数学思想方法论 作为学科的数学方法论 作为课程的数学方法论 数学方法论与其它学科的关系 辩证唯物主义哲学 数学学习论 数学教学论

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1 数学思想方法论 作为学科的数学方法论 作为课程的数学方法论 数学方法论与其它学科的关系 辩证唯物主义哲学 数学学习论 数学教学论
基础 数学史 数学 逻辑学

2 主要内容 第一讲 数学方法论数学史 第二讲 对数学及其方法的认识 第三讲 数学只有考试价值吗 第四讲 抽象方法 第五讲 数学概念的文化性
第二讲 对数学及其方法的认识 第三讲 数学只有考试价值吗 第四讲 抽象方法 第五讲 数学概念的文化性 第六讲 数学判断与命题（一） 第六讲 数学判断与命题（二） 第七讲 数学证明与趣谈

3 主要内容 第八讲 演绎法与公理思想的影响 第九讲 数学中的类比法 第十讲 归纳推理的文化及内涵 第十一讲 数学归纳法 第十二讲 数学化归方法
第九讲 数学中的类比法 第十讲 归纳推理的文化及内涵 第十一讲 数学归纳法 第十二讲 数学化归方法 第十三讲 数学悖论与其三大学派 第十四讲 研究的一般方法 第十五讲 思维及其数学思维

4 主要参考书 [1] 亚历山大洛夫, 数学,它的内容、方法和意义 [2]解恩泽等 数学思想方法纵横谈 [3]王仲春等 数学思维与数学方法论
[1] 亚历山大洛夫, 数学,它的内容、方法和意义 [2]解恩泽等 数学思想方法纵横谈 [3]王仲春等 数学思维与数学方法论 [4]徐利治 数学方法论选讲 [5]波利亚 数学与发现合情推理 [6]张奠宙 数学方法论稿 [7]郑毓信 数学方法论

5 [8] 郑毓信.数学文化学 [9] 张维忠.文化视野中的数学与数学教育 [10] Paul Ernesl. 齐建华译,数学教育哲学 [11] 张楚廷.数学文化 [12] 齐民友.数学与文化 [13] (美)M·克莱因，张祖贵译，西方文化中的数学 [14] H.伊夫斯. 欧阳绛译,数学史上的里程碑 [15] 李文林.数学史概论

6 [16] L.A.怀特，文化的科学, [17] Carl B. Boyer ．唐生译．微积分概念发展史 [18] M.Kline.古今数学思想(2) [19] Edward，C.H.张理京译． 微积分发展史 [20] 田怀录.微积分与牛顿，莱布尼兹. [21]高希尧.世界数学史略 [22] 袁小明.数学史话 [23] 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史

7 数学教学研究或数学通报 [1]悠久的历史文化，精彩的数学归纳法 [2]利用对数文化，“活化”对数教学 [3]重温圆的名题，体验数学文化
[4]利用历史文化，加强三角教学 [5]利用文化特性，加强数学教学 [6]品味圆锥曲线 ，体验历史文化 [7]重温历史文化，体验复数创新

8 第一章 数学的起源与发展 第一节 数学史分期（一） 第二节 数学史分期（二） 第三节 数学发展的动力

9 第一节 数学史分期（一） ☆ 数学萌芽时期 ☆ 常量数学时期 ☆ 变量数学时期 ☆ 近代数学时期 ☆ 现代数学时期

10 ☆ 数学萌芽时期 （公元600年以前） ▲ 数学的对象 天文历法的计算 土地长度的丈量 面积、体积的计算 商业交往中的运输、变换的计算
☆ 数学萌芽时期 （公元600年以前） ▲ 数学的对象 天文历法的计算 土地长度的丈量 面积、体积的计算 商业交往中的运输、变换的计算 往下页 返回第一节

