第六章 定积分的应用 第一节：定积分的元素法 第二节：定积分在几何上的应用 第三节：定积分在物理上的应用.

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1 第六章 定积分的应用 第一节：定积分的元素法 第二节：定积分在几何上的应用 第三节：定积分在物理上的应用

2 第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 二、如何应用定积分解决问题 (L.P184)

3 回顾 曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由 及直线 所围成． 连续曲线 分割 近似 求和 取极限

4 问题：什么样的量可以用定积分表示？ 当所求量 符合下列条件： 的变化区间 1) 是与一个变量 有关的量； 为许多部分量 对于区间 具有可加性，也即：如果把 若将 分成许多部分区间，则 相应地分 而 等于所有部分量之和； 2) 3) 可以考虑用定积分来表示

5 问题：如何将 U 用定积分表示？ 一般步骤： 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量，例如 作为积分变量，并确定它得变化区间 2) 设想把区间 分成 个小区间，取其中任意 一个小区间并记为 求出相应于这个小 区间的部分量 的近似值， 如果 量U的元素 记

6 3) 以所求量 的元素 为被积表达式，在 区间 上作定积分，得 所求量 的积分表达式. 即为 这个方法通常称为元素法． 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力等．

7 定积分在几何学上的应用 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积
四、 旋转体的侧面积 (补充)

8 一、平面图形的面积 1. 直角坐标系情形 曲边梯形的面积： 平面图形的面积：

9 例1. 计算由两条抛物线 和 所围成的 图形的面积 解 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素

10 例2. 计算由曲线 和 所围成的 图形的面积 解 两曲线的交点 选 为积分变量

11 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选 吗？

12 例3. 计算由曲线 和直线 所围成的 图形的面积 解 两曲线的交点 1. 选 为积分变量， 2. 选 为积分变量，

13 例4. 求椭圆 的面积. 解 由对称性知总面积等于 4 倍第一象限部分面积． 椭圆的参数方程

14 如果曲边梯形的曲边 　　　　　 由参数方程： 给出， 那么曲边梯形的面积 其中 在　　　或　　　上， 具有连续导数， 连续.

15 2. 极坐标系情形 设由曲线　　　　 及 围成一个曲边扇形, 射线 和 其中： 在 上连续， 且 面积元素： 曲边扇形的面积 求该曲边扇形的面积.

16 例5. 求双扭线 所围平面图形的面积. 解 由对称性知总面积= 4*第一象限部分面积

17 例6. 求心形线 所围平面 图形的面积. 解： 利用对称性知

18 二、体积 1. 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线 旋转一周而成的立体．这直线称为旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台

19 o y x 一般地，如果一个旋转体是由连续曲线 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴 旋转一周而形成的立体，那么可用元素法求体积.
直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴 旋转一周而形成的立体，那么可用元素法求体积. 选 为积分变量 x y o 体积元素： 旋转体的体积为:

20 围成一个直角三角形．将它绕 轴旋转 例7. 连接坐标原点 及点 的直线与 轴及 直线 构成一个底半径为 高为 计算圆锥体 的圆锥体， 的体积． 直线 的方程为 解：

21 例8. 求星形线 绕 轴旋转构成 的旋转体的体积. 解 旋转体的体积：

22 类似地，若旋转体是由连续曲线 轴， 及直线 和 所围成的曲边梯形绕 轴旋转 一周而成的立体， 则 y +dy y

23 例9. 求摆线 的一拱 与 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转所形成 的旋转体的体积 解：绕 轴旋转

24 例9. 求摆线 的一拱 与 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转所形成 的旋转体的体积 解：绕 轴旋转

25 补充(柱壳法): 若旋转体是由连续曲线 直线 及 轴 所围成的曲边梯形绕 轴 旋转一周而形成的立体， 则

26 例9. 求摆线 的一拱 与 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转所形成 的旋转体的体积 解：绕 轴旋转， 利用柱壳法

27 例10. 求由曲线 及 所围成的图形绕 直线 旋转所构成的旋转体的体积. 解：取积分变量为 体积元素为

28 例10. 求由曲线 及 所围成的图形绕 直线 旋转所构成的旋转体的体积. 解：取积分变量为

29 2. 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 表示过点 且垂直于 轴的 截面的面积， 为 的已知连续函数 立体体积

30 并与底面交成角 计算该平面截圆柱体所得立体
例11. 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心， 的体积. 解 取坐标系如图 底圆方程为 垂直于 轴的截面为直角三角形. 截面面积 立体体积

31 直径的线段为顶， 高为 的正劈锥体的体积. 例12. 求以半径为 的圆为底，平行且等于底圆 解 取坐标系如图 底圆方程为： 垂直于 轴的截面 为等腰三角形. 截面面积 立体体积

32 三、平面曲线的弧长 1. 平面曲线弧长的概念 设 是曲线弧上的两个端点， 在弧上插入分点 并依次连接相邻分点得到一内接折线, 折线的长: 记： 若 存在， 则称此极限为曲线弧的弧长。 并称弧AB是可求长的.

33 定理 光滑曲线弧是可求长的. 闭区间 上的连续曲线 是否一定可求长？ 不一定．仅仅有曲线连续还不够， 必须保证曲线光滑才可求长．

34 2. 直角坐标情形 其中 在 上具有一阶连续导数 . 设曲线弧为 以小切线段的长代替小弧段的长 弧长元素 弧长

35 例13. 计算曲线　　　　上相应于　 从　到　的　 一段弧的长度． 解 所求弧长为

36 例14. 计算曲线　　　　　　　的弧长 解

37 3. 参数方程情形 曲线弧为 其中　　　　 在　　　上具有连续导数． 弧长

38 例14. 求星形线　　　　　　　 的全长. 解 星形线的参数方程为

39 例15. 证明正弦线　　　　　　　　　 的弧长等于 椭圆 的周长. 证 设正弦线的弧长为 设椭圆的周长为 根据椭圆的对称性知 故原结论成立.

40 4. 极坐标情形 曲线弧为 其中， 在 上具有连续导数. 弧长

41 例16. 求极坐标系下曲线　　　　　 的全长. 解

42 例17. 求阿基米德螺线 　　　　　 上相应于 从 0 到 的弧长. 解

43 o 四*、旋转体的侧面积 y x 如果一个旋转体是由光滑曲线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而 形成的立体，如何求其侧面积？ 直线
及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而 形成的立体，如何求其侧面积？ 直线 x y o 旋转体的侧面积:

44 例18. 求半径为 的球的表面积. x y O R 解

45 内容小结 1. 平面图形的面积 在直角坐标系下 参数方程形式下 极坐标系下 （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）

46 2. 体积 (1) 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕平行于坐标轴的直线旋转一周 (2) 平行截面面积为已知的立体的体积

47 3. 平面曲线的弧长 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 旋转体的侧面积:

48 思考题 设曲线 过原点及点 且 为单调 函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两 坐标轴的平行线，其中一条平行线与 轴和曲线
坐标轴的平行线，其中一条平行线与 轴和曲线 函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两 设曲线 过原点及点 且 为单调 围成的面积是另一条平行线与 轴和曲线 围成的面积的两倍，求曲线的方程.

49 思考题解答 x y o 两边同时对 x 求导得到： 曲线过点 单调

50 思考题 轴旋转构成旋转体的体积. 求曲线 所围成的图形绕 轴 交点

51 作 业 P (1,3), 4, 5(3), 8(2), 12, 15(1,4), 22, 30. 作业提交时间：2013年1月2日上午10:00AM