工程力学（静力学与材料力学） 第二篇 材料力学 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1) 返回总目录.

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1 工程力学（静力学与材料力学） 第二篇 材料力学 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1) 返回总目录

2 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1) 本书前面几章所讨论的都是静载荷作用下所产生的变形和应力，这种应力称为静载应力（statical stresses），简称静应力。静应力的特点：一是与加速度无关；二是不随时间的改变而变化。 工程中一些高速旋转或者以很高的加速度运动的构件，以及承受冲击物作用的构件，其上作用的载荷，称为动载荷(dynamical load)。构件上由于动载荷引起的应力，称为动应力(dynamic stresses)。这种应力有时会达到很高的数值，从而导致构件或零件失效。

3 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1) 工程结构中还有一些构件或零部件中的应力虽然与加速度无关，但是，这些应力的大小或方向却随着时间而变化，这种应力称为交变应力（alternative stress）。在交变应力作用下发生的失效，称为疲劳失效，简称为疲劳（fatigue）。 对于矿山、冶金、动力、运输机械以及航空航天等工业部门，疲劳是零件或构件的主要失效形式。统计结果表明，在各种机械的断裂事故中，大约有 80％以上是由于疲劳失效引起的。疲劳失效过程往往不易被察觉，所以常常表现为突发性事故，从而造成灾难性后果。因此，对于承受交变应力的构件，疲劳分析在设计中占有重要的地位。 本章将首先应用达朗贝尔原理和机械能守恒定律，分析两类动载荷和动应力，然后将简要介绍疲劳失效的主要特征与失效原因，以及影响疲劳强度的主要因素。

4 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  等加速度直线运动构件的动应力分析  旋转构件的受力分析与动应力计算
 等加速度直线运动构件的动应力分析  旋转构件的受力分析与动应力计算  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算  结论与讨论(1) 返回总目录

5 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  等加速度直线运动构件 的动应力分析 返回

6 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  等加速度直线运动构件的动应力分析
对于以等加速度作直线运动的构件，只要确定其上各点的加速度a ,就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力。如果为集中质量 m，则惯性力为集中力，即 如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为 然后，按照材料力学中的方法对构件进行应力分析和强度与刚度计算。

7 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  等加速度直线运动构件的动应力分析
起重机在开始吊起重物的瞬间，重物具有向上的加速度a，重物上便有方向向下的惯性力。这时吊起重物的钢丝绳，除了承受重物的重量，还承受由此而产生的惯性力，这一惯性力就是钢丝绳所受的动载荷(dynamics load)；而重物的重量则是钢丝绳的静载荷(statics load)。作用在钢丝绳上的总载荷是动载荷与静载荷之和： 式中，FT为总载荷；FI与Fst分别为动载荷与静载荷。

8 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  等加速度直线运动构件的动应力分析 单向拉伸时杆件横截面上的总正应力为 其中
分别称为静应力(statics stress)和动应力(dynamics stress)。

9 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析 与动应力计算 返回

10 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
旋转构件由于动应力而引起的失效问题在工程中也是很常见的。处理这类问题时，首先是分析构件的运动，确定其加速度，然后应用达朗贝尔原理，在构件上施加惯性力，最后按照静载荷时所采用的方法确定构件的内力和应力。

11 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
考察以等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密度为，轮缘平均半径为R，轮缘部分的横截面积为A。 设计轮缘部分的截面尺寸时，为简单起见，可以不考虑轮辐的影响，从而将飞轮简化为平均半径等于R的圆环。 由于飞轮作等角速度转动，其上各点均只有向心加速度，故惯性力均沿着半径方向、背向旋转中心，且为沿圆周方向连续均匀分布的力。

12 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 为了求惯性力，沿圆周方向截取ds微弧段，即 微段圆环的质量为
于是，微段圆环上的惯性力大小为 为了计算圆环横截面上的应力，采用截面法，沿直径将圆环截为两个半环。其中FT为环向拉力，其值等于应力与面积的乘积。