11 ▲ 主要发明创造 中国、埃及、巴比伦、印度 ◆ 中国： ※ 记数的十进位制（金文、甲骨文） ※ 矩 （《 周髀》）
▲ 主要发明创造 中国、埃及、巴比伦、印度 ◆ 中国： ※ 记数的十进位制（金文、甲骨文） ※ 矩 （《 周髀》） 平行线、面 （《 墨经》） ※ 极限思想 （ 《 庄子》 ） ◆ 埃及： ※ 金字塔 ※ 纸草书（莱茵特、莫斯科）

12 ◆ 巴比伦： ※ 帐单、收据、票据 ※ 泥版书： 二次方程问题、 计算矩形、直角三角形、梯形等图形面积、 平行六面体、柱体的体积、 ※ 天文学： 能测定五大行星的周期， 预测日、月食的沙罗周期 ※ 建立了60进位制

13 计算方法、测量方法， 自然数、分数， 简单图形的概念， 初步的算术和几何知识以及一些运算间的关系

14 ▲ 数学发展的特点 ※ 研究的对象：数量和图形 ※ 概念形成较缓，无严谨的科学体系 ※ 出现一些数学概念与数学符号，
▲ 数学发展的特点 ※ 研究的对象：数量和图形 ※ 概念形成较缓，无严谨的科学体系 ※ 出现一些数学概念与数学符号， 产生具有一定关系和规律的数学系统－－算术， ※ 从思想和方法上为建立数学理论奠定了基础。 返回萌芽时期首页

15 ☆ 常量数学时期（初等数学时期） ▲ 数学的对象 公元前5世纪－－公元17世纪初 ※ 采用逻辑方法建立完整、统一、独立的科学
☆ 常量数学时期（初等数学时期） 公元前5世纪－－公元17世纪初 ▲ 数学的对象 ※ 采用逻辑方法建立完整、统一、独立的科学 ※ 在相对静止状态下保持不变的数量和图形 ※ 以常量为主要研究对象 返回第一节

16 ▲ 主要发明创造 完善算术, 建立几何、代数和三角等学科 ※ 《欧氏几何原本》 ※ 《算经十书 》 其中以《九章算术》为杰出代表
▲ 主要发明创造 完善算术, 建立几何、代数和三角等学科 ※ 《欧氏几何原本》 ※ 《算经十书 》 其中以《九章算术》为杰出代表 ※ 阿尔.花拉子模的《代数学》 ※ 刘微的《九章算术注》 ※ 德国的里基奥蒙田纳斯《论一般三角形》 ※ 阿基米德的《算术》

17 ▲ 数学发展的特点 ※ 纯 粹的研究对象－－数量与图形 ※ 具体实验阶段－－抽象理论阶段 ※ 抽象方法、逻辑方法－－演绎体系
▲ 数学发展的特点 ※ 纯 粹的研究对象－－数量与图形 ※ 具体实验阶段－－抽象理论阶段 ※ 抽象方法、逻辑方法－－演绎体系 ※ 建立了算术、代数、几何、三角等分支 返回常量时期页

18 ☆ 变量数学时期 ▲ 数学的对象 ▲ 主要发明创造 17世纪中叶至19世纪20年代 ※ 客观事物在运动变化的状态下数量和图形
☆ 变量数学时期 17世纪中叶至19世纪20年代 ▲ 数学的对象 ※ 客观事物在运动变化的状态下数量和图形 ▲ 主要发明创造 ※ 解析几何 ※ 级数论 ※ 微积分 ※ 复变函数论 ※ 微分方程 ※ 实变函数论 ※ 微分几何 ※ 画法几何学 返回第一节

19 ▲ 数学发展的特点 ※ 数学的研究对象发生了质的变化 ※ 数学的思想、方法出现新特点 ※ 解析几何、微积分 ※ 数学分析占主导地位
▲ 数学发展的特点 ※ 数学的研究对象发生了质的变化 ※ 数学的思想、方法出现新特点 ※ 解析几何、微积分 ※ 数学分析占主导地位 ※ 数学与自然科学相互促进 返回变量首页

