第4章 时变电磁场 4.1 全电流定律 4.2 法拉第定律 4.3 麦克斯维方程组 4.4 时谐电磁场 4.5 时变场的能量

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1 第4章 时变电磁场 4.1 全电流定律 4.2 法拉第定律 4.3 麦克斯维方程组 4.4 时谐电磁场 4.5 时变场的能量
4.1 全电流定律 4.2 法拉第定律 4.3 麦克斯维方程组 4.4 时谐电磁场 4.5 时变场的能量 4.6 时变场的波动性 4.7 时变场的位函数 4.8 电磁波的辐射

2 4.1 全电流定律 作闭合曲线 l 与导线交链，根据安培环路定律 经过S1面 交变电路用安 培环路定律 经过S2面

3 4.1 全电流定律 全电流定律 微分形式 积分形式 其中， -位移电流密度 (Displacement CurrentDensity)
4.1 全电流定律 全电流定律 微分形式 积分形式 其中， 位移电流密度 (Displacement CurrentDensity) 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。 麦克斯韦由此预言电磁波的。

4 4.1 全电流定律 例 已知平板电容器的面积为S, 相距为d, 介质的介电常数 ，极板间电压为u(t)。试求位移电流Id、传导电流iC与iD 的关系是什么? 解 忽略极板的边缘效应和感应电场 电场 位移电流密度 位移电流

5 4.1 全电流定律 例 在无源的自由空间中，已知磁场强度 求位移电流密度Jd。 解 无源的自由空间中J=0, 可得

6 4.2 法拉第定律 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场（Electric Field of Induction )。 感应电动势与感应电场的关系为 在静止媒质中 感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 是产生 的涡旋源。

7 4.2 法拉第定律 若空间同时存在库仑电场, 即 则有 变化的磁场产生电场
4.2 法拉第定律 若空间同时存在库仑电场, 即 则有 变化的磁场产 生感应电场 变化的磁场产生电场 引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化，也可以是闭合回路l自身的运动(大小、形状、 位置的变化)。即

8 4.2 法拉第定律 (1) 运动线圈，恒定磁场

9 4.2 法拉第定律 (2) 固定线圈，时变磁场 Ex. t d y e - =

10 4.2 法拉第定律 (3) 运动线圈，时变磁场 v i c a b

11 4.3 麦克斯维方程组 (1) 麦克斯维方程组 综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为 全电流定律 电磁感应定律
4.3 麦克斯维方程组 (1) 麦克斯维方程组 综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律

12 4.3 麦克斯维方程组 (2) 物理意义 • 全电流定律-麦克斯韦第一方程, 表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；
4.3 麦克斯维方程组 (2) 物理意义 • 全电流定律-麦克斯韦第一方程, 表明传导电流和变化的电场都能产生磁场； • 电磁感应定律-麦克斯韦第二方程, 表明电荷和变化的磁场都能产生电场； • 磁通连续性原理-表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线； • 高斯定律-表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。 • 麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。 • 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。

13 4.3 麦克斯维方程组 例 已知在无源的自由空间中， 其中E0、β为常数，求H。
4.3 麦克斯维方程组 例 已知在无源的自由空间中， 其中E0、β为常数，求H。 解 所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0, ρ=0。

14 4.3 麦克斯维方程组 由上式可以写出

15 4.3 麦克斯维方程组 (3) 分界面上的边界条件 时变电磁场中媒质分界面上的边界条件的推导方式与静态场类同，即 磁场 电场 折射定律

16 4.3 麦克斯维方程组 例 试推导时变场中导理想导体与理想介质分界面上的边界条件。 解 理想导体中 为有限值，当 媒质分界面 为此
4.3 麦克斯维方程组 媒质分界面 例 试推导时变场中导理想导体与理想介质分界面上的边界条件。 解 理想导体中 为有限值，当 为此 • 在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ； • 分界面介质侧的边界条件为 电磁波的全反射

17 4.4 时谐电磁场 (1) 时谐场的复数形式 时谐电磁场即正弦电磁场的复数形式与正弦稳态电路中的相量法类同，后者有三要素：振幅(标量，常数)、频率和相位。 前者也有三要素：振幅（矢量、空间坐标的函数）, 频率和相位。

18 4.4 时谐电磁场 (2) 时谐场基本方程组的复数形式

19 4.4 时谐电磁场 例 平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频交流电压u(t)时，试分析电容器中的电场和磁场。
4.4 时谐电磁场 例 平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频交流电压u(t)时，试分析电容器中的电场和磁场。 解 忽略边缘效应及感应电场, 则电场满足无旋性质，可表示为 两圆电极的平板电容器 根据全电流定律，由位移电流产生的磁场为

20 4.4 时谐电磁场 例 N匝长直螺线管，通有正弦交流电流 。试分析螺线管储存的电场和磁场。
4.4 时谐电磁场 例 N匝长直螺线管，通有正弦交流电流 。试分析螺线管储存的电场和磁场。 解 忽略边缘效应及位移电流，则时变磁场可用恒定磁场的方法计算。 长直螺线管 从安培环路定律，得 从电磁感应定律，得

