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寻找最速降线
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数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点.
── C.F.Gauss 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. ── R.C.Buck
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内容提要 回顾微积分有关知识 连续,多元函数极值,积分等 复习微分方程的求解的解析与数值方法
介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 最速降线求解的仿真方法
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1696年John Bernoulli向他的兄长和其他
背景故事 1696年John Bernoulli向他的兄长和其他 数学家挑战性地提出了最速降线(捷线)问题: 一质量为m的质点,在重力作用下从定点A 沿曲线下滑到定点B, A B 试确定一条曲线,使得质 点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低,不计摩擦力 和其他阻力等因素. 此问题导致数学新分支的产生.
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思考 历史 这是一个求最值的问题 与求函数的极值一样吗? 与求线性规划问题中的极值一样吗? 它的数学形式怎样?
与求函数的极值一样吗? 与求线性规划问题中的极值一样吗? 它的数学形式怎样? 历史 1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告
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贝努利 约翰 Bernoulli,Johann
欧洲著名科学家族 涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、 概率论以及变分法 更贡献于物理、化学和天文学 谁发现 L’Hospital 法则 欧拉的指导者和老师 瑞士的骄傲
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问题数学形式 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 若 {质点沿 y=y(x) 下滑的时间} 我们要求的是怎样的函数y(x)
A B x y c 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H {质点沿 y=y(x) 若 下滑的时间} 我们要求的是怎样的函数y(x) 使得T(y) 取得最小值 minT(y)
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近似方法 如图建立坐标系,设A为原 点, B为(c,H), 将带状区域 0< y <H用平行于 x 轴的
yk-1 xk-1 yk xk 如图建立坐标系,设A为原 点, B为(c,H), 将带状区域 0< y <H用平行于 x 轴的 直线 y=yk=kH/n 把这区域 分成 n个带状小区域. 在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为 而曲线段近似认为是直线段,其长度
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于是质点从A到B所需时间近似为 (n -1元函数!) ( 是已知的!) 求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解 (为简单计,可取g =1000cm/s2) 可以使用数学软件来求极值,但所得曲线为 离散形式,无解析表达式
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求解极值数值方法 令 可令 解出 故
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令 为下列方程的解 再将 代入(*)式中,将 用曲线连接即得拟合最速降线,再求出时间 .
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利用数学软件求近似最速降线和最短时间 function m6_1(G,H,n) h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0;
b=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+b)/2; i=1; while abs(f)>1e-10 s=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2); end f=c-G/(h*s); if f>0 b=c;else a=c; c=(a+b)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h); T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h) for k=2:n v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v; plot(x,-(0.1:h:H),'*r')
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利用数学软件求解得到的曲线
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再作分析 质点要走最快的路线(曲线),应该如何变化? 依然用从质点速度变化的角度考虑 设质点从A1经直线 l 到达A2,质点速度在l 的
依然用从质点速度变化的角度考虑 设质点从A1经直线 l 到达A2,质点速度在l 的 上侧为v1,下侧为v2,则质点如何运动才最省时? 如图,若A1,A2到l 的垂足分 A1 A2 1 2 C l O D 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC =x 那么质点由A1到A2需时间
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惟一驻点满足 A1 A2 1 2 C l O D x a b c-x 也即 这就是光学中的 Snell 折射定律
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建立数学模型 若用与x 轴平行的直线将 分析:如图建坐标系, AB 分割成小段, 考虑在第k 层与k +1层质点在曲线上的下
y c k+1 k 层与k +1层质点在曲线上的下 滑,依能量守恒律,可近似 认为质点在每层内的速度不 变,于是依辅助结论知 注意上式对任何k成立,
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故导出 令平行线的间距趋于零,我们就得到在曲线 上任何一点 A B x y c 其中 为该点切线与铅垂线 的夹角
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导出微分方程 A B x y c 又因 于是得到
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一个引理 设集合E0={g(x)C1 │g(a) =g(b)=0} 如果在[a,b]连续函数 f(x)满足 对g (x) E0 ,总有
那么 f (x) 0
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另一种方法-变分法 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y)处质点速度为 又设从A到P的弧长为s,则
B x y c 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y)处质点速度为 又设从A到P的弧长为s,则 从而质点沿曲线由A到B需时间
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设集合 那么我们的问题成为 求某个 使得 引进集合 显然若 是最速曲线函数,则 于是函数 在 取得最小值 故得
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为了计算 ,记 那么对 依复合函数求导法 注意第二项
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于是导出 上式乘以 这里
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得到方程为 注意从降线定义可知 故 解法 1)可求解析解 2)也可以用数值方法,例如欧拉法求解
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求解析解提示: 由于在原点y = 0 ,可改写方程 解析解
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最速降线问题仿真方法Matlab程序 function cycloid(G,H,n) if nargin==2 %两个参数则默认n为100
end g=9.8; h=H/n; minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n); x=0;y=0; while abs(G-x)>1e-4 x=0; c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c^2*v^2); gx(j)=x; gy(j)=y;
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if x<G %判断最后一个点与所给点的位置情况
minc=c; else maxc=c; end T=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j==1 s=sqrt(gx(1)^2+h^2); s=sqrt((gx(j)-gx(j-1))^2+h^2); T=T+s/v; plot(gx,-gy); T
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取G=H=10,n=100
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实验任务 1. 分别用数值方法和解析方法求出的最速降线 的曲线和下降时间,将两种结果比较 (设c=π/2, H=1)
2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从 A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面 的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面,l为x轴, A为(0,(e+e-1)/2), B为(3,(e2+e-2)/2)
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3. 圆柱面方程为 用曲线连接面上A(0,0,1), B(1,3,0)两点,求使得 AB 弧长最短的曲线(短程线) 4. 在第3题中,将曲面改为 求在曲面上连接A(1,0,1),B(0,2,2)的最短弧线 (建议以数值和解析两种方法求解加以比较)
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5. 若求出最速降线的曲线方程,试将质点从曲线 上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所 需时间 注:若选择本次实验,必须完成任务1、2
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谢谢各位!
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