变量之间的相关与否进行检验。 回总目录 回本章目录

72 任何两个自变量之间的相关系数为： 经验法则认为相关系数的绝对值小于0.75，或者 0.5,这两个自变量之间不存在多重共线性问题。
若某两个自变量之间高度相关，就有必要把其 中的一个自变量从模型中删去。 回总目录 回本章目录

73 3.3 非 线 性 回 归 预 测 法 间的关系并不是线性关系，对这种类型现 象的分析预测一般要应用非线性回归预测，
在社会现实经济生活中，很多现象之 间的关系并不是线性关系，对这种类型现 象的分析预测一般要应用非线性回归预测， 通过变量代换，可以将很多的非线性回归 转化为线性回归。因而，可以用线性回归 方法解决非线性回归预测问题。 回总目录 回本章目录

74 3.3 非 线 性 回 归 预 测 法 一、配曲线问题 选配曲线通常分为以下两个步骤： 确定变量间函数的类型 确定相关函数中的未知参数
列如，表3-8 p56 回总目录 回本章目录

75 二、一些常见的函数图形 抛物线函数 对数函数 S型函数 幂函数 指数函数 回总目录 回本章目录

76 正确应用回归分析预测时应注意： 用定性分析判断现象之间的依存关系； 避免回归预测的任意外推； 应用合适的数据资料。 回总目录 回本章目录

77 4 时间序列分解法和趋势外推法 4.2 趋势外推法概述 4.3 多项式曲线趋势外推法 4.4 指数曲线趋势外推法 4.5 生长曲线趋势外推法
4.1 时间序列分解法 4.2 趋势外推法概述 4.3 多项式曲线趋势外推法 4.4 指数曲线趋势外推法 4.5 生长曲线趋势外推法 4.6 曲线拟合优度分析 回总目录

78 本章教学要求、重点和难点 通过本章学习了解确定型时间序列与随机型时间序列的不同性质和特点以及趋势直线模型和曲线模型预测方法的基本思路；熟练掌握趋势直线模型预测法和指数曲线模型预测法。掌握多项式曲线模型和修正指数曲线模型预测方法。本章学习重点是趋势直线模型与指数曲线模型预测法，难点是修正指数曲线模型预测法。

79 4.1 时间序列分解法 一、时间序列的分解 经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。其中：
4.1 时间序列分解法 一、时间序列的分解 经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。其中： （1） 长期趋势因素（T） （2） 季节变动因素（S） （3） 周期变动因素（C） 复苏—高涨---衰退----萧条---复苏 （4） 不规则变动因素（I） 回总目录 回本章目录

80 二、时间序列的分类 1、确定型时间序列 2、随机型时间序列：时间序列 Yt 取自某一个随机过程，称 （1）平稳随机序列：
按时间序列各期数量的确定性与否，可将时间序列划分为: 1、确定型时间序列 2、随机型时间序列：时间序列 Yt 取自某一个随机过程，称 （1）平稳随机序列： 过程平稳——随机过程的随机特征不随时间变化而变化 （2）非平稳随机序列： 过程非平稳——随机过程的随机特征随时间变化而变化 （3）样本序列，指对随机序列中每一个随机变量，取其一个样本值，将这些变量值按时间先后次序排列形成的序列。 （4）非平稳随机序列的平稳化。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型

81 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR（p)：Auto-regressive）
移动平均模型（MA （q) ：Moving-Average） 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。

82 三、时间序列分解模型 时间序列 y 可以表示为以上四个因素的函数，即： 时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。
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83 加法模型为： 乘法模型为： 回总目录 回本章目录

84 四、时间序列的分解方法 （1）运用移动平均法显示长期趋势和周期变化，即得序列TC。y/ TC,剩余SI，然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。 （2）做散点图，选择适合的模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。 （3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。 （4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即： 例题： 回总目录 回本章目录

85 4.2 趋 势 外 推 法 概 述 一、趋势外推法概念和假定条件
4.2 趋 势 外 推 法 概 述 一、趋势外推法概念和假定条件 概念：当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定： 回总目录 回本章目录

86 二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型： 二次（二次抛物线）预测模型： 三次（三次抛物线）预测模型： 一般形式：
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87 指数曲线预测模型： 一般形式 ： 修正的指数曲线预测模型 ： ŷt= k+ abt 或： 回总目录 回本章目录

88 对数曲线预测模型： 生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ： 龚珀兹曲线预测模型 ： 回总目录 回本章目录

89 三、趋势模型的选择 图形识别法： 回总目录 回本章目录

90 差分法： 一阶向后差分可以表示为： 二阶向后差分可以表示为： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。
见p69 表 一阶向后差分可以表示为： 二阶向后差分可以表示为： 回总目录 回本章目录

91 差分法识别标准： 差分特性 使用模型 一阶差分相等或大致相等 一次线性模型 二阶差分相等或大致相等 二次线性模型 三阶差分相等或大致相等
三次线性模型 环比速度相等或大致相等 指数曲线模型 一阶差分的环比速度相等或大致相等 修正指数曲线模型 回总目录 回本章目录

92 4.3 多 项 式 曲 线 趋 势 外 推 法 一、二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为： 回总目录 回本章目录

93 设有一组统计数据 ， ，…， ，令 即： 例题：表4-8 回总目录 回本章目录

94 例 题 • 例 1 下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额 。 回总目录
例 题 • 例 1 下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额 。 回总目录 回本章目录

95 回总目录 回本章目录 年份 时序 （t） 总额 （ yt ） 1952 1 276.8 1963 12 604.5 1974 23
1163.6 1953 2 348.0 1964 13 638.2 1975 24 1271.1 1954 3 381.1 1965 14 670.3 1976 25 1339.4 1955 4 392.2 1966 15 732.8 1977 26 1432.8 1956 5 461.0 1967 16 770.5 1978 27 1558.6 1957 6 474.2 1968 17 737.3 1979 28 1800.0 1958 7 548.0 1969 18 801.5 1980 29 2140.0 1959 8 638.0 1970 19 858.0 1981 30 2350.0 1960 9 696.9 1971 20 929.2 1982 31 2570.0 1961 10 607.7 1972 21 1023.3 1983 32 2849.4 1962 11 604.0 1973 22 1106.7 回总目录 回本章目录

96 （1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为y轴，年份为x轴。
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97 （2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定更好地拟合该曲线，将分别对该两种模型进行参数拟合。
适用的二次曲线模型为： 适用的指数曲线模型为： 回总目录 回本章目录

98 （3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：
（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为： 其中调整的 ， ， 则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。 回总目录 回本章目录

99 产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为：
(4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 ： 两边取对数： 产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为： 回总目录 回本章目录

100 其中调整的 ， ，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。
其中调整的 ， ，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。 （5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好。运用方程： 进行预测将会取得较好的效果。 回总目录 回本章目录

101 二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为： 回总目录 回本章目录

102 设有一组统计数据 ， ，…， ，令 即： 解方程就可求得参数。 （例表4-13，讨论） 回总目录 回本章目录

103 年份 时序（t） 产量（ yt ） 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 1 2 3 4 5 6 7 252 340 374 379 375 385 430

104

105 4.4 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法 一、指数曲线模型及其应用 1.判别类型 2.指数曲线预测模型为： 回总目录 回本章目录

106 3. 求参数 对函数模型 做线性变换得： lnyt = lna + bt 令Yt= lnyt，A= lna则
对函数模型 做线性变换得： lnyt = lna + bt 令Yt= lnyt，A= lna则 Yt=A+bt 式中A,b待定参数，通过最小二乘法求得 适用条件： 选择指数曲线模型进行预测，必须使时间序列各数值的环比速度大致相等。 回总目录 回本章目录

107 例1. 年份 时序t 销售额（Y） 1996 1 10.0 1997 2 18.0 1998 3 25.0 1999 4 30.5 2000 5 35.0 2001 6 38.0 2002 7 40.0 2003 8 39.5 2004 9

108

109 例2. 年份 时序t 销售额（Y） 1996 1 165 1997 2 270 1998 3 450 1999 4 740 2000 5 1220 2001 6 2010 2002 7 3120 2003 8 5460 2004 9 9000

110

111 二、修正指数曲线模型及其应用 （一）修正指数曲线：
修正指数曲线数学模型及特性: 分析前讨论过的指数曲线预测模型： ŷt= abt（或abbt）它适用于各期环比增长率大体相等的现象的时间序列。其图形是上凹上升趋势。当时间 t 趋向正无穷时，会失去实际的经济意义，不能用于长期的预测。（教图 4—2） （一）修正指数曲线： 是一种渐近增长曲线，其趋势表现为时间序列初期增长速度快，随后增长速度逐渐减慢，而增长量的环比速度大体相同，最后趋向于某一个正的常数极限，这时可用修正指数曲线描述。