13 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 以圆心为原点，建立Oxy坐标系，由平衡方程 有
其中dFIy为半圆环质量微元惯性力dFI在y轴上的投影，其值为 飞轮轮缘横截面上的轴力为 其中，v为飞轮轮缘上任意点的速度。

14 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
当轮缘厚度远小于半径 R 时，圆环横截面上的正应力可视为均匀分布，并用T表示。于是，飞轮轮缘横截面上的总应力为 可见，由于飞轮以等角速度转动，其轮缘中的正应力与轮缘上点的速度平方成正比。 设计时必须使总应力满足强度条件。

15 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 设计时必须使总应力满足强度条件，即
这一结果表明，为保证飞轮强度，对飞轮轮缘点的速度必须加以限制，使之满足强度条件 。工程上将这一速度称为极限速度(limited velocity)；对应的转动速度称为极限转速（limited rotational velocity）。

16 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 上述结果还表明：飞轮中的总应力与轮缘的横截面积无关。因此，增加轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力，对于提高飞轮的强度没有任何意义。

17 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1) 例 题 1  旋转构件的受力分析与动应力计算
例 题 1 在图示结构中，钢制AB轴的中点处固结一与之垂直的均质杆CD，二者的直径均为d。长度AC＝CB＝CD＝l。轴AB以等角速度ω绕自身轴旋转。已知：l=0.6 m ，d＝80 mm，ω＝40 rad／s；材料重度γ＝7.8 N/m3，许用应力[σ]=70 MPa。 试校核：轴AB和杆CD的强度是否安全。 解：1．分析运动状态，确定动载荷： 当轴AB以等角速度ω旋转时，杆CD上的各个质点具有数值不同的向心加速度，其值为

18 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 解：1．分析运动状态，确定动载荷
当轴AB以等角速度ω旋转时，杆CD上的各个质点具有数值不同的向心加速度，其值为 式中x为质点到AB轴线的距离。AB轴上各质点，因距轴线AB极近，加速度an很小，故不予考虑。 杆CD上各质点到轴线AB的距离各不相等，因而各点的加速度和惯性力亦不相同。 为了确定作用在杆CD上的最大轴力，以及杆CD作用在轴AB上的最大载荷，首先必须确定杆CD上的动载荷——沿杆CD轴线方向分布的惯性力。

19 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
为此，在杆CD上建立Ox坐标。设沿杆CD轴线方向单位长度上的惯性力为qI，则微元长度dx上的惯性力为 qIdx 由此得到 其中A为杆CD的横截面积；g为重力加速度。

20 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
x q 上述结果表明：杆CD上各点的轴向惯性力与各点到轴线AB的距离成正比。 qI(x) 为求杆CD横截面上的轴力，并确定轴力最大的截面，用假想截面从任意处（坐标为x）将杆截开，考虑上半部分的平衡。

21 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
x q qI(x) 为求杆CD横截面上的轴力，并确定轴力最大的截面，用假想截面从任意处（坐标为x）将杆截开，考虑上半部分的平衡。 建立平衡方程

22 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
x FNI FNI(x) FNImax 根据上述结果，在x=0的横截面上，即杆CD与轴AB相交处的C截面上，杆CD横截面上的轴力最大，其值为

23 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算
M x FNI 这一力也是作用在轴AB上的横向载荷。于是可以画出轴AB的弯矩图。轴中点截面上的弯矩最大，其值为

24 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 2．应力计算与强度校核
M x FNI 2．应力计算与强度校核 对于CD杆，最大拉应力发生在C截面处，其值为 将已知数据代入上式后，得到CD杆中的最大正应力

25 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  旋转构件的受力分析与动应力计算 对于轴AB，最大弯曲正应力为 将已知数据代入后，得到 FNI x
M x FNI 对于轴AB，最大弯曲正应力为 将已知数据代入后，得到

26 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷 与冲击应力计算 返回

27 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
具有一定速度的运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的速度在很短的时间内发生了很大变化，即冲击物得到了很大的负值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程上称为 “冲击力”或“冲击载荷”（impact load）。