20 ☆ 近代数学时期 ▲ 数学的对象 19世纪20年代－－20世纪40年代 ※ 几何、代数、分析向更一般化、抽象化、多样化发展
☆ 近代数学时期 19世纪20年代－－20世纪40年代 ▲ 数学的对象 ※ 几何、代数、分析向更一般化、抽象化、多样化发展 ※ 数学方法成为数学研究的对象 ※ 数学研究对象： 定义在任意性质的元素集上的运算和关系， 由于遵循的公理系统不同而形成不同的数学结构。 返回第一节 往下页

21 ▲ 主要发明创造 ※ 三大转折： 微积分 －－ 数学分析 解析几何－－ 高等几何 方程 －－ 高等代数 ※ 三大突破：
▲ 主要发明创造 ※ 三大转折： 微积分 －－ 数学分析 解析几何－－ 高等几何 方程 －－ 高等代数 ※ 三大突破： 傅里叶级数－－ 函数概念有重大突破 非欧几何 －－ 空间概念有重大突破 伽罗华理论－－ 代数运算概念有重大突破 ※ 三大理论： 实变函数、集合论、数理逻辑

22 ▲ 数学发展的特点 ※ 这个时期，数学发生了一系列的本质变化： 罗巴切夫斯基 －－ 非欧几何 阿贝尔、伽罗华－－ 近世代数
※ 这个时期，数学发生了一系列的本质变化： 罗巴切夫斯基 －－ 非欧几何 阿贝尔、伽罗华－－ 近世代数 波尔察诺、柯西－－分析的逻辑基础 ▲ 数学发展的特点 ※ 数学的革命、创造的自由化 ※ 研究对象更一般化、抽象化、多样化 ※ 数学的发展趋于统分结合 ※ 应用越来越广泛 ※ 数学新问题层出不穷 回近代数学首页

23 ☆ 现代数学时期 ▲ 数学对象 ▲ 主要发明创造 20世纪40年代－－ ※ 结构和模型 ※ 应用数学大发展 ※ 计算机的成功和广泛应用
☆ 现代数学时期 20世纪40年代－－ ▲ 数学对象 ※ 结构和模型 ▲ 主要发明创造 ※ 应用数学大发展 ※ 计算机的成功和广泛应用 ※ 基础数学的飞速发展 返回第一节

24 ▲ 数学发展的特点 ※ 以集合论为基础，数理逻辑成为推理的依据 ※ 数学抽象化程度进一步加强 ※ 应用数学蓬勃发展 ※ 计算机的产生和应用
▲ 数学发展的特点 ※ 以集合论为基础，数理逻辑成为推理的依据 ※ 数学抽象化程度进一步加强 ※ 应用数学蓬勃发展 ※ 计算机的产生和应用 ※ 基础数学理论的飞速发展

25 第二节 数学史分期（二） 恩格斯： 数学史分类: 算法倾向和演绎倾向 常量数学、变量数学
第二节 数学史分期（二） 恩格斯： 常量数学、变量数学 十七世纪以来，解析几何、微积分成为数学发展史上的里程碑 西方也把数学划分为 几何、代数（算术）， 将数学史划分为几何倾向、代数倾向。 数学史分类: 算法倾向和演绎倾向

26 所谓算法倾向，指具有如下特征： ①着重算法的概括、而不讲究命题的推理形式； ②着重算法不只是单纯的计算，也是是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算程序，力求规格化，便于机械化的重复迭代。 数学史上, 算法倾向、演绎倾向 总是交替地取得主导地位。 中国数学和西方数学是两大世界数学的代表

27 吴文俊曾指出：“以九章算术为代表的中国古代传统数学，与以欧氏《几何原本》为代表的西文数学，代表着两种不同的体系，其思想和方法各程特色。
前者着重应用和计算，其成果往往以算法的形式表达， 后者则往往着重概念和推理，其成果一般是以定理的形式表达 前者的思维方式是构造性的和机械化的。 后者则往往是偏重存在唯一以及概念间的相互联系等非构造性纯逻辑思维