112 ŷt= k+abt （ 0 <b < 1） 修正指数曲线模型： 式中, ŷt：趋势预测值 t：时间序号 ， a、b、k：为参数
判别方法: 1.绘制散点图 2.一级差分环比近似一常量，配合该曲线进行预测。

113 （1）当k>0，a<0, 0<b<1时， ŷَt 是递增的，图形是上凸的
（二）特征： （1）当k>0，a<0, 0<b<1时， ŷَt 是递增的，图形是上凸的 当t=0时，ŷt=k+a；当t →+∞时，y→k ,所以 y=k 是它的上渐近线，说明y 随 t 的增加而增加，增长速度是先快后慢，最后接近于高限k. y= k+abt (k>0，a<0, 0<b>1) y= k+abt （k>0，a>0, 0<b>1）

114 （2） 当k>0，a>0, 0<b<1时， ŷt是递减的， （而ŷَ是递增），图形（2）是凹的， 当t=0时，ŷt=k+a 当t→+∞时，（bt→0）ŷ→k 所以 ŷt=k 是它的下渐近线。 说明ŷt 随 t 的增而减少，递减速度是先快后慢，最后接近于低限 k。 修正曲线还可以用来描述初期减少较快，随后减少比较缓慢，最后趋向某一正常数极限的经济变量。

115 将总项数为3n的资料分为三组，每组期数相同为n，求a、b、k。
（二）修正指数曲线的参数估计 对于k、a、b三个参数，用局部总数比例法，即 “分组法” 令 yt+1= k+abt+1 yt= k+abt yt-1= k+abt-1 则 ： yt+1—yt／yt—yt-1=（k+abt+1）-( k+abt) ／( k+abt)-（k+abt-1） = abt(b-1) ／abt-1(b-1)=b 将总项数为3n的资料分为三组，每组期数相同为n，求a、b、k。

116 y2n-1= k+ab2n-1 第三组：y2n= k+ab2n ……….. y3n-1= k+ab3n-1
设已知时序为：y0， y1， y2…，………yn-1…，………y3n-1，相应的修正指数曲线分布形式为： 第一组： y0= k+ab0 y1= k+ab1 y2= k+ab2 …… yn-1= k+abn-1 第二组： yn= k+abn y2n-1= k+ab2n 第三组：y2n= k+ab2n ……….. y3n-1= k+ab3n-1

117 ∑Ⅰyi=nk+ab0+ab1+ab2+abn-1 =nk+a(1+b+b2+……+bn-1)
第一组数据之和： n-1 ∑Ⅰyi=nk+ab0+ab1+ab2+abn-1 i=0 =nk+a(1+b+b2+……+bn-1) 因为 ：(1+b+b2+……+bn-1)= bn-1/b-1 bn-1=（b-1）(1+b+…+ bn-1) 所以 ∑Iyi=nk+ab0 [（bn-1）/（b-1）]

118 ∑Ⅱyi=nk+abn[(bn-1)/(b-1)]
第二组之和： ∑Ⅱyi=nk+abn+abn+1+…+ab2n-1 i=n ∑Ⅱyi=nk+abn[(bn-1)/(b-1)] 3n-1 第三组之和： ∑Ⅲyi=nk+ab2n[(bn-1)/(b-1)] i=2n

119 b=[（∑Ⅲy-∑Ⅱy）/(∑Ⅱy-∑Iy)]1/n a=(∑Ⅱy-∑Iy)[ (b-1)/ (bn-1)2]
得a,b,k的公式： b=[（∑Ⅲy-∑Ⅱy）/(∑Ⅱy-∑Iy)]1/n a=(∑Ⅱy-∑Iy)[ (b-1)/ (bn-1)2] k=1/n[∑Iy – a((bn-1)/(b-1))]

120 设某企业某产品最近六年的销售量如表，试配合修正指数曲线并预测市场饱和点。 某产品销售量预测计算表
（三）修正指数曲线的应用： 设某企业某产品最近六年的销售量如表，试配合修正指数曲线并预测市场饱和点。 某产品销售量预测计算表 t 销售量 （万件）yt 局部总数 增长量 对前一期增长的 百分比（%） （一阶差比率） 1 2 3 4 5 150 180 204 224 240 253 330=∑Iyi i=0 428=∑Ⅱyi i=2 493=∑Ⅲyi i=4 30 24 20 16 13 80 83 81

121 第一：选择模型： 1) 绘制散点图 2) 计算一级差比率 初步确定： y=k+abt （k＞0 a＜0 0＜b＜1）

122

123 第二：求参数 (N=3n=6 ) b=[（∑Ⅲy-∑Ⅱy）/(∑Ⅱy-∑Iy)]1/2 =[ ( )/( )]1/2 = b2= a ={（∑Ⅱy -∑Iy）[（b-1）/ (bn-1) ]} = ( )·( )/( )2 = 98·（ / ）= K = 1/n[∑Iy- a(bn-1) / ( b-1)]=1/2{330- (-160.4)· [ ( )/（ ）] ｝ =310.5

124 第三：进行预测,得修正正指曲线预测模型： ŷt=310.5+(-160.4)×（0.8144）t 市场饱和点为310.5万件，该产品第六年市场占有率为81.5%。(b=253/310.5=81.5%)。 预测第7年的销量，当t=6时， ŷ=310.5+(-160.4) ×(0.8144)6 = (万件)

125 5 生 长 曲 线 趋 势 外 推 法 经大量观察，在社会经济现象的发展过程中，有许多事物的发展变化趋势会呈现一定的成长规律，经历发生、发展、成熟、衰退四个阶段。按照四个阶段发展变化的经济现象，可以用增长曲线来加以描述。由于不同的经济现象的成长规律不尽相同，因此可得到不同类型的生长曲线，配合不同的生长曲线预测模型对未来趋势进行预测。

126 主要讨论具有使用价值的s曲线即龚珀兹曲线和逻辑曲线（皮尔曲线）及应用。

127 如何判别曲线？ 5.1、龚珀兹曲线数学模型及特性分析
一、龚珀兹(Gompertz)曲线:是英国统计学家及数学家，以其名命名的。龚珀兹曲线是一种有极限值的曲线。当时间序列趋势表现为初期增长速度较慢，随后增长速度逐渐加快，达到一定程度后，增长量虽然还有，但增长率逐次降低，终至平复，图形呈现为不对程的S形。 （一） 预测模型 ： 如何判别曲线？

128 所以 ŷ=0 和 ŷ=k 都是它的渐近线。 （二）曲线的特征： 令ŷ//=0 求得曲线拐关位置为[ln(ln(1/a))/lnb，k/e]
当曲线经过此点由向上凹变为向下凹。 当k＞0 0＜a＜1 0＜b＜1时，ŷ为增函数，随t的增大而增大。且在拐点[ln(ln(1/a))/lnb，k/e]出现转折，即 ŷ 的增长率由逐渐增大而变为逐渐减小。 当t=0时 ŷ=ka 当t→-∞ bt→∞ abt→0 有ŷ→0； 当t→+∞ bt→0 abt→1 有ŷ→k； 所以 ŷ=0 和 ŷ=k 都是它的渐近线。

129 （三）曲线的意义： 产品生命周期按销量可分为： 1、导入期： 2、成长期： 3、成熟期： 成熟前期 成熟后期 4、衰退期：

130 对函数模型 做线性变换得： 龚珀兹曲线形式取决于k 、 a 、 b待定参数,用以描述产品生命周期的具体规律。龚珀兹曲线对应于不同的lg a 与 b的不同取值范围而具有间断点。曲线形式如下图所示。 回总目录 回本章目录

131 利用半对数曲线判定处在哪个阶段： （1）当0＜b＜1，lna＜0时， （2）当b＞1，lna＜0， （3）当0＜b＜1，lna＞0，

132 回总目录 回本章目录 (1) lga<0 0<b<1 (2) lga<0 b>1
k 回总目录 回本章目录

133 渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态 。 当0＜b＜1，lna＜0，商品处于成长后期，即进入成熟期，
(1) lga<0 0<b<1 渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态 。 当0＜b＜1，lna＜0，商品处于成长后期，即进入成熟期， 由于0＜b＜1，随t增大，bt而渐减小。市场销量仍急剧增。 但增长速度开始变缓。 回总目录 回本章目录

134 当b＞1，lna＜0，生命处于衰退前期，市场销量达到饱和状态或有替代品进入市场致使销量开始下降。
k (2) lga<0 b>1 渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已由饱和状态开始下降 。 当b＞1，lna＜0，生命处于衰退前期，市场销量达到饱和状态或有替代品进入市场致使销量开始下降。 回总目录 回本章目录

135 渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 下降迅速，已接近最低水平k 。
(3) lga>0 0<b<1 渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 下降迅速，已接近最低水平k 。 当0＜b＜1，lna＞0，生命处于衰减后期，市场销量迅速下降。守旧顾客仍有少量需求，最终因需求量大大减少，使商品从市场上销声匿迹。 回总目录 回本章目录

