利用定积分求平面图形的面积.

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1 利用定积分求平面图形的面积

2 （一）复习回顾 定积分的几何意义 （1）当f(x) ≥0时， 表示的是y=f(x)与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。
思考：函数f（x）在闭区间上积分值小于0，能不能说f（x)图像一定在x轴下方呢？

3 （二）例题分析 例1.求如图所示（y=sinx）阴影部分图形的面积。 分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；
-∏ ∏ 1 -1 y x o 一部分是x轴上方的图形的面积（记为s1）; 另一部分是x轴下方图形的面积（记为s2）. 根据图像的性质： s1 =s2. 所以，所求阴影部分的面积是4..

4 思考变式一： 1、函数 在区间 上图像与x轴所围 成图形面积？

5 y x o 思考变式二： 2、求如下图形中阴影部分面积

6 例2.求抛物线y=x 与直线y=2x所围成平面图形的面积。
解 : 画出抛物线y= 与直线y=2x所围成的平面图形，如图所示。 o 2 x 4 y 求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0，0）和（2，4）。 设所求图形的面积为S，根据图像可以看出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成平面图形的面积（设为S1）减去抛物线y= ，直线x=2以及x轴所围成的图形的面积（设为S2）。

7 ∵

8 小结： 求曲线 与直线 围成的图形的面积。 求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限；
（3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。 求曲线 与直线 围成的图形的面积。

9 抽象概括： 想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)>g(x))以及直线x=a，x=b所围成的平面图形（如图1）的面积S，则 y x o a b y=f(x) y=g(x) s y y=f(x) s y=g(x) a b o x x y o a b y=g(x) y=f(x) s 图1 图2 图3 想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？

10 例3.求曲线x= 和直线y=x-2所围成的图形的面积。
o x 4 2 1 -2 -1 y=x-2 x= 解：阴影部分面积 S=S1+S2. S1由y= ，y= ， x=1围成： x=1 s1 s2 S2由y= ，y= x-2 ， x=1围成：

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12 （三）练习 1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。
2.求由曲线xy=1及直线x=y，x=3所围成的平面图形的面积。 3.求曲线y=sinx(x∈[ ])和y=cosx(x ∈[ ]) 围成的平面图形的面积。

13 （四）总结 （1）利用定积分求所围平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。
（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要合理分区域积分求面积。

14 （五）课后作业 课本P90习题4-3 第1、2、3题。