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第六章 线性反馈系统的状态空间综合 已知受控系统结构参数及期望的系统运动形式或特征，确定施加于受控系统的控制规律与参数，称为综合。当系统以状态空间描述以后，系统的状态含有系统的全部运动信息，若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭环控制，便可得到相当好的控制效果。无论在抗扰动或抗参数变动方面，反馈系统的性能都远优于非反馈系统。
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在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件及建立控制规律及其算法。
综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型，它们都规定着综合所得系统运动过程的期望性能。两者的差别是：非优化指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实现了综合的目标；
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优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指标在所有可能值中取极值。本章讨论的综合问题主要涉及的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，讨论极点配置问题。系统运动的状态也即其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。把闭环极点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。 以渐近稳定作为性能指标，主要讨论各种反馈结构对系统稳定性的影响。
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以使一个“多输入——多输出”系统实现“一个输入只控制相应的某个输出”作为性能指标，其相应的综合问题即为解耦控制问题。
还有在各种扰动作用下无静差地跟踪参考指令的性能指标，其相应的综合问题为鲁棒控制问题（留在下一章专门讨论）。 本章最后讨论状态观测器。在状态反馈中，假定所有状态变量如输出量一样是可以得到的。实际上，这一假定通常是不成立的。
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因此，若我们要实现状态反馈，则必须根据可利用的信息来产生状态向量估值。这种建立近似状态向量的装置即为状态观测器。状态观测器理论的建立，拓宽了状态反馈综合方法的应用范围。
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§ 6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响§ 6.2 单输入-单输出系统的极点配置
§ 6.3 多输入-多输出传统的极点配置 § 解耦控制 § 6.5 状态观测器
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6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响 无论是在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。但由于经典控制理论是用传递函数来描述的，因此它只能以输出量作为反馈量。而现代控制理论由于是采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还可采用状态反馈这种新的控制方式。
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一、两种反馈结构 1. 状态反馈 设有n维线性定常系统 (6.1) 式中 分别为n维、p维和q维向量， 分别为 阶实矩阵。 由式可画出该系统结构图如图6-1(a)所示。
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图6-1(a) 系统结构图
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在这里，我们研究形如. 的线性状态反馈对原线性定常动态方程的影响。其中v为p维系统参考输入向量，K是
在这里，我们研究形如 的线性状态反馈对原线性定常动态方程的影响。其中v为p维系统参考输入向量，K是 反馈增益矩阵。按要求，K应为实矩阵。在研究状态反馈时，我们默认了这样一个假定，即所有的状态变量都是可以用来反馈的。 因此，当将系统的控制量u取为状态变量x的线性函数 (6.2)
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时，称其为线性的直接状态反馈，简称状态反馈。由式(6. 1)与式(6
时，称其为线性的直接状态反馈，简称状态反馈。由式(6.1)与式(6.2)可以得出加入状态反馈后系统结构图如图6-1(b)所示，将式代入式可得状态反馈系统动态方程为 (6.3) 其传递函数矩阵可表示为 (6.4)
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图6-1(b) 加入状态反馈后的结构图
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因此可用系统 来表示引入状态反馈后的闭环系统。而从式可以看出输出方程则没有变化。
2. 输出反馈 系统的状态常常不能全部测量到，状态反馈方法就有一定的工程限制，在此情况下，人们常常采用输出反馈方法。输出反馈的目的首先是使闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统的性能。
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当把线性定常系统的控制量u取为输出y的线性函数
(6.5) 时，相应的称为线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。 加入输出反馈后系统的结构图如图6-2所示。
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图6-2 输出反馈系统
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由式(6.1)和式(6.5)可导出输出反馈的状态空间描述为
(6.6) 其传递函数矩阵则为： (6.7) 不难看出，不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变状态的系数矩阵。但这并不是说，两者具有等同的性能。
