第二章血液的流动（共6讲）第一节理想流体的定常流动第二节血液的层流.

第二章血液的流动（共6讲）第一节理想流体的定常流动第二节血液的层流

第一节理想流体的定常流动

一、概念 1、理想流体 2、定常流动 3、流线 4、流管 5、流量 6、静压强与动压强

二、理想流体做定常流动的规律 1、连续性方程 2、伯努利方程 3、应用

一、概念 1、理想流体（Perfect Fluid） 2、定常流动（Steady Flow）
绝对不可压缩（密度是常量）、绝对无粘性（无内摩擦力）、可流动的物体。 2、定常流动（Steady Flow）若流体质点的速度只是空间的函数，与时间的变化无关，这样的流动称为定常流动。 =(x,y,z)

3、流线（Stream Line）想象流体流动过程中有这样的曲线存在：曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质点的速度方向相同。

飞流直下三千尺，疑是银河落九天。

定常流动时流线的特点：（1）与流体质点的运动轨迹相同（2）形状不随时间的推移而改变（3）任何两条流线都不可能相交
（4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方流速大

4、流管（Stream Tube）由流线围成的管状区域

5、流量（体积流量）（1）形状不随时间的推移而改变（2）流管内外无物质交换（3）生活中的水管即是流管
定常流动时流管的特点：（1）形状不随时间的推移而改变（2）流管内外无物质交换（3）生活中的水管即是流管 5、流量（体积流量）（1）定义：Q=•S （2）单位：米3/秒（m3s-1）（3）物理意义：单位时间内流过截面积为S的流管的流体的体积。

6、静压强液体静止时各点的压强。（1）定义：（2）单位：帕斯卡（Pa）（3）物理意义：单位面积上所受到的力
重要结论：在连通的同种流体中 A• B• h C• PA=PB PB-PC=ρgh

例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测量液体
求：p1-p2= ? （忽略1点与2点的高度差）水流 • • 3 • • 4 h Δh 解：当定常流动时，U形压强计中的流体是静止的，符合静压强的有关规律。 P3=P4 P3=P1+ρ水gh+ρ水gΔh P4=P2+ρ水gh+ρ银gΔh 联立求解得： P1 -P2=(ρ银 -ρ水）gΔh ∵ρ水=103kg/m3 ρ银=13.6×103kg/m3 即：银>>水 ≈ρ银gΔh

h 1 • 2 • 水流 ρ银 P1 – P2=ρ水gΔh 1 • 2 Δh 水流 P1 – P2=ρ银gΔh P1 – P2=ρ水gΔh
1 • 2 • 水流 1 • 水流 2 • Δh ρ银 P1 – P2=ρ水gΔh 1 • 2 Δh 水流 P1 – P2=ρ银gΔh P1 – P2=ρ水gΔh

二、运动规律 1、连续性原理（Contiunity Equation）数学表述： S=常数物理表述：同一流管流量守恒。适用条件：
物理表述：同一流管流量守恒。适用条件：（1）不可压缩流体（2）定常流动（3）在同一流管

证明：流进流管的体积=流出流管的体积 ΔV1=ΔV2 （不可压缩性） S11Δt=S22 Δt ∴ S11=S22
1点与2点是任选的，则 S =常数若流管中某截面上的流速不是定值，则速度应用平均值：证毕！

例：请你列出下面2种流管分布的连续性原理方程
1• 2 • 3 • 4 • 1 • • 2 S11=S22 S2 变小  2变大 S11=S22+S33+S44 截面积小的地方流速大

2、伯努利方程数学表述：物理表述：同一流线，能量密度之和守恒适用条件：（1）理想流体（2）定常流动（3）同一流线

证明：有功能原理：外力作功+非保守内力作功=机械能增量

机械能增量：根据功能原理：W=ΔE

利用 V D 有等式两边同除移项：由于1点、2点的任意性，可得到伯努力方程

其中： P — 压强能密度 — 动能密度 — 重力势能密度 ∴能量密度之和不变证毕！

3、应用应用一：小孔流速问题例1：一个很大的开口容器（SA>>SB，两个数量级以上，或者A=0），器壁上距水面h处开有一小孔，截面积为SB。求：小孔处液体的流速B=? A • • B 解：求解步骤（1）画流线（2）列方程（3）解方程 PA=P0 A=0 PB=P0 hB=0 根据题意，有：代入伯努力方程中，求解得：

