第三节 中值定理 导数的应用 § 2.3.1 中值定理 § 2.3.2 洛必达法则 § 2.3.3 泰勒公式 § 2.3.4 导数的应用.

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1 第三节 中值定理 导数的应用 § 中值定理 § 洛必达法则 § 泰勒公式 § 导数的应用

2 § 中值定理 一、罗尔( Rolle )定理 费马(fermat)引理 存在 且 证: 设 则 证毕

3 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此

4 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 则至少存在一点 使 则由费马引理得 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 2) 通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点）.

5 例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 设 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真!

6 例2. 设 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 要证 分析: 即 证明 设 容易验证证 在 上满足罗尔定理条件. 由罗尔定理定理得.至少存在一个x, 使得 即 从而

7 二、拉格朗日中值定理 观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等 问题： 直线AB的斜率k=? f (x)?
提示： 直线AB的斜率

8 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)0 即
拉格朗日中值定理 满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 则至少存在一点 证明 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)0 即 j ( x ) = f - a b . 由此得 f(b)f(a)f (x)(ba)

9 几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦

10 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则 则 推论: 若函数 在区间 I 上满足 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 .

11 例3. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 自证:

12 例4. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有 即 因为 故

13 三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
则至少存在一点 使 几何意义

14 证

15 证明 例5. 设 至少存在一点 使 证: 结论可变形为 设 则 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点  , 使 即

16 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理 拉格朗日中值定理 罗尔定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 关键:
利用逆向思维 设辅助函数 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论

17 思考与练习 1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 2) 设 方程 有 个根 , 它们分别在区间
上.

18 2. 若 可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点. 提示: 设 欲证: 使 只要证 亦即 作辅助函数 验证 在 上满足 罗尔定理条件.

19 § 洛必达法则 函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: ( 或 型) 函数之商的极限 转化 洛必达法则 导数之商的极限

20 一、 型未定式 定理 1. 存在 (或为 ) (洛必达法则) 则

21 定理条件: 存在 (或为 ) 证: 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故 (  在 x , a 之间)

22 洛必达法则 推论1. 定理 1 中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2. 若 理1条件, 则

23 例1. 求 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !

24 例2. 求 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ?

25 型未定式 二、 定理 2. 存在 (或为∞) 则 (洛必达法则) 注: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.

26 例3. 求 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式

27 例5. 求 (2) n 不为正整数的情形. 存在正整数 k , 使当 x > 1 时, 从而 用夹逼准则 由(1)

28 说明: 1) 例3 , 例4 表明 时, 后者比前者趋于 更快 . 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则 例3. 例4. 而

29 3) 若 例如, 极限不存在

30 三、其他未定式: 解决方法: 洛必达法则

31 例6. 求 解: 原式 例7. 求 解: 原式

32 例8. 求 利用 例5 解: 例9 解

33 例10. 求 解: 注意到 ～ 原式

34 内容小结 洛必达法则 令 取对数

35 思考与练习 1. 设 是未定式极限 , 如果 极限 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . ～ 分析: 原式

36 3. ～ 分析: 原式 ～

37 § 2.3.3 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 1.问题的提出 根据函数的微分, 有
§ 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 1.问题的提出 根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时), 略掉o(x-x0), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式Pn(x)来近似表达f(x).

38 Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n
2. 系数的确定 设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n1)阶导数, 我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式 Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等: f(x0)Pn(x0), f (x0)=Pn(x0), f (x0)Pn(x0), f (x0)Pn(x0),      , f (n)(x0)Pn(n)(x0).

39 令 则 故

40 3. 余项估计 令 (称为余项) , 则有

41

42 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 则当 时, 有 ① 其中 ② 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .

43 * 可以证明: 注意到 ③ 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 ④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
④ 式成立

44 特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见 误差

45 在泰勒公式中若取 则有 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式 若在公式成立的区间上 则有误差估计式

46 二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中

47 其中

48 类似可得 其中

49 其中

50 已知 类似可得 其中

51 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.