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由于状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，可在不增加系统的维数的情况下，自由地支配响应特性；而输出反馈仅利用了状态变量的线性组合来进行反馈，其信息量便较小，所引入的串、并联补偿装置将使系统维数增加，且难于得到任意期望的响应特性。一个输出反馈系统的性能，定有对应的状态反馈系统与之等同，这时只需令 ，确定状态反馈增益矩阵是方便的；
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但是，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同，这是由于令
但是，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同，这是由于令 来确定 的解时，或者形式上过于复杂而不易实现，或者 阵含有高阶导数项而不能实现，或对于非最小相位的受控对象，如含有右极点，而选择了右校正零点来加以对消时，便会潜藏有不稳定的隐患。不过，输出反馈所用的输出变量总是容易测得的，因而实现是方便的；而有些状态变量不便测量或不能测量，需要重构，给实现带来麻烦是需要克服的障碍。
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通过引入状态观测器，利用原系统的可测量变量 和 作为其输入以获得x的重构量 ，并以此来实现状态反馈（图6-3）。有关状态观测器和带有状态观测器的状态反馈系统的分析和综合问题，将在本章的最后几节中研究。
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图6-3 利用观测器来实现状态反馈
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二、反馈结构对系统特性的影响 由于反馈引入后，系统状态的系数矩阵有了变化，对系统的能控性、能观测性、系统的稳定性、系统的响应等都有影响。本节我们将研究反馈对能控性、能观测性，稳定性的影响及对闭环极点位置的影响问题。 1. 对能控性与能观测性的影响 对此，有如下两个结论。
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结论1 状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。
证 设受控系统 的动态方程为 则由 状态反馈后的系统 的动态方程为 首先证明：状态反馈系统 为能控的充分必要条件是受控系统 为能控。
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表示 和 的能控性判别阵分别为 和 由于 式中 为列向量。将K表为行向量组 ，即
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令式中 均为标量， 故
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该式表明 的列是 的列的线性组合。同理有 的列是 的线性组合，如此等等。故 的每一列均可表为 的列的线性组合，由此可得
（6.8） 另一方面， 又可以看成为 的状态反馈系统，即 所以，同理可得下式 （6.9）
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由式（6.8）和式（6.9）可导出 从而 能控，当且仅当 能控。 再来证明状态反馈系统不一定能保持能观测性。对此只需举反例说明，设为 能观测的，但 不一定为能观测。如考察系统
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其能观测性判别阵 满足 ，故 为能观测。现引入状态反馈，取 ，则状态反馈系统为
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其能观测性判别阵 显然有 ，故 为不完全能观测。而若取 ，则通过计算可知， 为能观测的。从而表明状态反馈可能改变系统的能观测性，这是由于人为地使配置极点和零点相对消造成的。
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结论2 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统 为能控（能观测）的充分必要条件是受控系统 为能控（能观测）。
证 首先，由于对任一输出反馈系统都可找到一个等价的状态反馈系统 ,而已知状态反馈可保持能控性，从而证明输出反馈的引入不改变系统的能控性。
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其次，表示 和 的能观测判别阵分别为： 和 由于 ， ,
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式中 为行向量。将F表示为列向量组 ，即 则
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令式中. ， 为标量，该式表明. 的行是. 的行的线性组合。同理有 的行是. 的行的线性组合，如此等等。故
令式中 ， 为标量，该式表明 的行是 的行的线性组合。同理有 的行是 的行的线性组合，如此等等。故 的每一行均可表示为 的行的线性组合，由此可得 (6.10) 进而，可把 看成 的反馈系统，又有
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（6.11） 从而，由式（6.10）和（6.11）即得 这表明输出反馈克保持能观测性。证毕。
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2.稳定性与镇定 状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统，就称为镇定。鉴于状态反馈的优越性，这里只讨论状态反馈的镇定问题。对于线性定常受控系统 如果可以找到状态反馈控制律 为参考输入
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使得通过反馈构成的闭环系统 是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。在镇定问题中，综合的目标不是要是闭环系统的极点严格地配置到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半开平面上，因此这类问题属于极点区域配置问题，是指定极点配置的一类特殊情况。利用这一点，可以很容易导出镇定问题的相应结论。
