第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 四、 小结.

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1 第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 四、 小结

2 一、格林公式 单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域
区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域

3 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 ——格林公式 其中L是D的取正向的边界曲线 >>> 应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

4 格林公式: 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则 提示 在格林公式中 令Py Qx 则有

5 格林公式: 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A 解 设L是由椭圆曲线 则

6 格林公式: 用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域 解 因此, 由格林公式有 提示:

7 格林公式: 用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域 解 因此, 由格林公式有

8 格林公式: 用格林公式求闭曲线积分 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令P2xy Qx2 则 因此 由格林公式有

9 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得 提示 当x2y20时 有

10 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r2(r>0) 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得 其中l的方向取顺时针方向 于是

11 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数
与路径无关 否则说与路径有关 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 等式

12 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2-)是G内一条任意的闭曲线 而且有

13 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法)

14 应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 讨论 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线 L的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？ 提示 >>>

15 物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
解 这里P2xy Qx2 选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线

16 du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy
三、二元函数的全微分求积 二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy 表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢？

17 定理3 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的 充分必要条件是等式 在G内恒成立 >>> 原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 则函数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数.

18 求原函数的公式

19 半平面内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数
取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线 则所求函数为 解 这里 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 是某个函数的全微分

20 例7 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数
解 这里Pxy2 Qx2y 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到 B(x y)的折线 则所求函数为

21 四、小结 1.格林公式 2.平面上曲线积分与路径无关的条件 3.二元函数的全微分求积