28 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

29 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

30 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

31 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

32 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

33 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

34 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

35 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

36 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

37 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

38 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

39 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

40 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

41 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

42 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

43 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
当高速行驶的汽车发生碰撞时，所产生的冲击力可能超过司机体重的20倍，可以将驾乘人员抛离座位，或者抛出车外。 安全带的作用是在汽车发生碰撞事故时，吸收碰撞能量，减轻驾乘人员的伤害程度。 汽车事故调查结果表明：当车辆发生正面碰撞时，如果系了安全带，可以使死亡率减少57％；侧面碰撞时，可以减少44％；翻车时可以减少80%。

44 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算

45 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算  基本假定  机械能守恒定律的应用  动荷因数

46 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算  基本假定

47 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
在冲击过程中，构件上的应力和变形分布比较复杂，因此，精确地计算冲击载荷，以及被冲击构件中由冲击载荷引起的应力和变形是很困难的。工程中大都采用简化计算方法，它以如下假设为前提：  假设冲击物的变形可以忽略不计，从开始冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起运动，而不发生回弹。  忽略被冲击构件的质量，认为冲击载荷引起的应力和变形在冲击瞬间遍及被冲击构件；并假设被冲击构件仍处在弹性范围内。  假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能守恒定律仍成立。

48 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算  机械能守恒定律的应用

49 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
现以简支梁为例，说明应用机械能守恒定律计算冲击载荷的简化方法。 如图所示之简支梁，在其上方高度h处，有一重量为W的物体自由下落后，冲击在梁的中点。

50 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
在冲击终了时，冲击载荷及梁中点的位移都达到最大值，二者分别用Fd和Δd表示，其中的下标d表示冲击力引起的动载荷，以区别惯性力引起的动载荷。 Fd 这种梁可以视为一线性弹簧，弹簧的刚度系数为k。 假设重物下落之前的位置以及梁没有发生变形时的位置为位置1；在冲击终了的瞬间，即梁和重物运动到梁的最大变形时的位置为位置2。考察在这两个位置系统的动能和势能。

51 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
假设重物下落之前的位置以及梁没有发生变形时的位置为位置1；在冲击终了的瞬间，即梁和重物运动到梁的最大变形时的位置为位置2。考察在这两个位置系统的动能和势能。 重物下落前和冲击终了时，其速度均为零，因而在位置1和2，系统的动能均为零，即

52 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 以位置1为势能零点，即系统在位置1的势能为零，即
重物和梁(弹簧)在位置2时的势能分别记为V2(W)和V2(k)：

53 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
在上述两式中，V2(W)为重物的重力从位置2到位置1(势能零点)所做的功，因为力与位移方向相反，故为负值；梁的势能V2(k) 等于冲击力从变形后的位置2到变形前的位置1时所做的功，故为负值，数值上等于储存在梁内的应变能。

54 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
因为假设在冲击过程中，被冲击构件仍在弹性范围内，故冲击力Fd和冲击位移Δd之间存在线性关系，即 这一表达式与静载荷作用下力与位移的关系相似：

55 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
上述二式中k为类似线性弹簧刚度系数，动载与静载时弹簧的刚度系数相同。式中的Δs为W作为静载施加在冲击处时，梁在该处的位移。 因为系统中只作用有惯性力和重力，二者均为保守力，故重物下落前到冲击终了后，系统的机械能守恒，即

56 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
从Fs＝kΔs中解出常数k，并且考虑到静载荷时Fs=W，一并代入上式，即可消去常数k，从而得到关于Δd的二次方程：

57 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 由此解出
这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的刚度有关：梁的刚度愈小，静位移愈大，冲击载荷将相应地减小。设计承受冲击载荷的构件时，应当利用这一特性，以减小构件所承受的冲击力。

58 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的刚度有关：梁的刚度愈小，静位移愈大，冲击载荷将相应地减小。设计承受冲击载荷的构件时，应当利用这一特性，以减小构件所承受的冲击力。 若令上式中h＝0，得到 这等于将重物突然放置在梁上，这时梁上的实际载荷是重物重量的两倍。这时的载荷称为突加载荷。

