高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学（一） —— 一元微积分学 第二十六讲 定积分的基本定理.

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1 高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学（一） —— 一元微积分学 第二十六讲 定积分的基本定理

2 第六章 函数的积分 本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
第六章 函数的积分 本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。

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4 第六章 函数的积分 第二节 定积分的基本定理 一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式

5 一. 积分上限函数 (变上限的定积分)

6 积分上限函数的几何意义

7 积分上限函数的几何意义 曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。

8 所以，我们只需讨论积分上限函数.

9 定理 1 证

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11 这说明了什么 ？

12 定理 2

13 就是说，我们猜想的结论成立.

14 定理 3 (在端点处是指的 左右导数 )

15 例1 定积分与积分变量的记号无关.

16 例2 解 这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?

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18 例3 下面再看定理 2 . 解 罗必达法则

19 定理 2

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21 定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题 .

22 二. 微积分基本公式 1. 原函数的定义 定义

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24 例4

25 定理 定积分的计算归结为求相应的原函数的计算.

26 什么样的函数的原函数一定存在？ 问 题

27 定理 推论1 推论2 推论3

28 几个问题

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31 从微积分基本定理来看:

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34 不是初等的

35 2. 微积分基本公式 基本公式

36 定理

37 例5 问题的关键是如何求一个 函数的原函数.

38 例6

39 例7 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.) 解 怎么办？

40 不定积分、定积分 积分中值定理 拉格朗日中值定理 函数的可微性

41 例8 解 由积分中值定理

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43 作业 P 1，3大题 偶数小题