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依据极点配置的基本定理可知，如果系统. 为能控，则必存在状态反馈增益矩阵K，使得. 的全部特征值配置到任意指定的位置上。当然，这也包含了使
结论 线性定常系统是由主题反馈可镇定的，当且仅当其不能控部分是渐近稳定的。
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证明 由 为不完全能控，则必可对其引入线性非奇异变换而进行结构分解：
并且对任意 可导出
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但知 为能控，故必存在 ，使 的特征值具有负实部，而状态反馈对不能控子系统的极点毫无影响。从而即知，欲使 的特征值均具有负实部，也就是上述系统由状态反馈可镇定的充分必要条件是：不能控部分 的特征值均具有负实部。证毕。
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3.极点配置问题 当反馈形式确定以后，极点配置问题就是依据希望的指定极点位置来计算反馈增益矩阵的问题。对于状态反馈而言，单输入系统的、反馈增益是唯一的，而多输入系统的反馈增益阵不唯一；但无论是单输入或多输入系统，只要系统完全能控，则系统的极点可以实现任意配置。关于状态反馈的极点配置问题将在6.2、6.3节中详细介绍。
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6.2 单输入-单输出系统的极点配置 由于一个系统的性能和它的极点位置密切相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。这里，需要解决两个问题：一个是建立极点可配置条件，也就是给出受控系统可以利用双腿反馈而任意配置其闭环极点所应遵循的条件：另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。
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一.极点可配置条件 我们来给出利用状态反馈的极点可配置条件，应该说明的是，该条件既适于单输入-单输出系统，又适于多输入-多输出系统。 定理 设受控系统状态方程为 （6.12） 要通过状态反馈的方法，使闭环系统的极点位于预先规定的位置上，其充分必要条件是系统（6.12）完全能控。
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证明 下面就单输入-多输出系统的情况证明本定理。这时式（6.12）中B的为一列，记为b。
先证充分性。考虑到一个单输入能控系统通过 的坐标变换可换成能控规范型 式中
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即 , 在单输入情况下，引入下述状态反馈， 其中 ，则引入状态反馈向量 后状态反馈构成的闭环系统状态阵为
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（6.13） 对于式（6.13）这种特殊形式的矩阵，很容易写出其闭环特征方程
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由上式可见，n阶特征方程中的n个系数，可通过 来独立地设置，也就是说 的特征值可以任意选择，既系统的极点可以任意配合着。
再证必要性。如果系统 不能控，就数码系统的有些状态将不受u的控制。显然引入反馈时，企图通过控制量u来影响不能控的极点将是不可能的。
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至此，证明完毕。 考虑到实际问题中几乎所有的系统都是能控的，因此通常总可以利用状态反馈来控制系统的特征值即振型，而这正是状态反馈的重要特征之一。
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二.单输入-单输出系统的极点配置算法 需要解决的是状态反馈增益矩阵的问题。这里给出一种规范算法。 给定能控矩阵对 和一组期望的闭环特征值 ,要确定 维的反馈增益矩阵，使 成立。 第1步：计算A的特征多项式，即
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第2步：计算由 所决定的希望特征多项式，即 第3步：计算
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第4步：计算变换矩阵 第5步：求P； 第6步：所求的增益阵
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应说明的是，以上规范算法也适于单输入-多输出系统；求解具体问题也不一定化为能控规范型，可直接计算状态反馈系统的特征多项式 ，式中系数均为 的函数。
例6.1 给定单输入线性定常系统为：
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再给定一组闭环特征值为： 易知系统为完全能控，故满足可配置条件。现计算系统的特征多项式： 进而计算
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于是，可求得 再来计算变换阵
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或令 于是 同样可得
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三.状态反馈对传递函数零点的影响 状态反馈在改变系统极点的同时，是否对系统零点有影响，下面对此问题作出具体分析。已知对于完全能控的单输入-单输出线性定常受控系统，经适当的线性非奇异变换可化为能控规范型 受控系统的传递函数 为
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引入状态反馈后的闭环系统传递函数 为 （6.15）
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上述推导表明，由于 与 的第n列相同，故 与 的分子多项式相同，即闭环系统零点与受控系统零点相同，状态反馈对 的零点没影响，唯使 的极点改变为闭环系统极点。然而可能由这种情况，引入状态反馈后恰巧使某些极点转移到零点处而构成极、零点对消，这时既失去了一个系统零点，由失去了一个系统极点，并且造成了对消掉的那些极点（即振型）称为不能观测。这也是对状态反馈可能使系统失去能观测性的一个直观解释。
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6.3 多输入-多输出传统的极点配置 设能控的多输入-多输出受控系统动态方程为 （6.16）
6.3 多输入-多输出传统的极点配置 设能控的多输入-多输出受控系统动态方程为 （6.16） 引入状态反馈控制规律 ，式中K为 矩阵，则闭环动态方程为 （6.17）