136 回总目录 回本章目录 k (4) lga>0 b>1 渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 从最低水平 k 迅速上升。
当b＞1，lna＞0，商品生命处于成长前期，市场销量会迅速上升。 龚珀兹曲线是预测各种商品市场容量一种最佳拟合线。特别是对轻工业产品销量，均遵循“初期增长较慢—-迅速增长---达到一定水平----增长率逐次降低”的变化规律 回总目录 回本章目录

137 对数形式：lgy=lgk+(lga)·bt 令y/=lgy
二、龚珀兹曲线的参数估计 数学模型：ŷt=kabt 对数形式：lgy=lgk+(lga)·bt 令y/=lgy 求lgk，lga，b。 设时间总项数为3n=N，n为总项数的3n/3 ∑Ⅰlgy 、 ∑Ⅱlgy 、 ∑Ⅲlgy 分别为总数据三等分的各部分之和 有： bn=（∑Ⅲlgy-∑Ⅱlgy）/（∑Ⅱlgy-∑Ⅰlgy） lga=(∑Ⅱlgy-∑Ⅰlgy)[(b-1)/( bn-1)2] lgk=1/n[∑Ⅰlgy-lga(( bn-1) /(b-1))] 代入公式ŷ=kabt，即龚珀兹预测模型。

138 三、龚珀兹曲线预测应用 4-21。试利用龚珀兹曲线预测2008年的销售额。 例如： 某公司1999年-2007年的实际销售额资料如表
表 龚珀兹曲线计算表

139 年 份 时序（t） 销售额（万元）（y） Lgy 1999 2000 2001 1 2 4.94 6.21 7.18 ∑Ⅰlgy — 2002 2003 2004 3 4 5 7.74 8.38 8.45 ∑Ⅱlgy 2005 2006 2007 6 7 8 8.73 9.42 10.24 ∑Ⅲlgy

140

141 lga=(∑Ⅱlgy-∑Ⅰlgy)[(b-1)/( bn-1)2]=-0.314 a=0.4852
（1）求参数： b3=（∑Ⅲlgy-∑Ⅱlgy）/（∑Ⅱlgy-∑Ⅰlgy） b=0.7782 lga=(∑Ⅱlgy-∑Ⅰlgy)[(b-1)/( bn-1)2]=-0.314 a=0.4852 lgk=1/n[∑Ⅰlgy-lga(( bn-1) /(b-1))]= K=10.37 由于0＜b＜1，lna＜0，拐点 所给资料均处在拐点 之上，且 产品销量处于成熟后期， （2）预测模型：ŷt=10.37* t （3）进行预测：ŷt=10.37* =9.948（万元） 分析：市场饱和点需求量 K=10.37，2007年销量已达10.24万元，预测08年销量可达9.948.可以判断产品处于生命周期成熟后期（高峰），销量无增长前景，某一时刻将会转入衰退期。

142 5.2罗吉斯缔曲线预测模型 一．罗吉斯缔曲线 概念：罗吉斯缔(Logistic)曲线是1938年由比利时数学家维哈尔斯特（P.P.Vei-hulot）在研究人口增长规律时提出来的，又称为生长理论曲线。对耐用消费品市场需求，产品生命周期都可用罗吉曲线来描述。 （1）曲线预测模型：ŷt=1/（k+abt） 或 1/ŷt=k+abt 式中：k,a,b为参数，t为时间， 对ŷt求一、二阶导数，有 ŷt/=（- abtlnb）/(k+abt)2 ŷt//=a(lnb)2bi(k-abi)/(k+abt)3

143 （2）曲线特征： a、并令ŷt//=0，可求得曲线拐点的位置为（（lnk-lna）/lnb，1/2k） 曲线过此点由向上凹变为向下凹。
b、当k＞0, ,a＞0, 0＜b＜1时,由lnb＜0，所以ŷt/＞0，此时，ŷt为增函数，即 ŷt随 t 的增大而增大。且在点 （（lnk-lna）/lnb，1/2k）出现转折，ŷt 的增长率由逐渐增大变为逐渐减小。 ①在t=0时, ŷt=1/(k+a) ②当t→-∞时，ŷ→0 ③当t→+∞时，abt→0，ŷ→1/k，所以ŷt=0和 ŷt=1/k都是它的渐近线 它是一条对称的S形曲线，且对于拐点是对称的。 适用条件：

144 （3）参数估计： 罗吉曲线 1/ŷt=k+abt 的倒数 ŷt=k+abt 是修正指数曲线，参照修正指数曲线估计参数的方法，得b、a 、k的计算公式： b=[(∑31/yt-∑21/yt)/ (∑21/yt-∑11/yt)]1/n a= (∑21/yt-∑11/yt)[(b-1)/（bn-1）2] k=1/n[∑11/yt-a(（bn-1）/(b-1)) 设N=3n，n为总数据的三分之一，∑11/yt、∑21/yt和∑31/yt分别为总数据三等分后的各部分和。 （4）判别标准： 二、罗吉斯缔曲线预测的应用

145 6 时间序列平滑预测法 6.1 一次移动平均法和一次指数平滑法 6.2 线性二次移动平均法 6.3 线性二次指数平滑法
6 时间序列平滑预测法 6.1 一次移动平均法和一次指数平滑法 6.2 线性二次移动平均法 6.3 线性二次指数平滑法 6.4 布朗二次多项式（三次）指数平滑法 6.5 温特线性和季节性指数平滑法 回总目录

146 6.1 一次移动平均法和一次指数平滑法 一、一次移动平均法 一次移动平均方法是收集一组观察值，
6.1 一次移动平均法和一次指数平滑法 移动平均法是根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数（N）的序时平均数，以反映长期趋势的方法。 移动平均法种类：(1）简单移动平均法； （2）二次趋势移动平均法。 一、一次移动平均法 一次移动平均方法是收集一组观察值， 计算这组观察值的均值，利用这一均值 作为下一期的预测值。 应用条件： 回总目录 回本章目录

147 设时间序列为 移动平均法可以表示为： 式中： 为最新观察值； 时间 t ≥N Ft 为第 t期移动平均数；N为移动平均的项数
为下一期预测值； 由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正，N越大平滑效果愈好。 回总目录 回本章目录

148 Ft= Ft-1 + （xt -xt-N）/N = Ft-1 + xt /N - xt-N/N 简化公式：
预测公式为： y t+1 = Ft 即以第t期移动平均数作为第t+1期的预测值。

149 例题分析 • 例 1 分析预测我国平板玻璃月产量。
下表是我国 年平板玻璃月产量，试选用N=3和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表6-1。 时间 序号 实际观测值 三个月移动平均值 五个月移动平均值 1980.1 1980.2 1980.3 1980.4 1980.5 1980.6 1980.7 1980.8 1980.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 259.5 - 215.9 222.6 224.8 214.6 209.0 211.6 214.3 220.6 227.0 218.4 217.4 216.1 215.8 212.4 213.6 223.5 回总目录 回本章目录

150 二、一次指数平滑法 移动平均法存在两个不足之处。一是存贮数据量较大，二是对N期数据等权看待，而对t-N期以前的数据则完全不考虑，这不符合实际情况。指数平滑法改进了缺点。它既不需要存贮很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。是移动平均法的改进和发展。 种类：（1）一次指数平滑法； （2）二次指数平滑法； （3）三次指数平滑法。

151 二、一次指数平滑法 1.概念： 给定修正系数α，t+1期预测值（Ft+1）是t 期预测值 与 t期观测值的加权平均数称为指数平滑法。
即 预测模型： 回总目录 回本章目录

152 Ft+1= Ft +a(xt- Ft)= Ft+aet
即：前一期预测值 Ft加上前期预测值中产生误差 et 的修正值。 Ft+1= Ft +a(xt- Ft)= Ft+aet

153 Mt= Mt-1 +（yt -Mt-1）/N= yt/N+ （1-1/N）Mt-1 令a=1/N,以St（1）代替Mt，
2.指数平滑公式是由移动平均公式改进得来的。 移动平均数的递推公式为： Mt= Mt-1 +（yt -yt-N）/N= Mt-1 +yt/N -yt-N/N 以Mt-1作为yt-N的最佳估计，则有 Mt= Mt-1 +（yt -Mt-1）/N= yt/N+ （1-1/N）Mt-1 令a=1/N,以St（1）代替Mt， 则得 St（1）= ayt +（1 -a）St-1（1） 指数平滑的实质： St（1） = ayt +（1 -a）St-1（1） 同理：St-1（1）= ayt-1 +（1 -a）St-2（1），将St-1（1）代入上式得： St（1） = ayt +（1 -a）[ayt-1 +（1 -a）St-2（1）] = ayt +a（1 -a）yt-1 +（1 -a）2 St-2（1） 依此类推 = ayt +a（1 -a）yt-1 +a（1 -a）2 yt-2+…+(1-a)t S0（1） t-1 = a Σ(1-a)j yt-j + (1-a)t S0（1） j=0

