第二章 傅立叶变换 §2.1 周期信号的频谱分析（傅立叶级数） §2.2 典型周期信号的频谱 §2.3 非周期信号的频谱（傅立叶变换）

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1 第二章 傅立叶变换 §2.1 周期信号的频谱分析（傅立叶级数） §2.2 典型周期信号的频谱 §2.3 非周期信号的频谱（傅立叶变换）
§2.2 典型周期信号的频谱 §2.3 非周期信号的频谱（傅立叶变换） §2.4 典型非周期信号的频谱 §2.5 傅立叶变换的性质 §2.6 周期信号的傅立叶变换 §2.7 抽样信号的频谱

2 2.3 非周期信号的频谱分析傅立叶变换 1. 频谱密度函数的引入 2. 非周期信号的傅立叶变换 3. 频谱密度函数

3 1. 频谱密度函数的引入 上节讨论了周期信号的傅立叶级数 以及周期信号的离散频谱，f(t)的谱系数cn为

4 一个非周期信号，可以看作是重复周期T为无穷大的周期信号
1. 频谱密度函数的引入 一个非周期信号，可以看作是重复周期T为无穷大的周期信号 当T时，以周期矩形脉冲为例 cn 周期信号就转化为非周期信号 谱线间隔1=2/T趋于无穷小。这时，离散频谱就变成了连续频谱。n1 

5 谱线间隔1=2/T趋于无穷小。这时，离散频谱就变成了连续频谱。n1 
1. 频谱密度函数的引入 cn 谱线间隔1=2/T趋于无穷小。这时，离散频谱就变成了连续频谱。n1  各个谱线的幅度谱也趋于无穷小，即An0 无法用傅立叶级数描述非周期信号的频域特性 因此，我们引入频谱密度的概念

6 1. 频谱密度函数的引入 频谱密度函数的概念 周期信号f(t)展开成指数傅立叶级数： 其复频谱： 当T时， 但 可能是有限值

7 |F()|代表信号中各频率分量的相对大小。
1. 频谱密度函数的引入 引入F()——频谱密度函数 F()通常是复函数，可写成： |F()|代表信号中各频率分量的相对大小。 各频率分量的实际振幅 是 无穷小量。

8 F()具有单位频带的频谱值，是的连续函数
1. 频谱密度函数的引入 F()——f(t)的频谱密度函数 F()具有单位频带的频谱值，是的连续函数 与周期信号的谐波振幅An和相位n一样： |F()|是频率的偶函数。 ()是频率的奇函数。 返回

9 2. 非周期信号的傅立叶变换 正变换 满足狄利赫莱条件： 信号f(t)存在傅立叶变换。 另外，狄利赫莱条件是充分条件，而非必要条件
通过对周期信号的傅立叶级数取极限的方法求频谱密度，即

10 2. 非周期信号的傅立叶变换 由 得：

11 2. 非周期信号的傅立叶变换 反变换 将cn代入 得： 当

12 2. 非周期信号的傅立叶变换 即：

13 2. 非周期信号的傅立叶变换 非周期信号的傅立叶变换对 返回

14 与周期函数类似，把式（2.3-5）中的被积函数写成三角函数的形式，
3. 频谱密度函数 F()通常是复函数，可写成： 与周期函数类似，把式（2.3-5）中的被积函数写成三角函数的形式，

15 由于|F()|是的偶函数，()是的奇函数，上式化为
3. 频谱密度函数 由于|F()|是的偶函数，()是的奇函数，上式化为

16 可见，非周期信号与周期信号一样，可以分解为许多不同频率的正弦分量。
3. 频谱密度函数 可见，非周期信号与周期信号一样，可以分解为许多不同频率的正弦分量。 非周期信号的周期T趋于无穷大，基波频率趋于无穷小，因此包含了从零到无穷大的所有频率分量。 对任一能量有限信号，各频率点上的分量幅度 |F()|d / 趋于无穷小。

17 各频率分量的实际振幅|F()|d /为无穷小量
3. 频谱密度函数 F()通常是复函数，可写成： 其中： 是 的幅度函数； 是频率的连续函数，且为的偶函数 代表信号中各频率分量的相对大小。 各频率分量的实际振幅|F()|d /为无穷小量 称为信号的幅度频谱