21 4.4 时谐电磁场 例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m, ε≈ε0。 解 铜中的传导电流密度和位移电流密度大小为 则比值为

22 4.5 时变场的能量 • 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律-坡印亭定理； • 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。
4.5 时变场的能量 • 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律-坡印亭定理； • 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 (1) 能量密度 在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为 体积V内存储的电磁场能量

23 4.5 时变场的能量 (2) 坡印亭定理 设体积微元储存的能量随时间的变化率为 利用矢量恒等式 则 取体积分，得

24 4.5 时变场的能量 (2) 坡印亭矢量和坡印亭定理 整理得 坡印亭定理 物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。

25 4.5 时变场的能量 在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为 恒定场中的坡印亭定理 (3) 坡印亭矢量
4.5 时变场的能量 在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为 恒定场中的坡印亭定理 (3) 坡印亭矢量 定义坡印亭矢量（Poynting Vector） W/m2 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，即功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。

26 例 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。
解 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。 电场强度 磁场强度

27 坡印亭矢量 单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。 • 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。

28 例 导线半径为a，长为 ，电导率为 ，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。
解 导体内 电场强度 磁场强度 以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为

29 表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。
电源提供的能量一部分用于导线损耗 另一部分传递给负载

30 4.5 时变场的能量 (4) 坡印亭定理的复数形式 在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为 平均功率流密度

31 4.5 时变场的能量 (4) 坡印亭定理的复数形式 同理 定义 坡印亭矢量的复数形式 其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。

32 4.5 时变场的能量 (4) 坡印亭定理的复数形式 取散度，展开为 取体积分，利用高斯散度定理，并将 代入体积分项，有

33 4.5 时变场的能量 (4) 坡印亭定理的复数形式 若体积V内无电源，闭合面S内吸收的功率为 有功功率 无功功率
4.5 时变场的能量 (4) 坡印亭定理的复数形式 若体积V内无电源，闭合面S内吸收的功率为 有功功率 无功功率 此项可用于求解电磁场问题的等效电路参数

34 4.6 时变场的波动性 波动方程 波动性

35 4.6 时变场的波动性 4.6.1 波动方程 讨论前提： · 远离激励源； · 媒质 均匀,线性,各向同性。
4.6 时变场的波动性 波动方程 讨论前提： · 远离激励源； · 媒质 均匀,线性,各向同性。 从电磁场基本方程组推导电磁波动方程 1）

36 4.6 时变场的波动性 波动方程 1） 2）

37 4.6 时变场的波动性 波动方程 3）电磁场波动方程-达郎贝尔方程 理想介质中

38 4.6 时变场的波动性 在直角坐标系中 波动方程

39 4.6 时变场的波动性 波动方程 3）电磁场波动方程-达郎贝尔方程 设 对于时谐场 理想介质中

40 4.6 时变场的波动性 波动性 1) 达郎贝尔方程的解 对于达郎贝尔方程 其解为

41 4.6 时变场的波动性 波动性 2) 传播速度 波速 真空中

42 4.6 时变场的波动性 波动性 3) 时谐场 例 一维时谐场，设 ，则 解得

43 4.7 时变场的位函数 标量位和矢量位 位函数的方程 位函数的解

44 4.7 时变场的位函数 4.7.1 标量位和矢量位 仍从电磁场基本方程组出发, 由 由
4.7 时变场的位函数 标量位和矢量位 仍从电磁场基本方程组出发, 由 由 -称为动态位（potential of Kinetic State）。

45 4.7 时变场的位函数 位函数的方程 由 由

46 4.7 时变场的位函数 位函数的方程 经整理后，得 定义A的散度 洛仑兹条件（规范）

47 4.7 时变场的位函数 位函数的方程 洛仑兹条件（规范） 达朗贝尔方程 为非齐次波动方程

48 4.7 时变场的位函数 4.7.2 位函数的方程 说明 1） 洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义
4.7 时变场的位函数 位函数的方程 说明 1） 洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义 • 确定了 的值，与 共同唯一确定A； • 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。 2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程

49 4.7 时变场的位函数 4.7.3 位函数的解 以位于坐标原点时变点电荷为例 （除q点外） 球坐标系
4.7 时变场的位函数 位函数的解 以位于坐标原点时变点电荷为例 （除q点外） 球坐标系 式中 具有速度的量纲，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。

50 4.7 时变场的位函数 4.7.3 位函数的解 的物理意义 当时间从t→t+Δt， 信号从r→r+Δr 有
4.7 时变场的位函数 位函数的解 的物理意义 当时间从t→t+Δt， 信号从r→r+Δr 有 f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。

51 4.7 时变场的位函数 4.7.3 位函数的解 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程为 ，在无限大均匀媒质中,其特解为
4.7 时变场的位函数 位函数的解 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程为 ，在无限大均匀媒质中,其特解为 由此，时变点电荷的动态标量位为 连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得 无反射

52 4.7 时变场的位函数 4.7.3 位函数的解 无反射 若激励源是时变电流源时，可得到A的表达式 无反射
4.7 时变场的位函数 位函数的解 无反射 若激励源是时变电流源时，可得到A的表达式 无反射 当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位。

