数学建模理论与实践 —— 基于几何学的数学建模.

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1 数学建模理论与实践 —— 基于几何学的数学建模

2 基于几何学的数学建模 一、几何优化模型 二、普通几何概率模型 三、（补充）蒙特卡罗模型

3 我们都知道，平面几何里有一个基本公理：平面上两点之间的连线，线段最短。这里的最短，就是一种几何优化思想。
一、几何优化模型 问题的提出： 　　我们都知道，平面几何里有一个基本公理：平面上两点之间的连线，线段最短。这里的最短，就是一种几何优化思想。

4 一、几何优化模型 问题的提出： 现在的问题是：
例1：在一条笔直的流水线上，有5个机器人。现要在流水线上设置一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和为最短，问供应站应设在哪里？一般地，如果有n 个机器人，供应站又应设在哪里？ 例2：在一条笔直的流水线上，有 7 个点分别有机器人3、2、2、1、2、4、3个，现要在流水线上设置一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和为最短，供应站应设在哪里？若最后一个点上多 1 个机器人，将如何？若最后一个点上多 3 个机器人，又如何？

5 一、几何优化模型 最佳的供应站设点位在哪？ 模 型 假 设 1. 流水线在一条笔直的直线上 2. 机器人、供应站都是一个质点，没有长度
1. 流水线在一条笔直的直线上 2. 机器人、供应站都是一个质点，没有长度 建 模 目 的 最佳的供应站设点位在哪？

6 一、几何优化模型 例1的求解：

7 一、几何优化模型 例1的求解：

8 一、几何优化模型 例1的求解：

9 一、几何优化模型 例1的求解：

10 一、几何优化模型 例2的求解： 　　在若干点上机器人有重复，考虑将此种情形化成例1的情况，问题迎刃而解！具体此略。

11 二、普通几何概率模型 问题的提出： 　　概率，又称为几率、或然率，是反映某种事件发生的可能性大小的一种数量指标．它介于0和1之间。这里的事件是指随机现象中出现的某个可能结果。概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，它有着悠久的历史。其中以古典概型特别成熟。

12 二、普通几何概率模型 问题的提出： 　　古典概型不仅要求基本事件的出现等可能性，而且要求样本空间为有限集。但实际问题却经常碰到无限样本空间的情形。对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概型来解决。所谓几何概型主要用长度、面积、体积等有关几何的直观概念来解决问题。古典概型与几何概型的相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；古典概型与几何概型的不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。

13 二、普通几何概率模型 问题的提出： 　　对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立概率模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。

14 二、普通几何概率模型 例子及其解答 　　假设小王家订了一份报纸，送报人可能在下午1:30到2:30之间把报纸送到小王家，而小王离家去工作的时间在下午2:00到3:00之间，问小王在离开家前能得到报纸（称为事件）的概率是多少?

15 二、普通几何概率模型 例子及其解答

16 二、普通几何概率模型 例子及其解答

17 二、普通几何概率模型 例子及其解答

18 二、普通几何概率模型 例子及其解答

19 三、（补充）蒙特卡罗模型 问题的提出： 　　蒙特卡罗方法（Monte Carlo），也称统计模拟方法，是在二次世界大战期间随着科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为基础的一类非常重要的数值计算方法。蒙特卡罗方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。 　　蒙特卡罗方法的名字来源于世界著名的赌城 —— 摩纳哥的蒙特卡罗。其历史起源可追溯到1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法 —— 随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

20 三、（补充）蒙特卡罗模型 蒲丰投针 ―― Monte Carlo 算法
问题的提出： 　　蒲丰投针问题的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π值，而是在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。 具体内容参见文件： 蒲丰投针 ―― Monte Carlo 算法

21 书面作业（P51） 1. 在一条笔直的流水线上，有5个机器人，它们顺序间隔为1千米。试在流水线上设置一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和为最短，并求出这个最短距离总和。若有奇数个机器人，又将如何？ 2. 丈夫和他的妻子上街购物，他们决定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会。他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去。试问这对夫妇能相遇的概率为多少（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内）？ 3. 设计一种蒙特卡罗模型用于估计无理数 ln2 的近似值。(提示：ln2 等于1/(1+x)在[0,1] 上的定积分)