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适当选择K阵的 个元素，为任意配置n个闭环极点提供了很大的自由，但通常包含大量的数值计算，K阵选择不唯一，导致传递函数矩阵不唯一系统动态响应特性并不相同。这些是多变量系统极点配置问题的特点。其中一种能显著降低K阵的计算量，它是人为地对K阵的结构加以限制，即不采用满秩结构（ ），而采用单位秩结构（ ），这时可将多输入-多输出系统化为等价的单输入系统，于是可进而采用单输入系统的极点配置算法。
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另一种是化为龙伯格能控规范型的极点配置方法，依该法所选的K阵，可使系统有良好的动态响应。下面来分别介绍这两种方法。
一.化多输入-多输出系统为等价单输入系统的极点配置算法 当K阵取为单位秩结构，则K阵只有一个独立的行或列，即令 ，式中 为 向量， 为 向量，于是 ，闭环动态方程为。
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再来看单输入-多输出受控系统，设能控的动态方程为 ， ，引入状态反馈 ，则闭环动态方程为 。显见二者的闭环状态阵全同，具有相同的闭环极点，故K取单位秩结构的实质就是化多输入-多输出系统为等价的单输入系统，这里等价的含意是指闭环极点配置等价。
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K阵取单位秩结构以后，其中含 个待定元素，通常由设计者任意规定 的p个元素，只待确定k的n个元素以配置n个极点。然而，化成的等价单输入系统必须满足能控的条件，才能以 来任意配置极点，即要求
但怎样才能使一个能控的多输入-多输出受控系统，化成一个能控的等价单输入受控系统呢？这里要用到循环矩阵的概念。
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1.循环矩阵及其属性 如果系统矩阵A的特征多项式 等同于其最小多项式 ，则称其为循环矩阵。或者说，预解矩阵 不可简约，即 与 之间无公因子，则为循环矩阵。它有如下一些特征： 1).将循环矩阵化为约当规范型后，每一个不同的特征值仅有一个约当块；
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2). 如果的所有特征值两两相等，则必定是循环矩阵；
3).若A为循环矩阵，其循环性是指：必存在一个向量b，使向量组 可张成一个n维空间，即 能控； 4).若 能控，且A为循环阵，则对几乎任意的 维实向量 ，使单输入系统的矩阵对 为能控（这也是可化为等价单输入系统任意配置极点的充要条件）；
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5).若A为非循环阵，但 能控，则对几乎任意的 实矩阵K， 为循环阵。
下面我们仅对特性1)作一证明。其余特性可由读者自行推导。 证明 设 为A的两两相异的特征值，其重数分别为 ，则可知A的特征多项式： (6.18)
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再表A的约当规范型为： (6.19)
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且有 ， 现令 ，则由矩阵理论可知 （也即A）的最小多项式 为 (6.20) 于是，利用循环矩阵的定义，并由（6.16）和（6.18）即知：A为循环矩阵，当且仅当 ，也即A的约当规范型中每一个不同的特征值仅有一个约当块。至此，证明完毕。
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下面通过举例来补充说明。设 ，则 ，故A为循环矩阵。此时
显见 与 之间无公因子。有 则A则为循环矩阵。
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设 则 这里 ， ，故A为非循环矩阵。
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已知多输入-多输出系统A、B分别为 易知 能控且A为循环矩阵。其等价的单输入系统 其
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只需满足 及 便能保证 能控。唯有 或/和 时， 不能控，故有属性4。
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设A、B分别为 ， 易知 能控，但A为非循环矩阵。引入任意的状态反馈矩阵如 ，其中 为任意非零值，其闭环状 态阵为 ，其特征值两两相异，
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故 为循环矩阵，可以此修正的受控对象来进一步化为等价的单输入系统，即保障了 的能控性，故有属性5。通常 的结构尽可能简单， 数值尽可能小，便可满足循环性要求。于是对非循环的受控对象的极点配置问题需分两步进行：第一步引入 消去A的非循环性，显然这不会改变受控对象的能控性， 是能控矩阵对；第二步再引入单位秩状态反馈矩阵 来配置极点。对原受控对象来说，总的状态反馈矩阵K为
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2.多输入-多输出系统极点配置定理 若（6.16）所示受控对象能控，则通过线性状态反馈 可对 的特征值任意配置，式中K为 实常矩阵。 证 若A为非循环矩阵，现引入 使得 (6.21) 式中 是循环的。因为 能控，所以 能控。
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因而存在一个 维实向量 使得 也能控。 现引入另一状态反馈 ，且取 ，其中k是 实向量。 于是式(6.21)成为 由于 能控，则借助于选择k，就能任意配置 的特征值。
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将状态反馈 与状态反馈 合起来，便得 （为K反馈矩阵）于是定理得证。见图6-4。
若 不能控，则将它们变换成 ， 这时任何状态反馈向量都不能影响 的特征值。
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因此我们判定，能够任意配置 的特征值之充分必要条件是 能控。
图6-4 多变量动态方程的状态反馈
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3.极点配置算法步骤 给定能控矩阵对 和一组期望的闭环特征值 要确定 维反馈增益矩阵K，是式 成立。 第1步：判断A是否为循环矩阵。若不是，消去一个 阶常阵 使 为循环，并定义 ；若是，则直接选取 ；