28 ☆ 原始算法的积累时期 ☆ 古希腊演绎几何时期 ☆ 算法的繁荣时期 ☆ 近代数学与演绎倾向倾向时期 ☆ 机器证明的算法倾向时期

29 ☆ 原始算法积累时期（公元前六世纪） 初等算法： 整数、分数的算术运算法则，如中国的九九乘法口诀 简单的代数方程（一元二次方程）的解算
☆ 原始算法积累时期（公元前六世纪） 初等算法： 整数、分数的算术运算法则，如中国的九九乘法口诀 简单的代数方程（一元二次方程）的解算 简单几何图形的面积、体积计算公式 埃及的纸草书（莫斯科纸草书、莱茵特纸草）、 巴比伦泥版书

30 中国数学的起源 1 出土的文物中数字与图形 ★十多万年前，山西“丁村人”石球、尖状器； ★五六千年前，云南忙怀的石砧（圆柱、台）
1 出土的文物中数字与图形 ★十多万年前，山西“丁村人”石球、尖状器； ★五六千年前，云南忙怀的石砧（圆柱、台） ★6000年前，西安半坡圆形的柱、台，球，还有棱形、三角形、长方形等图案； ★4500年前，上海马桥陶片上五、十、七数字。 ★前1600~前1600，商代甲骨文有1~10的自然数有3万大数； ★西周（公元前1066年~公元前771年，金文有1~10数字字形，20、40等数字题目。

31 早期数学的积累 《易经》成书于周初，六十四卦用符号体系。分为河图、洛书。 河图——八卦形状；洛书——九宫

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33 早在战国时期运用分数，《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等书出现了分数和一般的算术运算，已有乘法表（即九九表或九九口诀）
春秋战国时代，手工业、土木工程等发展积累了较多的几何知识，以墨翟为代表的墨家学派贡献较大，其《墨子》 “平，同高也”。 “圆，一中，同长也” “圆，规写交也” 筹算、十进位位值制

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36 刘徽:出入相补原理

37 《九章算术》的特色主要有： ⑴ 有明显的社会性和实用性的特征； ⑵ 算法为中心 、形数结合的算法体系； 筹算进行计算
⑴ 有明显的社会性和实用性的特征； ⑵ 算法为中心 、形数结合的算法体系； 筹算进行计算 ⑶ 书中的成 果主要体现在构造图形 “解体用图”的方法，构建特殊图形论证几何的定理和公式

38 ☆ 希腊演绎几何时期 公元前600－－公元初 希腊学者如泰勒斯等， 接触并熟悉那里的经验几何计算规则，并产生了证明这些法则的想法。
☆ 希腊演绎几何时期 公元前600－－公元初 希腊学者如泰勒斯等， 接触并熟悉那里的经验几何计算规则，并产生了证明这些法则的想法。 毕达哥拉斯 证明了不少的几何命题，如三角形内角和为两直角，勾股定理， 按一定的逻辑顺序把已知的命题排列起来 欧几里得(前三世纪) 最终建立系统的演绎几何体系

39 数学史上一个悬而未决的问题: 希腊人为什么不满足于经验的几何法则而坚持要给出演绎的证明？ 数学是怎样具体地从原始算法向系统的演绎科学过渡？
为什么要选择几何而不是算术(代数)? 为什么在希腊而不在别的地方发生?

40 数学史上的第一次危机 无理数 的出现 受古希腊哲学的影响 亚里士多德的三段论法则 柏拉图的门口写着：“不懂几何者不得入内” 爱利亚学派的辩论术

41 ☆ 算法的繁荣时期 公元初－－十七、十八世纪 中世纪的东方算法 无穷小算法时期 ▲ 中世纪的东方算法

42 ▲ 中世纪的东方算法 （中国，印度） ※ 遍乘直除”算法
▲ 中世纪的东方算法 （中国，印度） ※　　遍乘直除”算法 例 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。（《九章算术》NO.8） 答曰：上禾一秉，九斗四分之一；中禾一秉，四斗四分之一；下禾一秉，二斗四分之三。 术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗于右方，中左列如右，

43 ※ 割圆术算法(祖率) ＜π＜ ※ 开方算法 ※ 面积、体积算法 ※ 正负开方术（高次方程的数值解法） ※ “大衍求一术”算法 （一次同余组） ※ “盈不足术”（契丹方法） ※ 四元术 招差术