59 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算  动荷因数

60 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 为计算方便，工程上通常将上式写成如下形式：
其中Kd为大于1的系数，称为动载因数或动荷因数(coefficient of dynamical load)，它表示构件承受的冲击载荷是静载荷的若干倍数。 对于前面所讨论的简支梁，动荷因数为

61 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 构件中由冲击载荷引起的应力和位移也可以写成动荷因数的形式：

62 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1) 例 题 2  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
例 题 2 图示之悬臂梁，A端固定，自由瑞B的上方有一重物自由落下，撞击到梁上。已知：梁材料为木材，弹性模量E＝10GPa；梁长l=2m；截面为120mm×200mm的矩形，重物高度为40 mm，重量W＝1 kN。 试求： 1. 梁所受的冲击载荷； 2. 梁横截面上的最大冲击正应力与最大冲击挠度。

63 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 解：1．梁横截面上的最上静应力和冲击处最大挠度
悬臂梁在静载荷W的作用下，横截面上的最大正应力发生在固定端处弯矩最大的截面上，其值为 由梁的挠度表，可以查得自由端承受集中力的悬臂梁的最大挠度发生在自由端B处，其值为

64 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 解：2. 确定动荷因数
解：2. 确定动荷因数 根据动荷因数表达式和本例的已知数据，动荷因数为 3. 计算冲击载荷、最大冲击应力和最大冲击挠度 冲击载荷

65 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算 3. 计算冲击载荷、最大冲击应力和最大冲击挠度 冲击载荷
3. 计算冲击载荷、最大冲击应力和最大冲击挠度 冲击载荷 最大冲击应力 最大冲击挠度

66 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1) 返回

67 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  等加速度运动构件的应力计算表达式 的动荷因数形式  不同情形下动荷因数具有不同的形式
 结论与讨论(1)  等加速度运动构件的应力计算表达式 的动荷因数形式  不同情形下动荷因数具有不同的形式  运动物体突然制动或突然刹车的动载荷 与动应力

68 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1)  等加速度运动构件的 应力计算表达式的动荷因数形式

69 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1)
惯性力和冲击载荷引起的构件应力表达式都可以表示成动荷因数的形式。例如，本章一开始所讨论的作等加速度运动构件的应力表达式也可以表示成动荷因数的形式。 Kd 便是作等加速度直线运动构件的动荷因数。

70 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1)  不同情形下动荷因数 具有不同的形式

71 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1) 作等加速度运动构件与承受冲击载荷构件的动荷因数分别为：
可以看出，冲击载荷的动荷因数与等加速度运动构件的动荷因数有着明显的差别。即使同是冲击载荷，有初速度的落体冲击与没有初速度的自由落体冲击时的动荷是不同的。落体冲击与非落体冲击(例如，水平冲击)时的动荷因数也是不同的。

72 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1)
因此，使用动荷因数计算动载荷与动应力时一定要选择与动载荷情形相一致的动荷因数表达式，切勿张冠李戴。 有兴趣的同学，不妨应用机械能守恒定律导出水平冲击时的动荷因数。

73 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1)  运动物体突然制动或突然刹车 的动载荷与动应力

74 第12章A 动载荷与疲劳强度简介(1)  结论与讨论(1) 运动物体或运动构件突然制动或突然刹车时也会在构件中产生冲击载荷与冲击应力。
例如，图示之鼓轮作绕过点D、垂直于纸平面的轴等速转动，并且绕在其上的缆绳带动重物以等速度升降。当鼓轮突然被制动而停止转动时，悬挂重物的缆绳就会受到很大的冲击载荷作用。 在这种情形下，如果能够正确选择势能零点，分析重物在不同位置时的动能和势能，应用机械能守恒定律也可以确定缆绳受到的冲击载荷。为了简化，可以不考虑鼓轮的质量。有兴趣的同学也可以一试。

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