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在工科数学物理方程课程教学中融入数学建模思想的初探与实践
闫桂峰 (北京理工大学数学学院,北京,100081)
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摘 要 本文在教学实践基础上, 探讨在工科“数学物理方程” 课程教学过程中中融入数学建模思想的重要性和方法。
摘 要 本文在教学实践基础上, 探讨在工科“数学物理方程” 课程教学过程中中融入数学建模思想的重要性和方法。 通过适当引入数学物理方程模型案例,注重数学理论和 实际应用相结合, 加强计算机软件的应用和实际算法的 实现,强调可视化效果的展示等, 进一步发挥数学物理 方程对提高工科大学生数学思维能力和数学应用能力的 作用。 关键词:数学物理方程;数学建模;可视化教学。
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数学物理方程的发展历史 产生于十八世纪 欧拉:弦振动的二阶方程(1746年 )。 达朗贝尔:《论动力学》,《张紧的弦振动时形 成的曲线的研究》 丹尼尔·贝努利:解弹性系振动问题的一般方法。 拉格朗日:讨论了一阶偏微分方程。 傅立叶:《热的解析理论》,三维热传导方程。
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应用领域 力学、物理、生物、机械工程、通讯工程、经济学 适用专业 自动化,电子,信息,通信,光电工程等
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课程特点 鲜明的物理背景,与数学、物理、力学三大类基础 课程都有着密切的联系,课程涉及内容繁杂,知识面 宽泛,方法灵活多样,结果表示复杂难懂。 先修课程 微积分、线性代数、大学物理、复变函数、积分变换。
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重要地位 数学物理方程是基础学科和工程技术界的一座 桥梁,是理工科学生深入学习专业知识和奠定科学 研究基础的必不可少的工具 . 教学名师李元杰教授说过:“《数理方程与特殊函数》 的教学质量是关系到理工科本科生能否成为创新人才的 重要条件之一,也是各高校提高本科生教学质量的关键 指标。”
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基本内容 第一章 数理方程的导出和定解问题 第二章 波行法 第三章 分离变量法 第四章 积分变换法 第五章 格林函数法 第六章 两种特殊函数
第一章 数理方程的导出和定解问题 第二章 波行法 第三章 分离变量法 第四章 积分变换法 第五章 格林函数法 第六章 两种特殊函数 课堂学时 32学时 * 数值试验 4学时
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一、 在数学物理课程教学中融入数学建模思想的意义
1.激发学生的学习热情 理解来龙去脉,把握基本思想,掌握应用方法, 亲身体验发现问题、提出问题、解决问题的过程。 2、培养学生的创新能力 从实际问题出发,强调问题背景,提出基本假设,利 用实验资料和物理定律建立数学模型,并进行求解。 分析问题、查找资料、建立模型、求解分析。 3、提高学生的综合素质 如分析问题、解决问题的能力、独立工作能力、 动手实践能力、人际交往能力、组织管理能力。
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二、 在数学物理课程教学中融入数学建模思想的实践
1.转变教学思想,树立建模教育理念。 教学方法: “注入式知识教育”——“研究式素质教育” 教学形式: “单一的课堂教学”——“多形式的互动教育” 强调主题: 课内学习与课外学习结合、理论与实践结合、 科研与教学结合。
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2.加强教师队伍建设,提高教师教学科研水平
数学建模思想来源于教学经验和科学研究的实践
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3.调整教学内容,强化数学建模教学案例作用
(1)按照由浅入深、由具体到抽象、由特殊到一般的 原则组织内容,使学生能循序渐进地逐章掌握该课程内 容,对重点知识注重理论导出、方法的应用,强调其 应用条件 (2)遴选科研和工程应用中最新的、有代表性的、与 课程教学紧密联系的案例,通过数学建模的方法分析归 纳,建立理论与实际、与最新科技前沿的关联。 量子力学
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4.改革教学方法,营造建模环境。 根据课程的特点,提出适合学生研究的专题,引导 学生开展数学建模,增加课内讨论和课外建模仿真 探究,引导学生关注数学知识的应用,增强学生发 现问题、分析问题、解决问题的能力,培养学生的 创新思维能力。
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设有一条拉紧的弦,长为l,平衡位置与x轴的正半轴重合,且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。
方程的导出过程中的数学建模 例 弦的微小横振动方程的导出 设有一条拉紧的弦,长为l,平衡位置与x轴的正半轴重合,且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 假设与结论: (1)横振动 坐标系oxu,位移u(x,t) x1 x2 T(x1) T(x2) u x (2)微小振动
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建立方程: (3)弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数; 取微元 ,研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。
第一章 典型方程和定解条件的推导 (3)弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数; 建立方程: 取微元 ,研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。 u x T(x) M x+dx