154 St（1） =a Σ (1-a)j yt-j St（1） = ayt +（1 -a）ŷt →St-1（1）
由于0＜a＜1，当 t→∞时，（1-a）t→0，于是 ∞ St（1） =a Σ (1-a)j yt-j j=0 可见St（1）实际上是 yt，yt-1，…yt-j，…的加权平均。加权系数分别为a , a(1-a) , a(1-a)2，（1-a）j 是按几何级数衰减，愈近的数据，权数愈大，愈远的数据，权数愈小，且权数之和 a Σ(1-a)j=1 由于加权系数符合指数规律，有平滑数据的功能，称为指数平滑。 这种平滑值进行预测称一次指数平滑法。 预测模型为： ŷt+1= St（1） 以第t期的一次指数平滑值作为t+1期的预测值，式中： St（1） = ayt +（1 -a）ŷt →St-1（1） 即： ŷt+1= ayt +（1 -a）ŷt

155 （1）若选取a=0，则 ŷt+1= ŷt，即下期预测值就等于本期预测值，在预测过程中不考虑任何新信息；
3、加权系数的选择 a的作用： a值既代表预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又决定预测模型修匀误差的能力。 （1）若选取a=0，则 ŷt+1= ŷt，即下期预测值就等于本期预测值，在预测过程中不考虑任何新信息； （2）若选取a=1 ，则ŷt+1= yt，即下期预测值就等于本期观察值，完全不相信过去的信息。这两种极端情况很难做出正确的预测。因此，a值应根据时间序列的具体性质在0-1之间进行选择。找到最佳的α。 4.一次指数平滑法的初值 S0（1）的确定：

156 • 例 2 拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7 试预测。 结果列入下表表6-2：
• 例 2 利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1月我国平板玻璃月产量进行预测（取α=0.3，0.5 ，0.7）。并计算均方误差选择使其最小的α进行预测。 拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7 试预测。 结果列入下表表6-2： 回总目录 回本章目录

157 回总目录 回本章目录 时间 序号 实际观测值 指数平滑法 α=0.3 α=0.5 α=0.7 1980.01 1980.02 1980.03
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 259.5 — 206.9 213.8 216.8 218.0 212.1 210.8 216.1 213.2 217.3 226.5 209.0 230.0 226.9 223.8 211.1 209.5 219.0 212.8 219.8 233.8 211.0 224.2 223.9 221.7 205.4 207.1 222.1 211.2 240.1 回总目录 回本章目录

158 由上表可见： α=0.3，α=0.5，α=0.7时，均方误差分别为： MSE=287.1 MSE=297.43 MSE=233.36
因此可选α=0.7作为预测时的平滑常数。 1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为： 最小 回总目录 回本章目录

159 6.2 线性二次移动平均法 一、线性二次移动平均法 1. 基本原理
为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，延伸发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。 回总目录 回本章目录

160 2.概念 在时间序列具有非随机性和理想的线性趋势，没有明显趋势变动，能够准确地反映实际情况。当时间序列具有随机性，出现变动趋势时，用简单移动平均法预测会出现滞后偏差。削弱系统偏差，修正方法利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势预测模型,称趋势移动平均法。

161 3.计算方法 线性二次移动平均法的通式为： （5.1） （5.2） （5.3） （5.4） m为预测超前期数 回总目录 回本章目录

162 4.建立模型 设序列{ Ft }从某期开始具有直线趋势，且未来时期按此趋势变化，设直线趋势预测模型: Ft+m= at +btm （6-8）
Ft+m为第t+m期预测值； at为截距；bt为斜率。at 、bt又称为平滑系数。

163 确定at和bt m= -1， Ft- bt= Ft-1 m= -2， Ft- 2·bt= Ft-2
据上模型，当m=0时，at= Ft ,为初始值，且: Ft+m= Ft+m bt m= -1， Ft- bt= Ft-1 m= -2， Ft- 2·bt= Ft-2 m=N Ft-N+1= Ft -（N-1）·bt 代入一次移平均公式有： St（1）= （Ft +Ft-1 +…+Ft-N+1）/N ={ Ft + （Ft-bt）+…+[Ft-（N-1）bt]}/N ={NFt-[1+2+…+（N-1）bt]}/N St（1）= Ft - [（N-1）/2] bt 得：Ft- St（1）= …….. （6-9） 结论： 一次移动平均预测 St（1）值比实际值（Ft）滞后

164 Ft-Ft-1 ≈ St（1）- St-1（1）=bt
由（6-9）式有 Ft-1- St-1（1）= [（N-1）/2 ] bt Ft-Ft-1=b Ft-Ft-1 ≈ St（1）- St-1（1）=bt 次移动递推公式： st（2）= st-1（2）+ [st（1）- st-N（1）]/N 类推，Ft - St（1)≈ St（1）- St（2） = [（N-1）/2 ] bt （6-10） 结论：二次移动平均对一次移动平均的滞后与一次移动平均对实际值的滞后量大致相等。 得 at 和 bt 的计算公式：

165 二、二次移动平均法的应用 （见表6-3））） t 年份 发电总量 一次移动平均 St（1），N=6 二次移动平均 St（2），N=6
二、二次移动平均法的应用 （见表6-3））） 年份 t 发电总量 一次移动平均 St（1），N=6 二次移动平均 St（2），N=6 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1688 1958 2031 2234 2566 2820 3006 3093 3277 3514 3700 4107 2216.2 2435.8 2625.0 2832.7 3046.0 3246.7 3461.2 2733.6 2941.2

166 意义： ŷ21+r=3981.2+208T 预测2006年和2007年的发电总量为
分别计算S21（1）和S21（2） S 21（1）=（ ）/6=3461.2 S21（2）=( )/6=2941.2 计算 t=21期: =2× = =2/5( )=208 得t=21时直线趋势预测模型为： ŷ21+r= T 预测2006年和2007年的发电总量为 Ŷ2006= ŷ22=y21+1= =4189.2（亿度） Ŷ2007= ŷ23=y21+2= ×2=4397.2（亿度） 意义：

167 一次移动平均与二次趋势移动平均的点评：

168 6.3 线性二次指数平滑法 一次移动平均法的两个限制因素在线性二 次移动平均法中也才存在，线性二次指数 平滑法只利用三个数据和一个α值就可进
6.3 线性二次指数平滑法 一次移动平均法的两个限制因素在线性二 次移动平均法中也才存在，线性二次指数 平滑法只利用三个数据和一个α值就可进 行计算； 。 回总目录 回本章目录

169 一、布朗单一参数线性指数平滑法 其基本原理与线性二次移动平均法相 似 ，当时序线性趋势存在时，一次和二次 平滑值都滞后于实际值，消除滞后偏差的方法，即将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，对趋势进行修正，利用滞后偏差规律建立线性趋势模型，进行预测。 回总目录 回本章目录

170 2.计算： 预测步骤： 1.确定平滑系数 а 和初始值S 0（1），S 0（2）原则及方法同于S 0（1） 为一次指数平滑值；
3.估计系数，建立模型； 为二次指数平滑值； m为预测超前期数 回总目录 回本章目录

171 例：北京市1986-2003年城镇居民储蓄存款统计数据表所示，试用二次指数平滑法预测2004年和2005年的城镇居民储蓄存款。
1）绘制散点图，由图可见城镇居民储蓄存款呈二次曲线趋势，应用三次指数平滑法预测，为进行比较仍用二次指数平滑法进行预测。 2）取а=0.4，,初始值S 0（1）= S 0（2）= , S 0（1）= 1/3(Y1 +Y1+Y1) 3）计算 S t（1）， S t（2） 4）建立线性趋势预测模型： a 18 = 2* = b 18 = (0.4/1-0.4 )*( )=531.59 t=18时线性趋势预测模型: y18 = T

172 分析结论：预测误差较大，模型预测效果不理想，原因二次指数平滑法不适宜做具有二次曲线趋势的时序预测，适合利用三次指数平滑法预测。
5)计算追溯值，求MAPE 6)预测2004年和2005年的城镇居民储蓄存款: y2004 = *1= (亿元) y2005 = *2= (亿元) 分析结论：预测误差较大，模型预测效果不理想，原因二次指数平滑法不适宜做具有二次曲线趋势的时序预测，适合利用三次指数平滑法预测。 表6-4 城镇居民储蓄存款及二次指数、三次指数平滑法计算表 单位：亿元