此公式适用条件：（1）两头都开口：PA=PB=PO （2）大容器：A=0 （3）h是小孔到水面的距离
装置的特点：大敞口容器下方开一小孔此公式适用条件：（1）两头都开口：PA=PB=PO （2）大容器：A=0 （3）h是小孔到水面的距离类似装置： A • • B h A • • B h

A • B • h h • B • A

应用二：测速仪原理例2：皮托管测水流速度解： A点即流体流动的速度 B点是停滞区 A、B两点同高

装置的特点：迎着流速开口A，顺着流速开口B，两个开口分别与压强计联接。
例4： A、B两点近似为同高点是液体密度是气体密度

应用三：流量计原理例3：文丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q=? 解：画流线，如图： • A SA B SB h 列方程：

求解：

文丘里（Venturi）流量计装置的特点：
在粗细不等的两处接出压强计。类似装置： h • A B A • B h

应用四：喷雾器原理喷口处的截面小，流速大，该处压强小于大气压强，其吸入外界气体和下面的水，混合成雾状喷出。

应用五：体位对血压的影响流速不变(或为0)时，由伯努利方程知： P1+ρgh1=P2+ρgh2 即 P+ρgh=常量说明：高处流管内流体压强较小，而低处压强大。因此测量血压时一定要注意测量部位。

用如图所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求
应用六：虹吸管原理例：用如图所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求 • B A • C h1 h2 h3 D (1)虹吸管内液体的流速 (2)虹吸管最高点B的压强 (3)B点距离液面的最大高度解：（1）小孔流速

（2）PB=? B点与C点列伯努力方程

（3）h3的最大值？ D点与B点列伯努力方程即最大值

应用七：五个日常现象（1）水流随位置的下降而变细 • A • B h

（2）两船并行前进，不能靠得太近，易互相碰撞
S外 S内

(3)烟囱越高，拔火力量越大： A• 锅炉 B•

（4）为什么在火车站的月台上有一条黄色的警示线
火车 • 1 3 2 4 分析：

在很远的地方，近似有空气是粘滞流体，贴近火车的空气层以火车的速度流动，其它流层逐层流速减小好象有一种力量推向火车一侧！

再加一杯水就可以使一个非常结实的酒桶破裂，为什么？
（5）帕斯卡实验再加一杯水就可以使一个非常结实的酒桶破裂，为什么？ ∵高处流体压强较小，低处压强大。如果水桶能承受2atm大气压的压强，h为多高能使其破裂？设v=0 p桶=p0+ρgh h=(p桶－ p0)/ρg =1.033×105 /103×9.8 =10.54 (m)

小结：一、概念：理想流体、定常流动、流线、流管流量、静压强二、两个公式： S =常数三、三种装置：小孔流速、比托管、文丘里流量计

作业一：当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降而变细，何故？如果水笼头管口的内径为D，水流出的速率为0，求：在水笼头出口以下h处水流的直径。

作业二：利用压缩空气将水从一个密封大容器内通过管子压出。如下图所示。如果管口高出容器内液面0. 65m，并要求管口的流速为1
作业二：利用压缩空气将水从一个密封大容器内通过管子压出。如下图所示。如果管口高出容器内液面0.65m，并要求管口的流速为1.5m·s-1。求容器内空气的压强。（ P0= ×105Pa， 水=103kg/m3）压缩空气

作业三：一直立圆柱形容器，高0. 2m，直径0. 1m，顶部开启，底部有一面积为10-4m2的小孔，水以每秒1
作业三：一直立圆柱形容器，高0.2m，直径0.1m，顶部开启，底部有一面积为10-4m2的小孔，水以每秒1.4×10-4m3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。

作业四：如图所示，在一高度为H的量筒侧壁上开一系列高度h不同的小孔。试证明：当h=H/2时水的射程最大。

作业五：如图，用汾丘里流量计测水在管中作定常流动时的流量。已知1、2两点处管道截面积为S1、S2，压强计中水银液面高度差为Δh，水的密度为ρ水水银的密度为ρ银。求：所测水的流量Q的表达式。
• • 2 Δh