52 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 因此 由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,

53 例2. 用近似公式 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到

54 2. 利用泰勒公式求极限 解 原式

55 例4 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限
解 由于分式的分母 所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即

56 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 .

57 2. 常用函数的麦克劳林公式 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 , (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等.

58 思考与练习 计算 解: 原式

59 § 2.3.4 导数的应用 一、函数单调性的判定法 定理1 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导
§ 导数的应用 一、函数单调性的判定法 定理1 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2(x1<x2) 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1<x<x2) 因为f (x)>0 x2x1>0 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)>0 即 f(x1)<f(x2)  这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加

60 函数yexx1的定义域为( ) 因为在( 0)内
y<0 所以函数 yexx1在( 0]上单调减少 因为在(0 )内y>0 所以函数 yexx1在[0 )上单 调增加 例2 讨论函数 3 2 x y = 的单调性 . 解 函数的定义域为( ) 3 2 x y = ( 0) , 函数在 处不可导 . 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加

61 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论 例3. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 利用 划分函数的定义域,列表讨论.

62 例4. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为

63 例5 . 证明 : 当 x > 1 时 , 3 2 - ) 1 3 ( 2 x f - = 证明 : 令 , 则 因为当x>1时 f (x)>0 所以f(x)在[1 )上f(x)单调增加 因此当x>1时 f(x)>f(1)=0 即 也就是 x 1 3 2 - > ( 1) .

64 例6. 证明 时, 成立不等式 证: 令 且 因此 从而

65 二、曲线的凹凸性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方

66 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .

67 观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系. 定理2(曲线凹凸性的判定法)
设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的

68 定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的 例7 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x<0时 y<0 所以曲线在( 0]内是凸的 因为当x>0时 y>0 所以曲线在[0 )内是凹的 (0,0)是曲线的拐点.

69 例8. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 注: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 . 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点.

70 例9. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 凹 凸 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 .

71 例10. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 凹 凹 凸 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点.

72 例11. 证明不等式 证明 设 则 当n>1时;在(0,+∞) 所以在(0,+∞)内, f(t)是凹函数,所以对于任意的x,y 满足 有 即 所以

73 + – 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 拐点
— 连续曲线上有切线的凹凸分界点

74 思考与练习 上 则 1. 设在 或 的大小顺序是 ( ) B 提示: 利用 单调增加 , 及

75 2. 曲线 的凹区间是 ; 凸区间是 及 ; 拐点为 . 提示: 3 . 证明: 当 时， 有 提示: 令 , 则

76 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0))
三、函数的极值及其求法 函数的极值 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 如果对于任意xU(x0)有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 。 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极值是函数的 局部性质. 对常见函数, 极值可能出现 在导数为 0 或不存在的点. x1 x2 x3 x4 x5

77 定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0. 驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点. 思考: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 思考: 极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值点,但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.

78 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值.
定理 2 (极值第一判别法) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 点击图中任意处动画播放\暂停 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值.

79 例12. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为

80 定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 .

81 例13 求函数f(x)(x21)31的极值 解 f (x)6x(x21)2 令f (x)0 求得驻点x11 x20 x31 f (x)6(x21)(5x21) 因为f (0)60 所以f (x)在x0处取得极小值 极小值为f(0)0 因为f (1)f (1)0 所以用定理3无法判别 因为在1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值

82 例14 试问 为何值时, 在 时取得极值 , 求出该极值, 并指出它是极大 还是极小. 解: 由题意应有 又 取得极大值为

83 四、最大值与最小值问题 则其最值只能 若函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法:
点为x1 x2     xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1)     f(xn) f(b) ; (3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在[a b]上的最 大值 最小者是函数f(x)在[a b]上的最小值 特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大(小) 值 , 则也是最大(大) 值 . 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出.

84 例15. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5.