173 S 0（1）=73.79 时间 t 居民存款y t а=0.4 S t（1） S t（2） S 0（2）=73.79 S t（3） 二次指数
MAPE 三次指数 预测值 yt 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 55.62 75.10 90.55 133.76 187.91 249.88 328.21 482.48 741.44 66.52 69.99 78.21 100.4 135.4 181.2 240.0 336.9 498.7 740.6 1046.8 1336.4 1627.1 1947.9 2234.1 2641.9 5214.4 3899.3 70.88 70.52 73.60 84.33 104.7 135.3 177.2 241.1 344.2 502.76 720.38 966.81 1230.9 1517.7 1804.3 2139.4 2569.4 3101.3 72.63 71.79 72.51 77.24 88.25 107.1 135.1 177.5 244.2 347.62 496.72 684.76 903.24 59.24 69.10 85.91 127.3 186.6 257.8 344.9 497.1 756.94 0.2121 0.2369 0.3577 0.3224 0.2532 0.2146 0.2852 0.3296 0.3140 0.2445 0.1010 0.0530 0.0577 0.0011 0.0928 0.1453 0.1289 52.03 71.17 95.65 152.20 225.58 306.28 401.88 585.87 907.18 0.3080 0.2140 0.2849 0.1900 0.0972 0.668 0.1671 0.2098 0.1779 0.0933 0.0585 0.0632 0.0190 0.0637 0.0628 0.1017 0.0597 2004 2005 19 20 预测值 平均误差 0.197 0.131

174 北京市 年城镇居民储蓄存款统计图

175 二、霍尔特双参数线性指数平滑法 似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋 势直接进行平滑。 其基本原理与布朗线性指数平滑法相 回总目录
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176 计算公式： （5.5）式是利用前一期的趋势值 直接修正 （5.6）式用来修正趋势项 ，趋势值用相邻两次平 滑值之差来表示。 （5.5）
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177 二次指数平滑预测评价： 1）重视当前数据，得到新的数据，不断调整斜率和截距，提高预测精度； 2）可预测未来个时期，但不宜过长；
3）解决了一次指数平滑滞后偏差问题； 4）当趋势很明显时，可用双参数线性指数平滑法，即用一次指数平滑值和趋势平滑值建模预测。

178 6.4 布朗二次多项式（三次）指数平滑法 基本原理： 当数据的基本模型具有二次、三次或高次 幂时，则需要用高次平滑形式。从线性平滑过
6.4 布朗二次多项式（三次）指数平滑法 基本原理： 当数据的基本模型具有二次、三次或高次 幂时，则需要用高次平滑形式。从线性平滑过 渡到二次多项式平滑，基本途径是再进行一次 平滑（即三次平滑），并对二次多项式的参数 作出估计。类似，也可以由二次多项式平滑过 渡为三次或高次多项式平滑。 回总目录 回本章目录

179 所谓三次指数平滑法，就是将二次指数平滑序列再进行一次指数平滑。 计算公式：
适用条件: 所谓三次指数平滑法，就是将二次指数平滑序列再进行一次指数平滑。 计算公式： 其中:初始值S 0（3） 可选取S 0（2）

180 三次指数平滑的目的： 1）不断修正预测值，跟踪非线性趋势变化。 二次曲线趋势预测模型： 其中参数 分别为 at 、 b t 、 c t
2）与二次指数平滑类似，目的为计算二次曲线预测模型参数。 二次曲线趋势预测模型： 其中参数 分别为 at 、 b t 、 c t

181 估计参数 at 、 b t 、 c t ：

182 例：对表6-4数据用三次指数平滑法预测2004年和2005年的城镇居民储蓄存款:
1）绘制散点图 2）取а=0.4，,初始值S 0（1） =S 0（2）= S 0（3）= , S 0（1）= 1/3(Y1 +Y1+Y1) 3）计算 S t（1） S t（2）， S t（3） 结果见表6-4 4）建立线性趋势预测模型：当 t=18时 a 18 = b 18 = C 18 = 37.03

183 北京市 年城镇居民储蓄存款统计图

184 令t=1 、2 、 、17计算各期计算追溯值结果见表6-4 ，求MAPE
y18+m = m m2 预测2004年和2005年的城镇居民储蓄存款: 2004年：y = * *12= （亿元 2005年：y18+2 = * *22= （亿元 令t=1 、2 、 、17计算各期计算追溯值结果见表6-4 ，求MAPE MAPE=13.16% 可见，预测误差比二次指数平滑法预测误差减少很多 结果见表6-4 。

185 三次指数平滑预测法评价： 1）三次指数平滑预测不仅考虑了时序线性增长因素，也考虑了二次曲线增长因素，故对于研究对象是二次曲线趋势时序是较好的预测方法； 2）对线性趋势的时序，三次指数平滑预测同样适宜，只是c=0. 3)可作短期预测； 4)三次指数平滑预测比二次指数平滑预测更好预测拐点，它是非线性平滑。

186 6.5 温特线性和季节性指数平滑法 一、基本思想： 温特线性和季节性指数平滑法也称为霍尔特--温特斯指数平滑法。
6.5 温特线性和季节性指数平滑法 一、基本思想： 温特线性和季节性指数平滑法也称为霍尔特--温特斯指数平滑法。 是把具有线性趋势、季节变动、随机变动的时间序列进行分解研究，并与指数平滑法相结合，分别对长期趋势、趋势增量、季节变动做出估计，建立预测模型，进行外推预测。 回总目录 回本章目录

187 二、平滑公式及预测模型 霍尔特--温特斯指数平滑法，包括3个平滑公式及一个预测模型，其中每一个公式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个有关的参数α、β和γ 。 预测模型：

188 温特法的平滑公式： 其中，L为季节的长度； S t长期趋势、 、 b t趋势增量、 I为季节指数修正系数。 回总目录 回本章目录

189 三、平滑系数及初始值确定 初始值确定：利用前两个周期数据取初始值。 各初始值选取方法： ， ，
设A1 和A 2表示第一个周期、第二个周期各期数据的平均值，即: 各初始值选取方法： ， ，

190 四、适用条件:

191 例：某企业利润额的季度资料，霍尔特--温特斯指数平滑法对2009年各季度的利润额作出预测。
1）判断存在季节影响且季节长度L=4. 取α=0.2 、β=0.1 、γ=0.1 2）初始值选取b4、 S 4、 I i (i=1 、2 、3 、4) 据前两年数据计算

192 季节因素初始值：

193 某企业2009年各季度利润额图

194 3）根据公式逐期计算 bt 、S t 、T t 从第二周期开始计算： 一直计算到 b12、S 12、T 12，结果见表6-5

195 表6-5 霍尔特--温特斯指数平滑计算表（单位：万元）
年，季 时间t x t 利润额单位：万元 S t 趋势估计量平滑值 b t 增量估计量平滑值 T t估计量季节因素平滑值 2006.1 2 3 4 1 41 25 29 37 1.6875 1.3456 0.7775 0.8569 1.0413 2007.1 5 6 7 8 50 33 32 44 1.6863 1.7573 1.6771 1.6775 1.3454 0.7831 0.8501 1.0414 2008.1 9 10 11 12 62 40 55 1.7208 1.8211 1.8784 1.9078 1.3507 0.7897 0.8540 1.0438

196 4）预测2009年各季度的利润额。 预测模型: 将m=1 、2 、3 、4分别代入预测模型，得到2009年各季度的利润额预测值分别： , ， ， 万元

197 7 自 适 应 过 滤 法 7.1 自适应过滤法的基本原理 7.2 自适应过滤法的运用过程 回总目录

198 7.1 自适应过滤法的基本原理 一、自适应过滤法的概念 自适应过滤法就是从自回归系数的一组初始估计值开始利用公式：
逐次迭代，不断调整，以实现自回归系数的最优化。 回总目录 回本章目录

199 二、自适应过滤法的优点 （1）简单易行，可用标准程序上机运算。 （2）适用于数据点较少的情况。 （3）约束条件较少。
（4）具有自适应性，它能自动调整回归系数， 是一个可变系数的数据模型。 回总目录 回本章目录

200 7.2 自适应过滤法的运用过程 一、自适应过滤法的基本步骤 1）首先确定模型阶数P ， 2）选择合适的滤波参数k ，
3）计算每一次残差e ， 4）根据残差e以及调整公式 ，计 算下一轮的系数， 5）迭代直到取得合适的系数。 回总目录 回本章目录

201 （2）为了避免太大的k而导致的误差序列的发散 性，k应小于或等于1/P， （3）根据Box-Jenkins方法的基本知识， ，
而Widrow将其表述为： 回总目录 回本章目录

202 例 题 • 例1 假定有一时间序列如下表所示，用权数个数P=4的自适应过滤法求进行预测，模型为： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
例 题 • 例1 假定有一时间序列如下表所示，用权数个数P=4的自适应过滤法求进行预测，模型为： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yt 12 14 16 18 20 回总目录 回本章目录

