第六章 周期场中的电子态（能带理论） 第六章 晶体的周期性结构决定了声子的色散关系

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1 第六章 周期场中的电子态（能带理论） 第六章 晶体的周期性结构决定了声子的色散关系
对于电子，周期性结构导致电子处于周期性势场中，从而对电子态起决定性作用，结果电子的能量可用一系列的能带表示。电子的能量和电子波矢有确定的色散关系:能带结构 声频支和光频支格波之间有一定宽度的频隙 各个许可能带之间有一定间隔的能量不能为电子所有：禁带

2 §6.3 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 第六章 1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子
§6.3 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 第六章 1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场 周期性势场的起伏量作为微扰来处理

3 第六章 1）零级近似下电子的能量和波函数 电子的能量和波函数 一维N个原子组成的金属，金属的线度 零级近似下 薛定谔方程 波函数和能量本征值

4 第六章 满足周期边界条件 —— l 为整数 波函数满足 正交归一化 2）微扰下电子的能量本征值 哈密顿量

5 第六章 根据微扰理论，电子的能量本征值 一级能量修正

6 第六章 二级能量修正 —— —— 按原胞划分写成 —— 引入积分变量

7 第六章 利用势场函数的周期性 i) ii)

8 第六章 将 和 代入 —— 周期场V(x)的第n个傅里叶系数

9 第六章 二级能量修正式

10 第六章 计入微扰后电子的能量

11 第六章 3）微扰下电子的波函数 电子的波函数 波函数的一级修正

12 第六章 计入微扰电子的波函数

13 第六章 令 可以证明 电子波函数 —— 具有布洛赫函数形式

14 电子波函数的意义 第六章 i) 电子波函数和散射波 — 波矢为k的前进的平面波 — 平面波受到周期性势场作用产生的散射波 散射波的波矢
相关散射波成份的振幅

15 第六章 散射波 相邻原子的散射波有相同的位相 电子入射波波长 —— 布拉格反射条件在正入射时的结果

16 第六章 入射波波矢 散射波成份的振幅 波函数一级修正项 —— 微扰法不再适用了

17 第六章 ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用 在原来的零级波函数 中 掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 —— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大

18 第六章 当 时 —— 两个状态具有相同的能量 —— 导致了波函数的发散

19 第六章 电子能量的意义 二级能量修正 当 —— 电子的能量是发散的 k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的

20 4）电子波矢在 附近的能量和波函数 第六章 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成 状态 其中 是一个小量
4）电子波矢在 附近的能量和波函数 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成 状态 其中 是一个小量 周期性势场中，对其有主要影响的状态 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响

21 第六章 状态 对状态 的影响

22 第六章 简并波函数 薛定谔方程 考虑到 得到

23 第六章 分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分 利用 线性代数方程 a, b有非零解 能量本征值

24 第六章 i) 波矢k离 较远，k状态的能量和状态k’差别较大 将 按 泰勒级数展开

25 第六章

26 第六章 —— k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高 原来能级较低的k下降 —— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 —— 能级间“排斥作用”

27 第六章 ii) 波矢k非常接近 ，k状态的能量和k’能量差别很小 将 按 泰勒级数展开

28 第六章

29 第六章 结果分析 i) 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态 能量降低

30 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-
第六章 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-

31 第六章 ii) 当   0 时  > 0,  < 0 两种情形下完全对称的能级图 A和C、B和D代表同一状态 它们从>0, <0两个方向当0的共同极限

32 2. 能带和带隙（禁带） 第六章 —— 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线
—— 微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大 即满足 —— k状态不计二级能量修正 —— 抛物线

33 第六章 当电子的 和 两种情形时 存在一个状态 ，和 状态能量相同 在 存在一个状态 ，和 状态能量相近 —— 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用 由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开 能量的突变

34 第六章 能量本征值在 断开 两个态的能量间隔 禁带宽度

35 第六章 电子波矢取值 —— 对于一个l，有一个量子态k 能量本征值 —— 当N很大时，Ek视为准连续 能量本征值在 处断开 —— 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带

36 能带及一般性质 第六章 自由电子的能谱是抛物线型 —— 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界 ——发生能量跃变 产生了的禁带宽度为：
在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近

37 第六章 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列能带 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级

38 第六章 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系 能带序号 k的范围 k的长度 布里渊区 第一布里渊区 第二布里渊区 第三布里渊区

39 第六章 每个能带中包含的量子态数目 波矢k的取值 k的数目 每个能带对应k的取值范围 各个能带k的取值数目 —— 原胞的数目 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态

40 §6.4 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 第六章 1. 模型和微扰计算
—— 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场 势场的平均值 周期性势场起伏量 —— 微扰来处理 电子的波动方程 晶格周期性势场函数

41 零级近似下电子的能量和波函数 第六章 零级近似下就是自由电子的能量和波函数： 金属 —— 个原胞构成，体积 零级哈密顿量 薛定谔方程
金属 —— 个原胞构成，体积 零级哈密顿量 薛定谔方程 电子的波函数 能量本征值

42 第六章 周期性边界条件： 电子的波矢 电子的零级本征波函数 满足正交归一化条件

43 第六章 微扰时电子的能量和波函数：近自由电子近似模型 微扰的情形 微扰后电子的能量 电子的波函数

44 第六章 电子的能量 一级能量修正 二级能量修正

45 第六章 电子的波函数 一级修正 矩阵元 的计算 引入积分变量

46 第六章 应用

47 第六章 当上式中 —— 为整数 则有 任意一项不满足 则有

48 第六章

49 第六章 波函数一级修正 电子的波函数

50 第六章 波函数 因为 波函数 —— 不变 波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积

51 第六章 微扰后电子的能量

52 第六章 当 和 的零级能量相等 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大

53 第六章 三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不再适用

54 简单立方晶格中的倒格子空间 第六章 A和A’两点相差倒格矢 两点零级能量相同 四点相差一个倒格矢，零级能量相同
三维情形中，简并态的数目可能多于两个

55 2. 布里渊区和能带 第六章 简单立方晶格k空间的二维示意图 在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域
每个区域内E~k是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区

56 布里渊区和能带 第六章 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 不同的布里渊区对应不同的能带 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积
每个能带的量子态数目：2N（计入自旋） 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能带发生重叠

57 第六章 二维正方格子 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上能量最高点C C点的能量比第二布里渊区B点高

58 第六章 第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