85 例16. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 Km , AC⊥ AB ,
要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 20 D 点应如何选取? 解: 设 则 总运费 ( k 为某一常数 ) 令 得 又 所以 为唯一的 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .

86 例17. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 故所求 驻点只一个, 结果就是最好的选择 .

87 例18. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 令 得驻点 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又 唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .

88 内容小结 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 为极大值 过 由正变负 过 由负变正
为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .

89 B D 思考与练习 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. 2. 设 在
的某邻域内连续, 且 D 则在点 处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 .

90 A 且 3. 设 是方程 的一个解, 若 则 在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ;
3. 设 是方程 的一个解, A 若 且 则 在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:

91 五、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
或为“纵坐标差” 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 无渐近线 .

92 1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 例19. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为垂直渐近线.

93 2. 斜渐近线 ( P75 题13) 若 斜渐近线

94 的渐近线 . 例20. 求曲线 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 .

95 六、函数图像的描绘 描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数 求出一阶、二阶导数
为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形

96 (2)f (x)3x22x1(3x1)(x1) f (x)6x22(3x1)
例21 画出函数yx 3x 2x1的图形 解 (1)函数的定义域为( ). (2)f (x)3x22x1(3x1)(x1) f (x)6x22(3x1) 令f (x)0得x1/3 1 令f (x) 0得x1/3 (3)曲线性态分析表 (,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) (1 ) 1 x f (x) f (x) f (x) ＋ － － ＋ ↗∩ 32/27 极大 ↘∩ 16/27 拐点 ↘∪ 极小 ↗∪ (4)特殊点的函数值: f(0)1, f(1)0, f(3/2)5/8.

97 解 (1)函数f(x)的定义域为(-, +) f(x)是偶函数 图形关于y 轴对称
例22 解 (1)函数f(x)的定义域为(-, +) f(x)是偶函数 图形关于y 轴对称 令f (x)=0 得x=0 令f (x)=0 得x=-1和x=1 (3)曲线性态分析表 (1, +) 1 (0, 1) x f (x) f (x) yf(x)的图形 － － ＋ ↘∩ 极大 拐点 ↘∪ (4)曲线有水平渐近线y=0

98 先作出区间(0,+)内的图形 然后利用对称性作出区间(-, 0)内的图形

99 例23 解 (1)函数的定义域为( 3)(3 ) 令f (x)0得x3 令f (x)0得x6 (3)曲线性态分析表: (-, -3) (-3, 3) 3 (3, 6) 6 (6, +) x f (x) f (x) yf(x)的图形 － ＋ ↘∩ ↗∩ ↘∪ 11/3拐点 4极大 (4)曲线有铅直渐近线x=-3与水平渐近线y=1 (5)特殊点的函数值 f(0)=1 f(-1)=-8 f(-9)=-8 f(-15)=-11/4

100 6 3 9 12 -3 -6 -9 -12 -15 x=-3 (3,4) y=1 (-1,-8) (-9,-8)

101 七、曲率 1 弧微分 曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有 连续导数 在曲线yf(x)上取固定点
七、曲率 弧微分 s>0 曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有 连续导数 在曲线yf(x)上取固定点 M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并 规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 有向弧段 的值 M M0 ( s<0 对曲线上任一点 M(x y) M M0 ( 规定有向弧段 的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0

102 弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)
上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 或者

103 2、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． ) ) 弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.

104 曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 转角为 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率
弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !

105 例24. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .

106 曲率K 的计算公式 设曲线弧 则由 二阶可导, 又 故曲率计算公式为 有曲率近似计算公式

107 注:参数方城下曲率的计算

108 例25 计算等边双曲线xy1在 点(1, 1)处的曲率. 解 因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为

109 例26 抛物线yax2bxc上 哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|

110 例27. 求椭圆 在t=0处的曲率. 解: 故曲率为 在t=0处,即在点(a,0)的曲率为 上面的椭圆在何处曲率最大? 思考:

111 3、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .

112 注: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数. 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).

113 例28 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用
砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长

114 内容小结 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径