第二节血液的层流

一、概念 1、黏性流体 2、层流 3、雷诺数 4、速度梯度 5、牛顿黏性定律牛顿流体 6、黏度

二、运动规律 1、连续性方程 2、伯努利方程 3、泊肃叶定律 4、斯托克斯黏性公式三、应用 1、心脏作功 2、血流速度分布 3、血压分布

一、概念： 1、黏性流体 ——流动时存在内摩擦力的流体 2、层流

Δ Δz Δz Δ

层流的特点：（1）层层之间无质量交换（2）各层的流速大小不同（3）流速的方向与层面相切（4）层层之间存在摩擦力

重要公式 3、雷诺数 -流体的平均流速 η-流体的黏度一个区别层流与湍流的数字其中：r-流体的密度 r-流管的半径
-流体的平均流速 η-流体的黏度 Re-雷诺数（无单位）医学上雷诺数的临界范围： 0 < Re < 2000 层流 2000 < Re < 2600 过渡流 Re > 2600 湍流

例：已知血液黏度η=4×10-3 pa·s ；血液密度ρ=1. 0×103kg/m3 ；主动脉管半径 r=0
例：已知血液黏度η=4×10-3 pa·s ；血液密度ρ=1.0×103kg/m3 ；主动脉管半径 r=0.5×10-2 m 求：保持层流　　 Vmax=? 解：

４、速度梯度　　　　定义： Δz Δ 物理意义：在垂直于流动方向上，每增加单位距离流体速度的增加量。即为切变率的大小。单位：s-1

５、牛顿黏性定律牛顿黏性流体牛顿黏性定律：其中： — 速度梯度（s-1） — 两层之间的接触面积 — 流体内部相邻两流体层之间的黏力
５、牛顿黏性定律　牛顿黏性流体牛顿黏性定律：其中： — 流体内部相邻两流体层之间的黏力 — 黏度（Pa·s） — 速度梯度（s-1） — 两层之间的接触面积

牛顿流体：满足牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。

重要公式 6、黏度  （黏滞系数、内摩擦系数）（１）定义：（２）物理意义：液体的黏度 越大，说明该液体流动时内摩擦力越大。
6、黏度  （黏滞系数、内摩擦系数）重要公式（１）定义：（２）物理意义：液体的黏度 越大，说明该液体流动时内摩擦力越大。（３）单位：Pa·s 1泊＝０.１Pa·s （4）的特点：不同流体具有不同的特点；同种流体在不同温度下黏度不同。

二、血液层流时的运动规律空气 1.8×１０-５水 1.0×１０-３血液 4.0×１０-３甘油 8.3×１０-１１、连续性方程
几种流体的黏度（t=20℃）单位：Pa·s 空气　　　　1.8×１０-５水　　　　　1.0×１０-３血液　　　　4.0×１０-３甘油　　　 ×１０-１二、血液层流时的运动规律１、连续性方程　

２、伯努利方程  — 内摩擦力引起的能量损耗例：图中黏滞流体 h1=h2 1=2 ∴P1=P2+
V1 V2 例：图中黏滞流体 h1=h2 1=2 ∴P1=P2+ 只有P1>P2才能作匀速流动

重要公式３、泊肃叶定律外周阻力其中： — 流量（m3/s） — 圆管半径（m） — 圆管长度（m） — 圆管两端压强差（Pa）
３、泊肃叶定律外周阻力重要公式其中： — 流量（m3/s） — 圆管半径（m） — 圆管长度（m） — 圆管两端压强差（Pa） — 流体的黏度（Pa·s）

黏性流体在等粗水平圆管中作片流时，流速V在截面S上各点而异，速度：
L P1 P2 △p =P2 － P1 R r 黏性流体在等粗水平圆管中作片流时，流速V在截面S上各点而异，速度：管轴（r =0）处流速最大.