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第2步：对于循环矩阵 ，通过适当选取一个 维实常向量 ，使得 也能控；
第3步：对于等价单输入问题 ，利用单输入极点配置问题的算法，求出增益向量k； 第4步：当A为循环时，所求增益矩阵 ；当A为非循环时，所求增益矩阵则为 ；
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容易看出，在这一算法中， 和 的选取不是唯一的，有着一定的任意性。从工程实现的角度而言，通常总是希望使得 和 的选取以达到K的各个元素为尽可能地小。但是总的来说，由这种算法得到的K的各反馈增益值往往偏大。
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二.化多输入-多输出系统为龙伯格能控规范型的极点配置算法
由第3章可知，能控的多输入-多输出系统可化为龙伯格能控规范型，其 的对角线上的块阵，均为维数由能控性指数集确定的友矩阵，当引入状态反馈阵 以后，其仍为结构形式相同的龙伯格能控规范型。若将希望闭环极点按该规范型对角线上块阵的维数进行分组，分别确定各组的多项式，便可构造仅含友矩阵的对角线分块矩阵
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,它作为希望的闭环状态阵，经与 相比较便能确定 阵诸元。为了叙述简便，结合一个 的一般性例子来说明算法步骤。
第1步：把能控矩阵 对化成龙伯格能控规范型，例如
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其中S为线性变换矩阵
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第2步：把给定的期望闭环特征值 按龙伯格能控规范型 的对角线块阵的维数，相应地计算
构造希望的闭环状态阵：
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希望特征多项式为 第3步：由 与 相比较确定 ，其中
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令 ，故 为
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第4步：据下列各式计算化为龙伯格能控规范型的变换矩阵 ：
式中 为能控性指数集。求 并按行分块，第1行块含 行，…，第m行块含 行；再由各行块的末行按规则构造变换矩阵 。其中 、 记为
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第5步：所求的状态反馈增益矩阵即为 这种计算过程是很规范化的。计算过程中，主要的计算工作为计算变换阵 和导出龙伯格能控规范型 。而且，由这一算法所求得的K阵诸元的数值常比由算法Ⅰ定出的结果要小得多。这时这种算法的一个优点。并且，如果龙伯格规范型 中对角线块阵的个数愈多，即子块的维数愈小，则这个优点就愈明显。
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例6.2 给定多输入定常系统为规范型： 再给定期望的一组闭环特征值为
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方案1：利用算法Ⅰ，先求出 再根据反馈阵的算式，即得 并且，容易定出，希望的反馈系统的系统矩阵为：
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而其特征多项式就是： 从而满足极点配置要求。
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方案2：先求出 可知期望的闭环系统矩阵应为：
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于是，利用给出的阵A和上述得到的矩阵 ，可得：
由此可定出所要求的反馈增益矩阵为
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上述计算方法实质上即为算法1。 并且，通过比较由两种方案所得到的增益矩阵K可以看出，一般地说，按算法II导出的中元的值从整体上要小于按算法I导出的K中的元。 状态反馈对多输入-多输出系统传递函数矩阵的零点的影响 已知单变量系统引入状态反馈后，通常不改变传递函数零点，该结论对于多输入-多输出系统也是适用的，即状态反馈通常不改变传递函数矩阵的零点。
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注意到在第三章中关于传递函数矩阵的零点的定义，便可将单变量系统的上述结论推广到多输入-多输出系统。但是，传递函数矩阵的诸元的分子多项式是受状态反馈影响而改变的，详见下面举例。
例6.3 考虑一个双输入-双输出线性定常系统，其系数矩阵为：
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容易算出，此系统的传递函数矩阵为： 的极点是 的零点是 。 现引入状态反馈控制，其状态反馈增益阵为：
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则可导出状态反馈系统的各系数矩阵为： 并且，相应地，闭环系统的传递函数矩阵为：
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比较 和 不难看出，状态反馈的引入，使 的极点移动到 但 的零点仍为 ， 的大部分元传递函数的零点与 的元传递函数的零点很不相同。利用状态反馈可以影响受控系统的的 元传递函数的零点这一事实，并注意到极点配置问题中反馈增益矩阵的不唯一性，我们不难得出结论：
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对于可实现相同极点配置的两个不同的反馈增益矩阵 和 ，其相应的闭环系统的传递函数矩阵 和 一般是不相同的，从而也就有不同的状态运动响应和输出响应。显然，在极点配置问题的综合中，应当选取同时使元增益值较小且瞬态响应较好的反馈增益矩阵解。通常按算法II导出的反馈增益矩阵K，较优于其它算法导出的结果。
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6.4 解耦控制 问题描述 设受控系统状态方程为。 其中输入向量和输出向量有相同的维数m。如果 ，则输入与输出之间的关系可用传递矩阵表示：
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上式可展开成 我们称这些方程是耦合的，因为每一个输入都影响所有的输出。如果要在其它输出都不改变的情况下去调整某个输出，通常是十分困难的。
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定义 设如果系统 的传递矩阵 是对角化的非奇异矩阵，则称系统 是解耦的。这样一个系统可以看作是由个独立的子系统所组成。如图6-5所示。