203 解答： （1）由于权数P=4,首先确定滤波常数k。 因此，取k=0.0008 （2）初始系数： 回总目录 回本章目录

204 （3）t的取值从P=4开始。t=4时： 1） 2） 3）根据 调整系数： 回总目录 回本章目录

205 这里，1）~3）即完成了一次迭代（调整），然后t+1再重复以前的步骤。
2） 回总目录 回本章目录

206 3）根据 调整系数： （5）这样进行到t=10时， 但由于没有t=11的观察值Y11，因此 回总目录 回本章目录

207 无从计算。第一轮的迭代就此结束，转入把现有的一组作为初始系数，重新开始t=4的迭代过程。这样反复进行，到预测误差（指一轮预测的总误差）没多大改进时，就认为获得了一组最佳系数，以此获得的系数作为最优系数进行模型预测： 回总目录 回本章目录

208 8 马尔可夫预测法 回总目录

209 主要内容 马尔科夫链的基本原理 1 状态预测 2 市场占有率预测 3

210 马尔科夫预测法是应用随机过程中马尔科夫链的基本原理和方法研究分析随机时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种方法。
马尔科夫（A.A.Markov，1856～1922年）是俄罗斯伟大的数学家。马尔科夫链是人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的随机过程模型。马尔科夫链对社会、经济现象的预测及经营决策等方面有着广泛的应用。

211 随机过程 在自然界和人类社会中事物的发展变化—— 一类是确定性的变化过程 一类是非确定性的变化过程
确定性的变化过程---- 事物的变化是由时间唯一确定的。即：对给定的时间，事先能够确定事物变化的结果,用时间函数描述： S=f(t) 不确定变化过程-----在一定时刻，事物的变化结果不止一个，人们又无法事先肯定哪一个结果一定发生，即事物的发展变化具有随机性。其变化过程为随机过程：

212 举 例 呼和浩特市未来一天t时刻的温度 ； 设Z(t)是某市电话局在未来时间t内收到的呼叫次数，
举 例 呼和浩特市未来一天t时刻的温度 ； 设Z(t)是某市电话局在未来时间t内收到的呼叫次数， 对任意给定的时间t，事先无法确定Z(t)的取值，即Z(t)是随机变量，因此Z(t) 是随机过程

213 随机过程的分类 ①连续型随机过程 ②离散型随机过程 ③连续随机序列 ④离散随机序列（又称随机时间序列）
随机过程根据其随机变量与时间参数T的取值是否连续分为： ①连续型随机过程 ②离散型随机过程 ③连续随机序列 ④离散随机序列（又称随机时间序列）

214 8.1基本原理 马尔可夫(Markov)法，它将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初始概率和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来。 研究对象：某种事物状态的转移概率。 特征：1）无后效性；2）稳定性 机 回总目录 回本章目录

215 8.1.1马尔科夫链 若随机变量序列{X（n），n=1,2,3,… }的参数为非负整数，且具有马尔可夫性，则称这一随机过程为马尔可夫链。
马尔科夫链？？？？ 马尔科夫链是一种特殊的随机时间序列，具有无后效性的离散随机序列。时间参数空间通常取 记 ， 所有可能取值构成集合称为序列状态空间，记为S。无后效性，即时间序列将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关。就是说时间序列在时期t+1处于什么状态只与目前时期t所处的状态有关，而与目前时期t以前所处的状态无关。 回总目录 回本章目录

216 马尔可夫性： 如果把随机变量序列{X（n）}的参数n看作时间，tr作为“现在”，t>tr就是“将来”，t1< t2…< tr－1< t就是“过去”，那么，当现在X(tr)已知的条件下，{X（n）}“将来”的情况与“过去”的情况无关，或者说，{X（n）}的“将来”只是通过“现在”发生联系，一旦“现在”已知，“将来”和“过去”就是无关的。随机过程的这一特性称为马尔可夫性，或称无后效性。 回总目录 回本章目录

217 举 例 池塘里有n张荷叶，在时刻 ，它可能跳到1号，2号，4号，…，n号荷叶的任意一张上，也可能在3号荷叶上不动。把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，而与它以前所处的状态无关。

218 8.1.2 状态及状态转移 1.状态: 是指客观事物可能出现或存在的状况。如产品在市场上可能是畅销 ，可能是滞销，机器运行可能正常或有故障，股票市场的股票价格可能上涨，可能下跌等。 对预测对象状态的划分通常有两大类： 一类是预测对象本身有明显的状态界限划分。 另一类是需根据实际情况人为划分。 回总目录 回本章目录

219 2.状态转移: 是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销，但由于销售渠道的畅通或者消费者心理的变化，可能使其变为畅销。 随机过程的状态和状态转移的统计特性用概率描述。 回总目录 回本章目录

220 8.1.3 状态转移概率矩阵 1.状态转移概率pij 客观事物可能有E1,E2,…En共n种状态，其每次只能处于一种状态，则每一种状态都具有n个转向（包括转向自身），即：Ei→E1,Ei→E2,…,Ei→Ei,…,Ei→En,将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。 最基本的是一步转移概率p(Ej|Ei),它表示由状态Ei经过一步转移到状态Ej的概率，也记作pij，事物若有n种状态，相应地有n个状态转移概率，即pi1，pi2，…，pij，…，pin。 回总目录 回本章目录

221 将事物n个状态的转移概率排列，可以得到一个n行n列的矩阵p:
回总目录 回本章目录

222 称P为状态转移概率矩阵。若一步转移概率矩阵为P， 则k步转移概率矩阵为：
pij≥0 称P为状态转移概率矩阵。若一步转移概率矩阵为P， 则k步转移概率矩阵为： 回总目录 回本章目录

223 如：某市销售普通、一级、特级三种酱油，据统计，上月购买普通酱油的顾客本月仍有40%购买普通酱油，转买一级和特级酱油的各占30％；上月购买一级酱油的顾客本月仍有30％买一级酱油，有60％和10％分别转买普通酱油和特级酱油；上月买特级酱油的顾客本月只有30％仍购买特级酱油，有60%和10％分别转买普通酱油和一级酱油。 状态转移概率矩阵： 回总目录 回本章目录

224 这是酱油市场的一步转移概率矩阵。若这种变化规律持续下去，
回总目录 回本章目录

225 三个月后转移概率矩阵P(3): 回总目录 回本章目录

226 8.2 马尔可夫预测法 8.2.1 一重链状相关预测 若时间序列Yt在t＝k＋1时取值的统计规律只与Yt在t=k时的取值有关，而与t=k以前的取值无关，则称此时序为一重马尔可夫链。同样，若时间序列{Yt,t=1,2,…}在t=k+1时取值的统计规律与t=k及t=k-1时取值有关，而与t=k-1以前状态无关，则这种链状相关称为二重马氏链。可以得到三重、四重马氏链。 回总目录 回本章目录

227 预测步骤如下： 1.预测对象状态划分 预测对象本身有无明显的状态界限 2.计算初始概率Pi
初始概率是指状态出现的概率，就是状态出现的频率。假定预测对象有Ei(i=1,2,…,n)个状态，在已知历史数据中，状态Ei出现的次数为Mi;则Ei出现的频率 回总目录 回本章目录

228 其中N是已知历史数据中所有状态出现的总次数。状态Ei出现的概率pi为 ：
并满足: 回总目录 回本章目录

229 3.计算状态的一步转移概率pij 同状态的初始概率一样，状态转移概率的理论分布未知，当样本容量足够大时，也可以用状态之间相互转移的频率近似的描述其概率。假定由状态Ei转向Ej的个数为Mij，那么 (i=1,2,…,n j=1,2,…,n) 假定目前预测对象处于状态Ei，那么它的状态转移概率为: 回总目录 回本章目录

230 。 由于 所以 回总目录 回本章目录

231 矩阵主对角线上的p11，p22，…，pnn表示经过一步转移后，仍处在原状态的概率。
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232 4、预测 假定目前预测对象处在状态Ei，pij(j＝1，2，…，n)恰好描述了目前的Ei状态向各个状态转移的可能性，Pi1表示转向状态E1的可能性，pi2表示转向状态E2的可能性，pin表示转向状态En的可能性，等等。将n个状态转移概率按大小排列成不等式，可能性最大者就是预测的结果，即可以得知预测对象经过一步转移最大可能达到的状态。 回总目录 回本章目录

233 例8.1 某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售的分析预测
（1）选择预测方法 该厂业务推销员通过调查发现，影响收音机销量的因素很多，除产品质量、价格、经营管理水平等外，还与某个时期是否有同类新产品投入市场有关。鉴于各种随机因素影响，产品销量波动较大，难以用因果回归分析法预测，拟采用时间序列分析法。 （2）绘制时序曲线图 回总目录 回本章目录

234 表 晶体管袖珍收音机各月销量 单位：千台 回总目录 回本章目录

235 （3）状态划分 产品销量直接与利润多少相联系，因此根据该厂的利润情况划分产品销售状态。据以往经验和生产计划，每月如能销售100千台，可以做到不亏损，维持低水平生产。销售150千台，除缴纳各种税金，完成企业必要留利外，职工还可以得奖金15元/人/月，这可以看作正常销售状态。若每月能销售大于150千台，就处于高水平生产，这就是产品的畅销状态。若每月销量记做Y，产品销量的三个状态可作如下划分 回总目录 回本章目录

