1. 动量定理 §2-5 第二定律积分形式一：动量定理

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1 1. 动量定理 §2-5 第二定律积分形式一：动量定理
§2-5 第二定律积分形式一：动量定理 微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。 1. 动量定理 重写牛顿第二定律的微分形式 考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分 航天飞机

2 左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
动量定理 左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。 于是得到积分形式 这就是动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 动量定理的几点说明： (1)冲量的方向： 冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。

3 打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。
动量定理 (2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程 (3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。 打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。

4 (4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
动量定理 (4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。 h 例题2-6 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：

5 解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。
动量定理 解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。 初状态动量为 末状态动量为0 得到 解得 代入M、h、的值，求得： (1)

6 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。
动量定理 (2) 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。 重力作用时间为 支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即 得到解法一相同的结果

7 解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：
动量定理 例题2-7 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的M物体A和B， M大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。 解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图： M m B A h B A 绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为： 取竖直向上为正方向。

8 绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： 解得： 当物体B上升速度为零时，达到最大高度

9 2. 变质量物体的运动方程 物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示：
动量定理 2. 变质量物体的运动方程 物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为： 初始时刻 m dm m+dm 末时刻

10 值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，
变质量问题 对系统利用动量定理 变质量物体运动微分方程 略去二阶小量，两端除dt 值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 为尾气推力。

11 变质量问题 用火箭发射卫星

12 变质量问题的处理方法 (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解
例1：匀加速提柔软链条 例2：装煤车的牵引力

13 变质量问题的处理方法 (1) 确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解
例1：匀加速提柔软链条 例2：装煤车的牵引力

14 以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。
变质量问题 例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。 解： 以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。 t时刻，系统总动量 X O

15 变质量问题 系统动量对时间的变化率为： t时刻，系统受合外力 O X 根据动量定理，得到

16 变质量问题 系统动量对时间的变化率为： t时刻，系统受合外力 O X 根据动量定理，得到

17 车和煤为系统,向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。
变质量问题 例2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度v2保持不变,求机车的牵引力。 X Y 解： 车和煤为系统,向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。 tt+dt时刻，dm = dt

18 变质量问题 竖直 X Y 水平

19 变质量问题 竖直 X Y 水平