44 ▲ 无穷小算法时期 最丰硕的成果：微积分 微积分是算法倾向还是演绎倾向的结果？ 为什么中国近代数学落后？
▲ 无穷小算法时期 最丰硕的成果：微积分 微积分是算法倾向还是演绎倾向的结果？ 为什么中国近代数学落后？ 近代数学不能在欧洲以外的其他地域发生？ 颇有影响的观点： 这些地域缺乏演绎传统 甚至认为： 中国古代没有演绎方法

45 微积分不是演绎倾向的结果，恰恰是算法倾向的结果！
微积分的产生： 是寻找一系列实际问题的普遍算法的结果 如 瞬时速度、 极大（小）值、 求面积、体积、 求曲线的长度等 开普勒的积分学，实际上是测量酒桶的容积 泰勒公式、甚至十九世纪初福里叶的三角展开，都在很长时间内缺乏严格的证明，产生了二次数学危机。

46 C D 奥里斯姆与伽利略 物体变速运动，速度 用直线OB表示 三角形OAB的面积

47 （二）

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49 牛顿发明微积分的个人背景也颇能说明问题 解析几何： 是算法精神的成果。 全部几何问题可以容易地被归纳一些线段的加减乘除开方

50 ☆ 近代数学与演绎倾向时期 分析，抽象代数，希尔伯特原理等 三大特征： 分析的严格化 几何的非欧化 代数的抽象化

51 ☆ 机器证明的算法倾向时期 超级计算机“深蓝”战胜卡斯帕诺夫 吴文俊： 等式型命题的机器证明 张景中： 机器证明的可读性问题的解决 杨路：
☆ 机器证明的算法倾向时期 超级计算机“深蓝”战胜卡斯帕诺夫 吴文俊： 等式型命题的机器证明 张景中： 机器证明的可读性问题的解决 杨路： 非欧几何定理证明的自动生成和可读性问题 不等式的机器证明取得了相当的成功。

52 第三节 数学发展的动力 一、 数学与现实世界的关系 二、 人们对数学的认识 三、 数学发展的动力

53 一、 数学与现实世界的关系 二、 人们对数学的认识 辩证唯物主义对数学的看法 纯数学来源于经验；
一、 数学与现实世界的关系 辩证唯物主义对数学的看法 纯数学来源于经验； 以客观事物的空间形式与数量关系作为研究对象； 数学来源于外部世界又脱离外部世界而发展； 数学的发展遵循辩证规律。 二、 人们对数学的认识 ①对数的概念的认识； 自然数 有理数 实数 复数

54 ② 对图形的认识 几何图形是人们对客观事物的 形象、 位置关系、 大小的能动反映 ③ 对函数关系的认识 对客观事物运动变化中的量的关系的能动的反映

55 函数的几种定义： 所有与曲线上的点有关的量称为函数。（莱布尼兹） 用任意方法由变量和常量组成的量叫做这个变量的函数。（贝努利）
欧拉给了三个定义。 柯西定义： 黎曼定义： 狄里克雷定义： 用对应定义函数： 豪斯多夫用序偶定义函数： 用关系定义函数：

56 三、数学发展的动力 １ 社会实践活动向数学提出问题，促进数学发展 记数 、计数－－数及符号 长度、面积、体积－－几何量
１ 社会实践活动向数学提出问题，促进数学发展 记数 、计数－－数及符号 长度、面积、体积－－几何量 地球、晶体等物体形式－－空间形式 天文学需要－－球面几何和三角学 行星、物体运动－－解析几何 求瞬时速度、曲边梯形面积等－－微积分 赌博、保险业－－概率论

57 ２ 从数学理论与新经验矛盾中提出问题，促进数学发展
负数、无理数、复数、非欧几何等产生 ３ 数学理论本身的矛盾中提出问题，促进数学发展 无穷小量－－极限理论、实数理论、集合论 数学基础中的矛盾－－模型论、数理逻辑等