236 100千台<Y<150千台 （正常销售状态） Y>150千台 （畅销状态） （4）计算初始概率pi
计算各种状态出现的总点数（N）和分别处于不同状态的点数（Mi），计算各状态的初始概率，计算结果 图8.1 收音机各月销量 回总目录 回本章目录

237 (5)计算一步转移概率pij 可以得到从某一状态向另一状态转移的点数Mij，计算出一步转移概率。 ∵ M1=10 M11=5 , M12=5 , M13=0 ∴ p11=5/ p12=5/ p13=0 ∵ M2=8 M21= M22= M23=2 ∴ p21= 4/ p22= 1/ p23= 2/7 回总目录 回本章目录

238 ∵ M3=3 M31=0 M32=2 M33=1 ∴ p31=0 p32= 2/3 p33= 1/3 结果写出一步转移概率矩阵P： 回总目录
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239 （6）预测 第21期的销量为105.9千台，属于正常销售状态E2，由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系：
p21= 4/7 >p23= 2/7 >p22=1/7 p21突出大于p23和p22，这说明销量在目前状态下，经一步转移到低水平的可能性最大。故预测第22期收音机的销量不会超过100千台。 回总目录 回本章目录

240 P 0.6667 0.3333 0.0000 0.1000 0.5000 0.4000 0.2308 0.6923 0.0769 p2= 0.4778 0.3889 0.1333 0.1167 0.3757 0.4769 0.0308 0.0231 0.2752 0.6100 0.0917 0.1154 0.5962 0.2885 p3= 0.3574 0.3845 0.2478 0.0103 0.1153 0.3368 0.4958 0.0521 0.0429 0.2861 0.5783 0.0928 0.0115 0.1953 0.6031 0.1901 p4 0.2768 0.3686 0.3305 0.0242 0.1106 0.3213 0.5040 0.0642 0.0572 0.2908 0.5611 0.0908 0.0272 0.2407 0.5907 0.1414

241 p5 0.2214 0.3528 0.3883 0.0375 0.1059 0.3138 0.5095 0.0708 0.0672 0.2940 0.5502 0.0886 0.0422 0.2657 0.5759 0.1161 p6 0.1829 0.3398 0.4287 0.0486 0.1020 0.3098 0.5137 0.0746 0.0742 0.2964 0.5428 0.0866 0.0547 0.2799 0.5631 0.1024 p7 0.1559 0.3298 0.4570 0.0573 0.0989 0.3074 0.5168 0.0768 0.0791 0.2982 0.5376 0.0850 0.0645 0.2881 0.5529 0.0945 p8 0.1369 0.3223 0.4770 0.0638 0.0967 0.3060 0.5192 0.0781 0.0826 0.2996 0.5340 0.0839 0.0718 0.2932 0.5453 0.0898 p9 0.1235 0.3169 0.4910 0.0686 0.0951 0.3050 0.5209 0.0790 0.3005 0.5314 0.0830 0.0772 0.5396 0.0868

242 8.2.2 模型预测 实际预测中，往往需要知道经过一段时间后，预测对象可能处于的状态，要求建立一个能反应变化规律的数学模型。马尔可夫模型预测是利用概率建立一种随机型时序模型进行预测的方法，通常称为马尔可夫法。 1、预测模型： (1) 式中: 是预测对象t＝k时刻的状态向量；P为一步转移概率矩阵； 是预测对象在t＝k＋1时的状态向量，也就是预测的结果。 2.适用条件 回总目录 回本章目录

243 回总目录 回本章目录

244 3.应用 例8.3 企业产品用户占有率的分析预测。 飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化。先要根据8、9月份的变化，分析预测本年后三个月各厂家的用户占有率。 （1）调查目前的用户占有及变动情况 经调查，9月1日各厂家订户及8月份订户情况如表8.5。8月1日的订户到9月1日发生变化的情况如表8.6。 回总目录 回本章目录

245 回总目录 回本章目录

246 S(0)=(0.292 0.280 0.226 0.202) 初始状态向量: (2)计算用户转移概率
计算8—9月份用户转移概率。如飞跃厂订户转向: 回总目录 回本章目录

247 回总目录 回本章目录

248 回总目录 回本章目录

249 回总目录 回本章目录

250 回总目录 回本章目录

251 预测结果表明： 如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到年底，原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。金星厂家的用户占有率将明显高于其它厂，由9月份的第二位跃居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂。 8.2.3 状态转移概率矩阵在预测中的作用 回总目录 回本章目录

252 假定英雄厂从9月采取压价销售的方针，每月拿出1000元作为压价损失费。这样，转移概率矩阵可以根据已有资料重新加以估计。如果变化如下：
以例8.3为例： 按目前这种转移概率矩阵，对英雄厂很不利。要改变市场占有率必须改变用户转移概率矩阵，而决定转移概率的因素主要有改进技术，提高质量，降低价格，改善经营管理，加强广告宣传等。 假定英雄厂从9月采取压价销售的方针，每月拿出1000元作为压价损失费。这样，转移概率矩阵可以根据已有资料重新加以估计。如果变化如下： 回总目录 回本章目录

253 说明，英雄厂9月压价后，从飞跃厂争得1％的用户，从金星厂争得0. 8％的用户，从凯歌厂争得1
说明，英雄厂9月压价后，从飞跃厂争得1％的用户，从金星厂争得0.8％的用户，从凯歌厂争得1.3％，同时该厂用户保留率提高4％，转向飞跃厂的用户减少1％，转向金星厂、凯歌厂的用户各减少1.5％。按照这种变化，转移概率矩阵为 回总目录 回本章目录

254 S（k） 回总目录 回本章目录

255 若按这种规律变化，11月12月各厂家的用户占有率将为:
原英雄厂10月用户占有率为19.7％，即在1839家用户中只占有362家，压价后10月份用户为0.214×1839＝394（家）。这说明压价后，英雄厂10月用户增加32家。若从每一用户平均获利50元，10月将多获得1600元。显然，这种情况下采取压价销售方式争取用户有利的。 若按这种规律变化，11月12月各厂家的用户占有率将为: 回总目录 回本章目录

256 预测结果说明： 回总目录 回本章目录

257 8.3 马氏链的稳定状态及其应用 马氏链的稳定状态：
8.3 马氏链的稳定状态及其应用 马氏链的稳定状态： 经过较长一段时间后，马氏链将逐渐趋于一种状态，它与初始状态无关，在n＋1期的状态概率与前一期即n期的状态概率相等，也就是有：S(n+1)=S(n)成立。马氏链的这个状态被称为稳定状态。 若进行市场占有率预测，稳定状态意味着各企业或各牌号产品的市场占有率不再随时间发生变化，或说竞争达到均衡状态。 回总目录 回本章目录

258 马氏链达到稳定状态时的状态概率就是稳定状态概率，也称为稳态概率。马氏链在一定条件下，经过k步（k足够大）转移后，会达到稳定状态。
8.3.1 马氏链的稳态概率 马氏链达到稳定状态时的状态概率就是稳定状态概率，也称为稳态概率。马氏链在一定条件下，经过k步（k足够大）转移后，会达到稳定状态。 预测中，要设法求解得到预测对象的稳态概率，以此作预测分析。 1.马氏过程存在稳定状态的条件 若概率矩阵中，诸元素均为非负，则被称为标准概率矩阵， 回总目录 回本章目录

259 则矩阵A被称为标准概率矩阵。 2、稳态概率的求解 由马氏链稳定状态的定义可知，处于稳定状态时， 回总目录 回本章目录

260 回总目录 回本章目录

261 回总目录 回本章目录

262 回总目录 回本章目录

263 8.3.2 终极占有率预测 终极占用率就是在市场竞争中达到均衡状态的用户占有率，求解稳态概率可以预测终极占有率。
例8.4 各厂家最终用户占有率的分析预测 分析 ：从例8.3中可见，各厂家对用户的占有率在不断发生变化，用户转移概率矩阵正好反映了这种变化的规律。在这里，用户转移概率矩阵是标准概率矩阵。表明，随着状态的每一步转移，各厂家的用户占有率不断调整，逐步将稳定在某一水平上。这时，各厂家竞争得到均衡状态，用户占有率基本上不再变化。这时用户占有率就是终极占有率。 求解稳态概率得到： 回总目录 回本章目录

264 回总目录 回本章目录

265 回总目录 回本章目录

266 结果表明，飞跃厂、金星厂、凯歌厂、英雄厂的长期用户占有率即终极占有率为27.3％、33.3％、21.8％、17.6％。
应当注意： 应当指出：在马尔可夫预测法中考虑的用户占有率，是在总用户不变的条件下计算的。但实际上，任一产品的总用户都是在不断变化的，在实际预测时要予以考虑。马尔可夫法还可用于预测股票价格的涨跌变动、出租车的流向等。 回总目录 回本章目录