因此寻求一些控制规律使耦合的多变量系统变成解耦的系统，可以使每一个输入仅控制一个输出，即每一个输出仅受一个输入控制。
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图6-5 解耦系统 输入
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– 图6-6 包含输入变换的状态反馈
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考虑多输入-多输出的线性定常系统： （6.22） 其中：x为n维状态向量，u为p维控制向量，y为q维输出向量。引入三个基本假定： （1） ，即输入和输出具有相同的变量个数； （2）控制律采用状态反馈结合输入变换，即 其中K为 维反馈增益阵，L为 维输入变换阵，v为参考输入。
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相应的反馈系统结构图如–图6-6 包含输入变换的状态反馈图6-6所示；
（3）输入变换阵L为非奇异，即有 。 由图6-6可看出包含输入变换的状态反馈系统的状态空间描述为 （6.23） 而其传递函数为 （6.24）
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由已知假定 ，可知 为 维有理分式矩阵。 于是所谓解耦问题就是：对由（6.22）式给出的多变量受控系统，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对 使得状态反馈系统的传递函数矩阵 为非奇异对角线有理分式矩阵，即 其中
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容易看出，为了综合解耦控制问题，将面临两个有待研究的命题。一个是研究受控系统的可解耦性，即建立使受控系统可通过状态反馈和输入变换而实现解耦所应遵循的条件；另一个是给出解耦控制问题的综合算法，以便对于可解耦的系统，确定出所要求的矩阵对 。这些命题的解决，都涉及受控系统传递函数矩阵的某些结构特征参数。
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传递函数矩阵的两个特征量 设 为 维受控系统传递函数矩阵， 为它的第个行传递函数向量，即有
式中 均为严格有理真分式。 再设 为 的分母多项式的次数和 的分子多项式的次数之差，则 的第一个特征向量 定义为 （6.25a）
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显然 必为非负整数。当 给定后， 为唯一确定。
设 的分母多项式至多为n次，当 中有一元的分子多项式阶次为 时，便有 ；当 的所有元的分子多项式阶次均为零且分母多项式阶次均为n时，才有 。故有 ，且 诸元分子多项式的最高阶数为 。用 表示 有
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式中 表示C的第i行。由于 分子多项式的最高阶数为 ，故不存在 ，…， 等阶次更高的项，即有
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考虑 ，将其展开，由同幂项系数相等的条件可导出诸R矩阵为
119
于是又可导出 （6.25b） 该式意味着 是使 的最小正整数k，而 当k=0，1，…，n-1时有 ，则 由式（6.25b）显见，特征量 也可由受控系统的（A，B，C）来确定。 的第二个特征量 定义为 （6.26a）
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为（ ）向量，计算可知 （6.26b） 式（6.26b）表明，特征量 也可由（A,B,C）确定。
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以上确定 的两个特征量的方法，也可用来确定引入{L K}矩阵对以后的闭环传递函数矩阵 的特征量 、 。这时， 的第 行 为
（6.27） 式中
122
且可导出 (6.28)
123
（6.29） 式（6.28）和式（6.29）给出了 和 的定义式。考虑式（6.25），可验证存在下列恒等式 则 对于任意{L K}均成立。考虑 有
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故 （6.30） 与 的关系 有下列恒等式 （6.31） 证
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由于
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即 故式（6.31）得证。
127
可解耦条件 线性定常受控系统（6.22）可采用状态反馈和输入变换即存在矩阵对{L K}进行解耦的充分必要条件，是如下的 维常阵
（6.32） 为非奇异。
128
证明： 必要性：已知对{A B C}存在{L K}可实现解耦，即闭环系统的传递函数矩阵为 由此并利用 的定义，可得
129
这表明 为对角线非奇异阵。再知 ，且L为非奇异，从而即知 为非奇异阵。由此必要性得证。
130
充分性：采用构造性证明，取{L K}为 （6.33） 其中，由已知E为非奇异，故存在 ，而 常阵F定义为： （6.34） 由
131
考虑式（6.25），有
132
故
135
为对角阵且非奇异，即实现了解耦。充分性得证
136
上述分析研究说明： （1）受控系统（6.22）能否采用状态反馈和输入变换来实现解耦，唯一地决定于其传递函数矩阵 的两个特征量 和 。从表面上看，系统的能控性和能镇定性在这里是无关紧要的。但是，从解耦合后的系统要能正常地运行并具有良好的动态性能而言，仍需要求受控系统是能控的，或至少是能镇定的。否则，甚至不能保证闭环系统是渐进稳定的，此时解耦控制也就失去了意义。
137
（2）判断受控系统（6.22）能否采用状态反馈和输入变换来实现解耦，即可从传统的传递函数矩阵描述来组成判别矩阵E，也可从系统的状态空间描述来组成判别矩阵E。
（3）用式（6.33）所示的 ，对可解耦受控系统能实现积分型解耦，解耦后诸单变量系统的传递函数均为多重积分器，但是这种解耦系统的动态性能不能令人满意，故本身并无实际应用价值，它仅是解耦控制的一个中间步骤。
138
由式（6.35）可知，子系统 含有个 积分器，积分型解耦控制系统的动态方程为
（6.36） （4） 能控时， 一定能控，这是由于 与 有相同的秩，则状态反馈不改变系统能控性。当 能控，且 和 都能观测时，必有 ，其中子系统 维数为 。
139
当 能控， 或 不能观测时，必有 时，子系统 的维数 ，记
至于 ，可根据 的能观测性指数集来确定。 对积分型解耦系统附加状态反馈实现极点配置问题 为解决积分型解耦系统的动态性能问题，需采用附加反馈以配置所需极点，但引入该反馈后仍应保证闭环系统是解耦系统。
