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CH 6 傅里叶积分变换 1、傅立叶积分 傅立叶变换 2、 3、傅立叶变换的性质 4、卷积及傅立叶变换的应用
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§ 6.1 傅立叶(Fourier)积分 1.主值意义下的反常积分 2.Fourier积分公式
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1. 主值意义下的反常积分 定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上 都可积.若极限 存在,则称在主 值意义下 在区间 上的反常积分
定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上 都可积.若极限 存在,则称在主 值意义下 在区间 上的反常积分 收敛,记为:
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由定义 (1)函数在普通意义下收敛,在主值意义下必收敛, 在主值意义下收敛,在普通意义下未必收敛; (2)若函数为偶函数则意义一致;
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例1 解:
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2. Fourier积分公式
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定义2:
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定理1(傅里叶积分定理):
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例1. 求下列函数的傅里叶积分表达式. 解:
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§ 6.2 傅立叶(Fourier)积分变换 1.傅里叶积分变换的概念 2.单位脉冲函数
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若函数为奇函数或偶函数时,积分式可改为特殊三角结构
1. Fourier积分变换及逆变换 若函数为奇函数或偶函数时,积分式可改为特殊三角结构 定义: 频谱函数 ℱ ℱ ℱ
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例1. 求下列函数的傅里叶变换. 解: ℱ ℱ
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例2. 求下列函数的傅里叶变换及逆变换. 解: ℱ
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由傅里叶积分定理:
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练习: 求下列函数的傅里叶变换. 解: ℱ
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2. 函数的概念 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量(点源),或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.
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1)引例 在原本电流为零的电路中,在时间t=0 时刻进入一单位电量的脉冲,现在需要确定电流
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其物理意义:在某时刻出现宽度无限小,幅度无限大,面积为1的脉冲
定义: 满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数( ) 其物理意义:在某时刻出现宽度无限小,幅度无限大,面积为1的脉冲 1 o
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定理: 频率 振幅
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积分中值定理
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ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ
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由此得: ℱ ℱ ℱ ℱ
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ℱ ℱ
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例2. 计算下列各式. ℱ 1) ℱ 2) 1) 解: ℱ 2) ℱ
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练习: ℱ 2) ℱ 1) 解: ℱ 1) ℱ 2) =
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ℱ
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证明: ℱ ℱ ℱ
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§ 6.3 傅立叶变换的性质 1.线性性质 2.位移性质 3.微分性质 4.对称性与相似性 5.积分性质
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1.线性性质 ℱ ℱ
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练习: ℱ 1) ℱ 2) ℱ ℱ ℱ ℱ
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2.位移性质 ℱ ℱ ℱ 证明: ℱ ℱ 参数 同理可证第二部分
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练习: ℱ 1) ℱ 2) 解: 1) ℱ ℱ 2) ℱ ℱ =
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推论: ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ
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3.微分性质 ℱ ℱ 证明: ℱ ℱ
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推论: ℱ ℱ ℱ
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例1:计算. ℱ 1) ℱ 2) ℱ 4) ℱ 3)
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练习: ℱ 2) ℱ 1) ℱ 3)
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4.对称性与相似性 1)对称性 ℱ ℱ 变量替换 2)相似性 ℱ ℱ ℱ
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例2: ℱ 计算 ℱ 解得
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例3: ℱ ℱ 求(1) ℱ (2) ℱ 解:(1) 或:(1) ℱ ℱ (2) ℱ (2) ℱ
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5.积分性质 ℱ 证明: ℱ
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练习: ℱ 1) ℱ 2) ℱ 3) ℱ 4) 5) ℱ
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1.线性性质 ℱ ℱ 2.位移性质 ℱ ℱ 3.微分性质 ℱ ℱ
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4.积分性质 ℱ
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§ 6.4 卷积及傅立叶积分变换的应用 1.卷积的概念 2.傅里叶变换的应用
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1.卷积的定义及其存在性 定义:
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例1. 求下列函数的卷积. 解:
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例2. 求下列函数的卷积. 解:
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练习:对函数 解:
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2.卷积的性质 证明:
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证明:
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3.Fourier变换的卷积定理 ℱ ℱ 证明: ℱ
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例3. 证明Fourier变换的积分性质. ℱ 证明: ℱ
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ℱ ℱ ℱ ℱ
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4.Fourier变换的应用 例4. 求特殊函数的积分.
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例5:求解下列积分方程. 解:
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例6: 一般思想为:将方程两端同时进行傅里叶变换,将微积分方程转换为代数方程,从而求解出像函数,最后通过像函数解出原函数。
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