267 习题： 1．设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，购买中国大陆味精的顾客占40%，购买日本、香港的各占30%。顾客流动 转移概率矩阵为： 今设本月为第 一个 月，试预测: （1）第4个月市场占有率； （2）终极市场占有率。 回总目录 回本章目录

268 2．有3家企业生产同种产品，已知在当地它们的当月市场占有份额为：
( )，且已知状态转移概率矩阵为： 试根据马尔柯夫性质，预测两个月后的市场占有率及终极占有率。 回总目录 回本章目录

269 回总目录 回本章目录

270 时,三个厂家稳定状态下的市场占有率分别为50%,25%和25%,厂家2认为应采取积极的营销策略,提高自己的市场占有率,为此设计了两套方案:
概率矩阵为： 时,三个厂家稳定状态下的市场占有率分别为50%,25%和25%,厂家2认为应采取积极的营销策略,提高自己的市场占有率,为此设计了两套方案: 方案一旨在吸引老客户。方案一的实施需花费约450万元。实施方案后，估计转移概率矩阵为： 回总目录 回本章目录

271 方案二希望吸引厂家1和厂家3的客户。方案二的实施需花费大约400万元。实施方案后，估计转移概率矩阵为：
要求：试用马尔柯夫预决测方法，分析采取相应措施后，市场达到稳定状态时，最佳方案的选择。 回总目录 回本章目录

272 9 平稳时间序列预测法 9.1 概述 9.2 时间序列的自相关分析 9.3 单位根检验和协整检验 9.4 ARMA模型的建模 回总目录

273 9.1 概 述 一、平稳时间序列 时间序列 取自某一个随机过程，则称： 过程是平稳的——随机过程的随机特征不随时间变化而变化
9.1 概 述 一、平稳时间序列 时间序列 取自某一个随机过程，则称： 过程是平稳的——随机过程的随机特征不随时间变化而变化 过程是非平稳的——随机过程的随机特征随时间变化而变化 回总目录 回本章目录

274 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称 宽平稳。 回总目录 回本章目录

275 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型；
Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、 预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 回总目录 回本章目录

276 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）；
混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。 回总目录 回本章目录

277 二、自回归模型 如果时间序列 满足 其中 是独立同分布的随机变量序列,且满足： 则称时间序列 服从p阶自回归模型。 回总目录 回本章目录

278 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录

279 三、移动平均模型MA(q) 则称时间序列 服从q阶移动平均模型。 或者记为 。 平稳条件：任何条件下都平稳。 如果时间序列 满足 回总目录
如果时间序列 满足 则称时间序列 服从q阶移动平均模型。 或者记为 。 平稳条件：任何条件下都平稳。 回总目录 回本章目录

280 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列 服从(p,q)阶自回归移动 平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录

281 ARMA(p,q)模型特殊情况： q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 回总目录 回本章目录

282 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1； 为一常数。 试证明： 宽平稳。 回总目录 回本章目录

283 证明： 均值为0， 只与t-s有关，所以宽平稳。 回总目录 回本章目录

284 9.2 时间序列的自相关分析 一、自相关分析 自相关分析法是进行时间序列分析的有效方 法，它简单易行, 较为直观，根据绘制的自
9.2 时间序列的自相关分析 一、自相关分析 自相关分析法是进行时间序列分析的有效方 法，它简单易行, 较为直观，根据绘制的自 相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初 步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。 利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性 和平稳性，以及时间序列的季节性。 回总目录 回本章目录

285 （1）自相关函数的定义 滞后期为k的自协方差函数为： 则自相关函数为： 其中 回总目录 回本章目录

286 当序列平稳时，自相关函数可写为： （2）样本自相关函数 其中 回总目录 回本章目录

287 样本自相关函数可以说明不同时期的数 据之间的相关程度，其取值范围在-1到 1之间，值越接近于1，说明时间序列的 自相关程度越高。 回总目录
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288 （3）样本的偏自相关函数 是给定了 的条件下， 与滞后k期时间序列之间的条件相关。 定义表示如下： 其中， 回总目录 回本章目录

289 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：
 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则： 若时间序列的自相关函数基本上都落入 置信区间，则该时间序列具有随机性； 若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。 回总目录 回本章目录

290 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：
若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性； 若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列就不具有平稳性。 回总目录 回本章目录

291 AR(p)模型的偏自相关函数是以p步截尾的，自 相关函数拖尾； MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏 自相关函数拖尾；
二、ARMA模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数是以p步截尾的，自 相关函数拖尾； MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏 自相关函数拖尾； （可用以上两个性质来识别AR和MA模型的阶数） ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都 是拖尾的。 回总目录 回本章目录

292 9.3 单位根检验和协整检验 一、单位根检验 利用迪基—福勒检验（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test），也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的是，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。 回总目录 回本章目录

293 称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。
（1）随机游动 如果在一个随机过程中， 的每一次变 化均来自于一个均值为零的独立同分布，即 随机过程 满足： 其中 独立同分布，并且： 称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。 回总目录 回本章目录

294 （2）单位根过程 设随机过程 满足： 其中 为一个平稳过程并且 回总目录 回本章目录

295 这是一个很重要的概念，我们利用Engle- Granger两步协整检验法和Johansen协整检验 法可以测定时间序列间的协整关系。
（3） 协整关系 如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个 线性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序 列间就被称为有协整关系存在； 这是一个很重要的概念，我们利用Engle- Granger两步协整检验法和Johansen协整检验 法可以测定时间序列间的协整关系。 回总目录 回本章目录

296 9.4 ARMA模型的建模 一、模型阶数的确定 （1）基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法
对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的自相关函数和样本偏自相关函数的截尾性判定模型的阶数。 回总目录 回本章目录

297 具体方法如下： 对于每一个q,计算 （M 取 为 或者 ），考察其中满足 或者 的个数是否占M个的68.3%或者95.5%。如果
…. 为 或者 ），考察其中满足 或者 的个数是否占M个的68.3%或者95.5%。如果 ， 都明显地异于零，而 (转下页) 回总目录 回本章目录

298 均近似于零，并且满足 上述不等式之一的 的个数达到其相应的比 例，则可以近似地判定 是 步截尾，平 稳时间序列 为 。 , , …. ,
是 步截尾，平 稳时间序列 为 。 回总目录 回本章目录

299 类似，我们可通过计算序列 ，考察 其中满足 或者 的个数 是否占M个的68.3%或者95.5%。即可以近似 地判定 是 步截尾，平稳时间序列
是 步截尾，平稳时间序列 为 。 回总目录 回本章目录

300 如果对于序列 和 来说，均不 截尾，即不存在上述的 和 ，则可以 判定平稳时间序列 为ARMA模型。 回总目录 回本章目录

301 （3）利用信息准则法定阶（AIC准则和BIC准则）
此外常用的方法还有： （2）基于F 检验确定阶数 （3）利用信息准则法定阶（AIC准则和BIC准则） 回总目录 回本章目录

302 AR(p)模型参数的Yule-Walker估计
二、模型参数的估计 （1）初估计 AR(p)模型参数的Yule-Walker估计 特例：一阶自回归模型AR(1)： 二阶自回归模型AR(2)： 回总目录 回本章目录

303 MA(q)模型参数估计 特例： 一阶移动平均模型MA(1)： 二阶移动平均模型MA(2)： 回总目录 回本章目录

304 方法可以进行。一般利用统计分析软件包完成。
ARMA(p,q)模型的参数估计 由于模型结构的复杂性，比较困难，有几种 方法可以进行。一般利用统计分析软件包完成。 回总目录 回本章目录

305 （2）精估计 ARMA(p,q)模型参数的精估计，一般 采用极大似然估计，由于模型结构的复 杂性，无法直接给出参数的极大似然估
计，只能通过迭代方法来完成，这时， 迭代初值常常利用初估计得到的值。 回总目录 回本章目录

306 三、ARMA(p,q)序列预报 设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q) 过程，则其最小二乘预测为： AR(p)模型预测 回总目录
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307 ARMA(p,q)模型预测 其中： 回总目录 回本章目录

308 预测误差 预测误差为： 步线性最小方差预测的方差和预测步长 有关, 而与预测的时间原点t无关。预测步长越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作为长期预测模型。 回总目录 回本章目录

309 预测的置信区间 预测的95%置信区间： 回总目录 回本章目录

310 例题分析 • 例 1 设 为一AR(2)序列， 其中 。 求 的自协方差函数 。 回总目录 回本章目录

311 解答： Yule-Walker方程为： 即： 回总目录 回本章目录

312 且： 联合上面三个方程，解出： 回总目录 回本章目录

313 • 例 2 考虑如下AR(2) 序列： 若已知观测值 （1）试预报 （2）给出（1）预报的置信度为95%的预报区间 回总目录 回本章目录

314 解答： （1） （2） 预报的置信度为95%的预报区间分别为： 回总目录 回本章目录