140
为此，将积分型解耦系统首先变换为解耦规范系统，在解耦规范系统中引入附加状态反馈，可使闭环系统仍然解耦。
现引入一个非奇异线性变换 ，其中
141
（6.37）
142
式中 ， ；符号× 为使 非奇异的任意行向量； ， 为 矩阵， 为 矩阵； 为任取的 个线性无关行向量， 为 的不能观测状态。以上变换实为对积分型解耦系统进行按能观测性的结构分解。可以证明（略），对能控的积分型解耦系统，经以上变换可以化为下列解耦规范型
143
（6.38） 式中，
144
其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式，当 为能观测时，则 中不出现不能观测部分，也无需进行按能观测性分解；
145
此时 。其中 的子系统的形式为
147
式中 是能控子系统， 阶矩阵块 是不能观测，（由 能观测但引入了 后不能观测生成）。还应注意到 阶矩阵块 也是不能观测的（由 不能观测）。
对解耦规范型中的诸子系统 引入状态反馈 ，式中
148
用以实现子系统 的极点配置。而对整个解耦规范系统 所引入的状态反馈控制规律为 ，
式中 （6.39）
149
可得闭环系统动态方程为 （6.40） 还可导出闭环传递函数矩阵
150
（6.41） 和
152
这表明， 的结构形式保证了解耦控制的实现，而
这表明， 的结构形式保证了解耦控制的实现，而 的元则由解耦后的第 个单输入-单输出控制系统的期望极点组所决定。而且，不难看出，由于需保证实现解耦，状态反馈所能控制的不是 的全部特征值。对于不能观测的状态变量必须是稳定的，否则，表示不存在稳定的解耦控制规律。 利用 ，可得原闭环系统动态方程为
153
故原受控对象为实现解耦以及配置极点的 矩阵对应分别为
（6.42）
154
例6.4 给定输入双-输出的线性定常受控系统为：
试设计解耦控制规律。
155
解 易知受控系统能控并且能观测 ①计算 和
157
由此，即可定出 ②判断可解耦性 显然，可解耦性判别阵 为非奇异，因此可进行解耦。
158
③导出积分型解耦系统 定出 再取
159
则有
160
容易看出， 保持为能观测，且 已处于解耦规范型。所以，无需进一步引入变换，也即 。
④相对于解耦规范型确定状态反馈增益矩阵 将 取为：
161
则可得 再来指定解耦后的单输入-单输出系统的期望特征值，分别为：
162
于是，通过求得 从而
163
⑤ 给出给定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对
解耦控制系统的状态方程和输出方程为：
164
而其传递函数矩阵则为： 由以上介绍可以看出，解耦控制大大简化了控制过程，使得对各个输入变量的控制都可以单独地运行。在许多工程问题中，特别是过程控制中，解耦控制有着重要意义。
165
6.5 状态观测器 状态重构问题 前面各节对各种综合问题的讨论中已经充分显示了状态反馈的优越性。不管是系统的极点配置、镇定以及解耦控制，都有赖于引入恰当的状态反馈才能实现。我们把所有的状态变量都假设为同输出一样是可以得到的，但是实际上由于不易直接测量，或者由于测量设备在经济上和使用性上的限制，使得不可能实际获得系统的状态变量，从而使状态反馈的物理实现成为不可能。
166
因此，为了应用状态反馈达到镇定、最优化或解耦的目的，必须先找到状态变量的合理替代者。在本节中，我们将指出如何用动态方程的输入和输出去驱动一个装置，使得该装置的输出逼近状态变量。这种建立近似状态变量的装置称为状态观测器。
167
一.开环形式的状态观测器 设有一个受控系统 ，其状态变量 不一定能取得，因此可以人为地建立一个模拟系统 ，并要求 。两个系统由同一输入 ，如图6-7所示。
168
图6-7 开环形式状态观测器
169
分别写出原系统和模拟系统的动态方程： 原系统 ，模拟系统 ， 根据假设 ，并设 表示两系统状态变量间的偏差，则有 （6.43） 由上式可以看出两系统状态变量偏差的动态特性完全由状态A所决定。
170
求出式（6.43）的时域解： (6.44) 由式(6.44)可以看出只要置状态观测器状态变量的初值 等于原系统的初值 ，则 ，但实际上做不到这一点，所以一般情况下 按式(6.44)变化与初始状态偏差成比例。如果(6.44)中A含有较理想的特征值，如特征值的实部都为负，则衰减速度快，能使 很快趋近于0，实现 → ；
171
如果A含有不稳定特征值，在那么即使 和 间偏差很小，也会导致随着t的增加而使 越来越大。受控对象的A阵往往不够理想，各类扰动因素又难以重构，开环形式的状态观测器没有应用价值，使用的状态观测器都是闭环形式的。本节将介绍两类闭环形式的状态观测器：全维的和降维的。维数等同于受控系统的状态观测器称为全维状态观测器，维数小于受控系统的状态观测器成为降维状态观测器。利用状态观测器实现状态反馈的系统如图6-8所示。
172
二、闭环形式的状态观测器 全维状态观测器 考虑n维线性定常系统 (6.45) 其中，A、B、C分别为 ， 和 实常阵。所谓全维状态观测器，就是以y和u为输入，且其输出 满足如下关系式 (6.46)
173
的一个n维线性定常系统。设计全维状态观测器的步骤：首先，根据已知的系数矩阵A、B和C，按和原系统相同的结构形式，复制出一个基本系统，并与原系统共用同一个输入量u。其次，取原系统输出y和复制系统输出 之差值信号作为修正变量，并将其经增益矩阵L反馈到复制系统中积分器的输入端而构成一个闭环系统，如图6-9所示。
174
显然，这个重构系统是以原系统的可测量变量u和y为输入的一个n维线性系统，其中待确定的系数矩阵只有L。从图6-9可导出全维状态观测器的动态方程为
(6.47) 其中修正项 起反馈作用，它利用 来消除 从而使 ，故有闭环形式的状态观测器之称，该项是为了克服开环形式状态观测器的上述问题而引入的。
175
图6-8 闭环形式的状态观测器
176
图6-9 全维状态观测器
177
考虑到 并将其带入式(6.47)，则此种全维状态观测器的动态方程可表为
(6.48) 相应地观测器的结构图可表为图6-10所示。
178
图6-10 全维状态观测器
179
再设 为真实状态和估计状态间的误差，则可导出
(6.49) 该式表明，不管初始误差 为多大，只要使矩阵 的特征值 (i=1，2，…，n)均具有负实部，那么一定可做到下式成立 即实现状态的渐进重构。进而，如果可通过选择增益阵L而使 (i=1，2，…，n)任意配置，
180
则 的衰减快慢是可被控制的。显然，若 均具有小于- 的负实部，则可断言 的所有分量将以比 要快的速度衰减至零，即可使重构 很快趋于真实状态
则 的衰减快慢是可被控制的。显然，若 均具有小于- 的负实部，则可断言 的所有分量将以比 要快的速度衰减至零，即可使重构 很快趋于真实状态 。不难理解，在 趋于 的过渡过程中，使用 或 作为反馈，系统将有不同的瞬态响应。通常系统状态观测器的响应速度要比状态反馈系统的响应速度要快些。
181
可任意配置极点的条件. 设由式(6. 45)所给出的n维线性定常系统是能观测的，即若{A C}为能观测，则比可采用由(6