53 4.7 时变场的位函数 位函数的解 波的入射、反射与透射

54 4.7 时变场的位函数 4.7.3 位函数的解 • 达朗贝尔方程解的形式表明t时刻的响应取决于
4.7 时变场的位函数 位函数的解 • 达朗贝尔方程解的形式表明t时刻的响应取决于 时刻激励源的情况。故又称A、φ为滞后位（Retarded Potential）。 • 电磁波是以有限速度传播的，称为波速

55 4.7 时变场的位函数 4.7.3 位函数的解 • 它具有速度的量纲；且通解中的 经过 后得以保持不变，必有自变量不变，即
4.7 时变场的位函数 位函数的解 • 它具有速度的量纲；且通解中的 经过 后得以保持不变，必有自变量不变，即 表明： f1是一个以速度v沿 r方向前进的波。 • 电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。

56 4.8 电磁波的辐射 • 电磁波从波源出发，以有限速度在媒质中向四面八方传播，一部分电磁波能量脱离波源而单独在空间波动，不再返回波源，这种现象称为辐射。 • 辐射是有方向性的，在给定的方向产生指定的场。 • 辐射过程是能量的传播过程，要考虑天线发射和接收信号能力。 • 研究辐射的方向性和能量传播的前提是掌握辐射电磁场的特性。 • 辐射的波源是天线、天线阵。发射天线和接收天线是互易的。天线的几何形状、尺寸是多样的，单元偶极子天线（电偶极子天线和磁偶极子天线）是天线的基本单元，也是最简单的天线。

57 4.8 电磁波的辐射 4.8.1 电流元 从LC电路的振荡频率 式可知，要提高振荡频率、开放电路，就必须降低电路中的电容值和电感值。
4.8 电磁波的辐射 电流元 从LC电路的振荡频率                  式可知，要提高振荡频率、开放电路，就必须降低电路中的电容值和电感值。 以平行板电容器和长直载流螺线管为例可知 即增加电容器极板间距d，缩小极板面积S，减少线圈数n，就可达到上述目的，具体方式如图所示。

58 4.8 电磁波的辐射 　 开放的LC电路就是天线！当有电荷（或电流）在天线中振荡时，就激发出变化的电磁场在空中传播。 电流元辐射的电磁场 当电流元或电偶极子p=qd 以简谐方式振荡时向外辐射电磁波。

59 4.8 电磁波的辐射 4.8.3 电流元辐射的电磁场 设 天线几何尺寸远小于电磁波波长，天线上不计推迟效应； 研究场点远离天线；
4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 设 天线几何尺寸远小于电磁波波长，天线上不计推迟效应； 研究场点远离天线； 正弦电磁波。 远离天线P点的动态位为

60 4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 在球坐标系中， 的三个变量

61 4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 根据 （1）近区 式中忽略 的低次项，得

62 4.8 电磁波的辐射 4.8.3 电流元辐射的电磁场 特点：• 无推迟效应；
4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 特点：• 无推迟效应； • 电场与静电场中电偶极子的场相同，磁场与恒定磁场中元电流的场相同，因此有结论：任一时刻，电、磁场的分布规律分别与静态场中电、磁场相同，称之为似稳场。 • 近区内电场与磁场相位差为90°，只有电磁能量交换，没有波的传播（辐射）。

63 4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 （2）远区亦称辐射区 忽略 的高次项, 远区的电磁场

64 4.8 电磁波的辐射 4.8.3 电流元辐射的电磁场 特点 • 有推迟效应； • 相位相同的点连成的面称为等相位面，辐射区的电磁波为球面波。
4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 特点 • 有推迟效应； • 相位相同的点连成的面称为等相位面，辐射区的电磁波为球面波。 • E、H和S时间上同相，空间上正交，有波阻抗 • 辐射是有方向性的，即

65 4.8 电磁波的辐射 4.8.3 电流元辐射的电磁场 （3）辐射的方向性
4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 （3）辐射的方向性 辐射的方向性用两个相互垂直的主平面上的方向图表示，E平面（电场所在平面）和H平面（磁场所在平面）。E平面与H平面的方向性函数分别为

66 4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 （3）辐射的方向性 （a）E平面方向图 （b）H平面方向图

67 4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 （4）天线 直线对称振子是一种细线天线,是指线的横截面尺寸远比波长小，其长度 l 与波长l在同一数量级( )上,流经它的上面的电流 i不等幅同相。 ① 细线天线 开路传输线张开成对称振子

68 4.8 电磁波的辐射 4.8.3 电流元辐射的电磁场 （4）天线 ② 天线阵
4.8 电磁波的辐射 电流元辐射的电磁场 （4）天线 ② 天线阵 为了削弱天线的方向性，增加辐射能量，用一组或阵列天线来代替单一天线， 以构成天线阵。

69 空间太阳能发电站和电力传输 1. 在静止轨道上放置太阳能电池帆板,产生500万KW能量;
2. 通过“变电站”——微波发生器，将直流功率变为微波功率； 3. 通过天线阵向地面定向辐射； 4. 地面接收站将微波转换为电能； 5. 提供用户。