计算方法 第2章 数值微分与数值积分 2.1 数值微分.

Presentation on theme: "计算方法 第2章 数值微分与数值积分 2.1 数值微分."— Presentation transcript:

1 计算方法 第2章 数值微分与数值积分 2.1 数值微分

2 第2章 数值微分与数值积分 2.1 数值微分 2.2 数值积分 2.3 复化数值积分 2.4 Romberg算法 2.5* Gauss型积分

3 本章要点 商 等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式 本章作业 P68

4 2.1 数值微分 先看一个实例: 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 试计算美国20世纪的年增长率
2.1 数值微分 先看一个实例: 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 年份 人口 试计算美国20世纪的年增长率

5 表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有:
在实际问题中，往往会遇到某函数f(x) 是用表格 表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有: 一. 运用差商求数值微分 运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分

6 一. 运用差商求数值微分 最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.

7 向前差商 由Taylor展开 因此，有误差

8 向后差商 由Taylor展开 因此，有误差

9 中心差商 由Taylor展开 因此，有误差

10 由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入
误差增大，所以，有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则 时的步长h/2就是合适的步长

11 例： f(x)=exp(x) h f’(1.15) R(x) 0.10 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008
0.09 3.1622 0.04 3.1588 0.08 3.1613 0.03 3.1583 0.07 3.1607 0.02 3.1575 0.06 3.1600 0.01 3.1550

12 二、插值型求导公式 (1)

13 对(1)式两边求导,有 (2)

14 由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式, 而高次插值会产生Runge现象,因此实际应用中 多采用低次插值型求导公式
(2) (3) (2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差 由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式, 而高次插值会产生Runge现象,因此实际应用中 多采用低次插值型求导公式

15 低阶插值型求导公式 1.两点公式

16 (4) (5) (4)(5)式称为带余项的两点求导公式 精度1阶 即

17 2.三点公式

18

19 其中(7)式又称为中点公式,其精度稍高 --------(6) --------(7) --------(8)
(6)(7)(8)式称为带余项的三点求导公式 其中(7)式又称为中点公式,其精度稍高 精度2阶 在分段求导公式中有着重要的地位

20 *3.五点公式 (9)

21 组(9)称为带余项的五点求导公式 精度4阶 并且当步长h越小时,误差会越小 但是不是h越小公式越好呢?
综合考虑上述三种公式,可知五点公式的精度最高 并且当步长h越小时,误差会越小 但是不是h越小公式越好呢?

22 先用精度较高的分段五点公式求出节点处的导数值
例: 回到实例(美国人口) 解: 则 求增长率必须先求导数 先用精度较高的分段五点公式求出节点处的导数值 x'= r=dx/dt/x =

23 三、样条求导公式 Lagrange插值型求导公式构造比较简单 但由于误差的原因，只能求出节点处的导数 其缺点显而易见 (13)

24 Hermite 插值

25 从而 (18) (19) 样条求导公式的优点: 可以求非节点处的1~2阶导数 精度较高 样条求导公式的缺点: 要求预知边界条件 比较复杂 要解三对角方程组

26 四. 运用数值积分求数值微分

27 得到

28 解：将数值积分公式代入

29

30