实际流体的流量应为多少呢？ 1842年法国医学家泊肃叶得出结果：实际流体在等粗水平圆管中作片流时，流量为：此式称为泊肃叶定律反映实际流体的流量与管半径R、管两端压强差△P成正比，与管的长度成反比。

上式可以写为：其中称为流阻医学上把R称为外周阻力 △P为血压 (血压是血液的绝对压强P与大气压P0之差，是高出大气压的值，称为计示压强）。

例：已知血液在半径为r，长度为 L的圆管中流动，若两端的压强差 P1-P2已知。求（１）血液流动的平均速度（２）能量损耗是多少
解（1）黏性流体在圆管中的平均流速 ∴

４、斯托克斯黏性公式：（2）能量损耗小球在广延黏性流体中下降，除了受重力和浮力外，还有受到阻力（如下图） F=6rv 浮力阻力

其中：F — 斯托克斯阻力（N） — 流体黏度（Pa·s） r — 小球的半径（m）  — 小球下降速度（m/s）

例：已知小球的密度球，黏性流体密度 （且球>  ），小球半径r，小球下降的收尾速度max求：黏性流体黏度=?
浮力阻力重力解：开始时=0，重力 >浮力加速下降产生阻力F=6rv 变大，阻力变大当浮力+阻力=重力时 =max 此题为“用斯托克斯定律测流体黏度”实验原理。

三、应用 1、心脏作功体循环肺循环右心房左心房右心室左心室

计算心脏作功的两种方法：（1）心脏作功等于左、右心室作功之和。根据伯努力方程：左心室作功（体循环：左心室　　右心房）（注意：静压强　　　　　　　　　　　　　）

同理，右心室作功（肺循环：右心室　　左心房）
∴整个心脏作功一般正常人

（2）心脏作功等于血液流经心脏前后的能量变化：

2、血流速度分布血液在大动脉中流速最快，在毛细血管内流速最慢。为什么？血液为不可压缩液体在管中作稳定流动。

3、血压分布血压单位: k Pa，（1 kPa=7.5mmHg）正常人收缩压在100～120mmHg即13.3～ 16.0 kPa ；
收缩压与舒张压之差称为脉压。

小结： 1、概念：层流速度梯度牛顿流体黏度雷诺数 2、公式：黏度连续性原理

伯努利方程泊肃叶定律斯托克斯黏性公式 F=6rv

作业一：一条半径为3 mm的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2 mm，血流平均速度为50cm·s-1，试求（1）未变窄处的血流平均速度；（2）会不会发生湍流；（3）狭窄处的血流动压强
答案:(1)0.22m·s-1 (3)133Pa

作业二：20℃的水在半径为1×10-2m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0
作业二：20℃的水在半径为1×10-2m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0.1m·s-1，则由于黏滞性，水沿管子流动10m后，压强降落了多少？答案: 40 Pa

作业三：设某人的心输出量为0. 83×10-4 m3·s-1,体循环的总压强差为12
作业三：设某人的心输出量为0.83×10-4 m3·s-1,体循环的总压强差为12.0KPa，试求此人体循环的总流阻（即总外周阻力）是多少N·S·m-5 答案: 1.44×108N·S·m-5

作业四：设橄榄油的黏度为0.18Pa·s，流过管长为0.5m、半径为1cm的管子时两端压强差为2×104Pa，求其体积流量。
答案: 8.7×10-4 m3·s-1

作业五：假设排尿时，尿从计示压强为40mmHg的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm，体积流量为21m3s-1，尿的黏度为6
作业五：假设排尿时，尿从计示压强为40mmHg的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm，体积流量为21m3s-1，尿的黏度为6.9×10-4Pa·s，求尿道的有效直径。答案: 1.4mm

作业六：设血液的黏度为水的5倍，如以72cm·s-1的平均流速通过主动脉，试用临界雷诺数为1000来计算其产生湍流时的半径。

作业七：一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2. 0×10-6m的小球，它的密度是1
作业七：一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2.0×10-6m的小球，它的密度是1.09×103kg·m-3。试计算它在重力作用下在37℃的血液中沉淀1cm所需的时间。假设血浆的黏度为1.2×10-3Pa·s，密度为1.04×103kg·m-3。如果利用一台加速度（ω2 r）为105g的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？答案:(1)2.8×104s （2）0.28s

本章小结：一、概念：理想流体、定常流动、流线、流管、流量、静压强层流速度梯度牛顿流体黏度二、公式： S =常数

雷诺数黏度连续性原理伯努利方程

泊肃叶定律斯托克斯黏性公式 F=6rv