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弦振动方程(3)中只含有两个自变量 和 ,其中 表示时间, 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象,因而又称为一维波动方程。 (1)
第一章 典型方程和定解条件的推导 u x T(x) M M’ x+dx 令 ,取极限得 牛顿运动定律: F = m·a 由于 作用在弧段 上的水平方向的力为 于是等式(1)变成 略去重力,可得方程 (2) 倾角很小,即 近似得 由微积分知识可知,在时刻t 有 (3) 垂直方向的力为 其中 。 等式(2)可以写成 弦振动方程(3)中只含有两个自变量 和 ,其中 表示时间, 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象,因而又称为一维波动方程。 (1)
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注1:如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力,且外力密度为F(x,t),外力可以是压力、重力、阻力,则
弦的强迫振动方程为 非其次方程 齐次方程 。 16 16
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解释方程解的意义过程中的数模思想 一维波动问题分离变量解的物理意义 特点
⑴弦上各点的频率 和初位相 都相同,振动波在任一时刻的外形是一正弦曲线. 最大振幅 初位相 频率 ⑵弦上各点振幅 因点而异
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u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。
3.1 有界弦的自由振动 u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n=1的驻波称为基波, n>1的驻波叫做n次谐波. 弦乐器演奏原理: u(x,t ) 表示乐器弦上的位移 弦的基音由u1(x,t ) (频率最低的单音 )确定 u1(x,t ) 决定声音的音调. un(x,t ) (泛音) 构成声音的音色.
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用拧紧弦线的方法来调整音调,其实这是通过改变弦中张力T, 来促使基音频率变化,张力越大,基音频率越高,声调也就越高。
弦线有粗有细,线密度反映着它们的不同,粗线密度大,细线密度小,因此两根不同粗细的弦在相同的条件下发出的声音是不一样的,细线会发出更高的音调。
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5. 积极实现课程的可视化 可视化方法使得在单调的公式推导与定理证明的教 学模式中加入了由色彩亮丽的图形、图象及千变万 化的影像展示的元素,让传统的教学内容充满了新 意,使学生兴趣盎然,并且更能体现数学建模的思 想与方法。 典型案例:达朗贝尔公式的物理意义
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—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
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随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.
考虑 的物理意义 随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动. u2 x u2 x t=0 t=1/2 u2 x u2 x t=1 t=2 图 1
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物理意义: 随着时间 t 的推移, 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方向行进的波, 称为右行波.
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例1 初始位移引起的振动 由达朗贝尔公式
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例2 初始速度引起的振动 其中
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例2.3.1 求解端点固定的半无界弦振动问题并图示之。 取a=1, 初位移和初速度分别为
§ 半无限弦的振动 例2.3.1 求解端点固定的半无界弦振动问题并图示之。 取a=1, 初位移和初速度分别为 解为
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(b) (a) (c) (d) 图 2.7 ( a ) ~ ( d )表示波开始传播的过程
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(e) (f) (h) (g) 图 2.7 ( e ) ~ ( j )表示波传播到固定端点时发生反射
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(i) (j) (k) (l) 图2.7 ( k ) ~ ( l )表示反射波的传播
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学生论文 共振问题的观察与研究 学 院:宇航学院 姓 名:沈敦亮 学 号:
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问题 分离变量解 其中 取
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用Matlab画出由分离变量法得到的级数解的前20
项之和在不同时刻的图像, 给外力频率 赋以不同 的值,观察当 逼近弦振动的固有频率(某个 ) 时, 波的振幅变化规律情况。
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同一时刻对不同外力频率图形的比较 n=20, t=5s时刻, =2,3,3.1415是的图形比较
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教学改革成果
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