可任意配置极点的条件 设由式(6.45)所给出的n维线性定常系统是能观测的，即若{A C}为能观测，则比可采用由(6.48)所表述的全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L而任意配置(A-LC)的全部特征值。 证明：利用对偶原理，{A C}能观测意味着 能控。再利用极点配置问题的基本理论可知，对任意给定的n个实数或共轭复数特征值 ，必可找到一个实常阵K，使式
182
成立。进而由于 与其转置矩阵 具有等同的特征值，故当取 时就能使式 成立，也即可任意配置 的全部特征值。于是，证明完毕。 由上述结论及其证明过程，我们可归纳出设计全维状态观测器的算法。
183
算法 给定被估计系统 ，设 为能观测，再对所要设计的全维观测器指定一组期望的极点 ，则设计全维状态观测器的步骤为：
第一步：导出对偶系统 ； 第二步：利用极点配置问题的算法，由矩阵对 来确定使 的反馈增益阵K； 第三步：取 ；
184
第四步：计算 ，则所要设计的全维状态观测器就为
而即 为 的估计状态。 值得说明的是，当 不完全能观测但不能观测子系统是稳定的，则称受控系统是可检测的，这时观测器可镇定，观测器仍存在，为不能观测子系统的特征值不再能任意配置。
185
例6.5 试求下属系统的全维状态观测器，使观测器的两个极点 ，使
解 ① 系统能观测 ②确定K阵，使
186
令 得
187
③取 ④计算 得到全维状态观测器为 观测器如图6-11所示。
188
图6-11 降维状态观测器
189
降维状态观测器 q维输出系统有q个输出变量总是可由传感器测得的，该q个信息能作为测得的状态，该部分状态便便无需状态观测器重构，而可直接加以利用，带有状态观测器估计的状态数目可以降低，称这类状态观测器为降维观测器。降维观测器的最小维数为(n-q)，这时只需用较少的积分器，简化了状态观测器的结构。 由于输出变量通常是状态变量的线性组合，并不是用于状态反馈所需要的状态变量。
190
为了使所测得的输出变量能当作状态反馈所使用的状态变量，需选择一个特定的非奇异线性变换，将受控对象的状态向量经过该特定变换，使其中部分状态正是受控系统的输出向量，而其余(n-q)个状态向量则由降维状态观测器重构。因此，降维状态观测器的设计关键便是：选择特定的非奇异线性变换，使原受控对象的状态变量变成输出向量及(n-q)维向量两个子向量，并获得(n-q)维子系统的动态方程。
191
根据(n-q)维子系统动态方程，便可构造(n-q)维状态观测器，其基本的设计步骤便于全维状态观测器的设计类同了。状态反馈需用的状态信息则由输出量传感器及降维状态观测器联合提供
设受控系统的动态方程为 (6.50)
192
假定 能观测，rankC=q。引入下列特定的非奇异线性变换
(6.51) 式中P按如下方式构造 (6.52) R可以任意选择，通常选择 的某些行向量，使P非奇异即可。再计算P的逆阵且表为分块阵，即
193
显然有 (6.53) 式中 。 变换后受控对象动态方程为
194
现令 和 分别为q和(n-q)维分状态，则可把上式进一步表示为
(6.54) 其中 分别为 和 矩阵， 分别为 矩阵。
195
并且，由式(6.54)可以看出，变换后的分状态 即为系统的输出 ，顾客直接利用而无需对其重构，这里所要重构的仅是(n-q)维分状态 。
由式(6.54)导出相对于 的状态方程和输出方程： (6.55) 进而定义输入 和输出 ，那么还可以把式(6.55)表示为如下的规范形式
196
(6.56) 并且， 能观测的充分必要条件是 能观测。式(6.56)便是(n-q)维子系统动态方程。 (n-q)维状态观测器的构造与分析设计 由于 能观测，故知此(n-q)维状态观测器必存在，其形式为： (6.57)
197
并且，可通过选择 而任意配置 的全部特征值。再将 和 的定义式代入(6.57)，可得：
(6.58) 易见上式中包含输出的导数 ，从抗扰动性的角度而言这是不希望的。为此，通过引入 来达到在观测器中消去 的目的。这样，由式(6.58)和(6.59)就可导出：
198
可以看出，这是一个以u和y为输入的(n-q)维动态系统，且 的特征值是可以任意配置的。而且， 的重构状态即为：
199
对于变换状态 的重构状态 ，可容易导出为 考虑到 ，所以相应地也有 。于是，进而可定出系统状态 的重构状态 为
200
根据上述分析结果，即可得出给定系统(6.58)的(n-q)维降维状态观测器。
现在，我们来对降维状态观测器和全维状态观测器做一比较。从结构上看，降维观测器只需(n-q)个积分器，远较全维观测器需要n个积分器为少。从抗干扰性上看，由于降维观测器中y通过增益阵 直接传递到其输出端，所以若y中出现干扰时它们将全部出现于x中；
201
而在全维观测器中，y需经积分器滤波后才传送到输出端，从而x中由y包含的干扰所引起的影响已大为减小。这表明，在工程应用中，究竟是采用降维观测器还是全维观测器，应视具体情况来加以确定。
202
分离定理 在状态反馈中，利用估计状态 进行反馈和利用真实状态x进行反馈之间究竟有无差别？下面就讨论这一问题。
带状态观测器的状态反馈控制系统，由于系统方程为n维，而状态观测器也为n维，所以整个闭环控制系统为2n维。其实现的结构图如图6-12所示。
203
图6-12 带观测器的系统
204
从图6-12可见，整个闭环系统状态方程可写成 (6.61) (6.62) (6.63) 上述方程可写为矩阵形式
205
整个系统为2n维，故设此复合系统为
206
将上式进行坐标变换 令坐标变换矩阵 设经过变换后系统为 ，则
207
系统 的特征方程和传递矩阵与原系统 的特征方程和传递矩阵完全相同。
208
已知下列分块矩阵 若分块R和T为可逆，则 利用上式计算 ，可得
209
系统 的闭环传递函数矩阵也就是 的闭环传递函数矩阵，可验证如下：
210
由此可见，复合系统传递函数矩阵和用准确的作为反馈时的传递函数矩阵完全相同。因此由观测器给出作为状态反馈并不影响复合系统的特性。
211
除此之外，由于 故复合系统的特征多项式等于矩阵 与矩阵 的特征多项式的乘积。
212
其中 是状态反馈系统的状态阵， 是观测器系统的状态阵，上式表明，控制系统的动态特性与观测器的动态特性是相互独立的。这个特性表明：只要系统
其中 是状态反馈系统的状态阵， 是观测器系统的状态阵，上式表明，控制系统的动态特性与观测器的动态特性是相互独立的。这个特性表明：只要系统 是能控的，同时又是能观测的，则可按极点配置的需要选择反馈控制阵K，然后按观测器动态特性的要求选择L，L的选择并不影响配置好的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可以分开进行，即状态反馈控制律的设计和观测器的设计可以独立分开进行。通常，称这个性质为分离原理。
213
显然，分离原理为闭环控制系统的设计提供了很大方便。
通常把反馈矩阵K并入观测器系统，如图6.13所示。观测器和K所组成的系统称作控制器。
214
图 6-13 控制器
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