18 二、非周期信号的傅立叶变换 是F()的相位频谱； 是频率的连续函数，且为奇函数； 称为信号的相位频谱 返回

19 2.4 典型非周期信号的频谱 （一）、矩形脉冲信号 （二）、单边指数信号 （三）、钟形脉冲信号 （四）、单位冲激函数(t)
典型非周期信号的频谱 （一）、矩形脉冲信号 （二）、单边指数信号 （三）、钟形脉冲信号 （四）、单位冲激函数(t) （五）、单位阶跃函数u(t) （六）、符号函数sgn(t) （七）、直流信号

20 典型非周期信号的频谱 （一）、矩形脉冲信号

21 （一）、矩形脉冲信号 即：

22 （一）、矩形脉冲信号 矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为： 与周期矩形脉冲（图2.2—2d)比较 cn

23 2、 cn式中为不连续的变量n1 ,F()为连续变量
（一）、矩形脉冲信号 cn 1、 cn的值比F()的值多乘了系数 不同： 2、 cn式中为不连续的变量n1 ,F()为连续变量

24 相同： 1、周期矩形脉冲信号的频谱包络线与非周期 矩形脉冲信号的频谱函数曲线形状相同 2、频谱都具有收敛性 3、占有频带宽度为 cn
（一）、矩形脉冲信号 cn 相同： 1、周期矩形脉冲信号的频谱包络线与非周期 矩形脉冲信号的频谱函数曲线形状相同 2、频谱都具有收敛性 3、占有频带宽度为 返回

25 （二）、单边指数信号 由傅立叶变换公式得

26 （二）、单边指数信号 其幅度频谱和相位频谱分别为 返回

27 （三）、钟形脉冲信号 其频谱函数为

28 （三）、钟形脉冲信号 其幅度频谱和相位频谱为 钟形脉冲的频谱函数也是钟形 返回

29 单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均匀分布。
下面介绍奇异函数的傅立叶变换 （四）、单位冲激函数(t) 其傅立叶变换： 相位： (1) (t) t 1 F()  单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均匀分布。 这种频谱常称作“均匀频谱”或“白色频谱” 返回

30 （五）、单位阶跃函数u(t) 当t时， 不存在 ，不能直接用傅立叶变换式 改用间接法 u(t)可以看作单边指数函数在0时的情况 单边指数函数 的频谱：

31 令0，分别求上式中的实部和虚部的极限A()和B()，即
（五）、单位阶跃函数u(t) 令0，分别求上式中的实部和虚部的极限A()和B()，即 并且： 这说明A()是一个冲激函数，冲激点位于=0处， 冲激强度为，即

32 （五）、单位阶跃函数u(t) 又有： 所以，单位阶跃函数的频谱为： 返回

33 （六）、符号函数sgn(t) 或 设 利用阶跃函数的傅立叶变换思想 返回

34 可见：在时域是直流（直线），在频域是冲激
（七）、直流信号 可以看作双边指数函数 中0的极限情况 可见：在时域是直流（直线），在频域是冲激 对照冲激函数的傅立叶变换：在时域是冲激，在频域是直线 返回

35 2.5 傅立叶变换的性质 （一） 线性（齐次性和迭加性） （二） 奇偶虚实性 （三） 时移特性 （四） 频移特性 （五） 尺度变换特性
傅立叶变换的性质 （一） 线性（齐次性和迭加性） （二） 奇偶虚实性 （三） 时移特性 （四） 频移特性 （五） 尺度变换特性 （六） 对称特性 （七） 微分特性 （八） 积分特性 （九） 卷积定理

36 傅立叶变换的性质 （一） 线性（齐次性和迭加性） 若 则有 返回

37 （二） 奇偶虚实性 一般情况下，F()是复函数 因此可以将F()分成模与相位或实部与虚部两部分，
无论f(t)是实数还是复数，根据傅立叶变换可以证明：

38 一般情况下，信号f(t)是实函数，F()是复函数
（二）、奇偶虚实性 1、f(t)是实函数 一般情况下，信号f(t)是实函数，F()是复函数 因此可以将F()分成模与相位或实部与虚部两部分， 其中 的偶函数 的奇函数

39 （二）、奇偶虚实性 于是， 的偶函数 的奇函数 同时，可得如下关系式： 的偶函数 的奇函数

40 （二）、奇偶虚实性 即：f(t)是实函数 和 是的偶函数 是的奇函数 和

41 f(t)是实偶函数，F()必为的实偶函数
（二）、奇偶虚实性 2、f(t)是实偶函数 即 f(t)是实偶函数，F()必为的实偶函数

42 f(t)是实奇函数，F()必为的虚奇函数
（二）、奇偶虚实性 3、f(t)是实奇函数 即 f(t)是实奇函数，F()必为的虚奇函数

43 （二）、奇偶虚实性 4、f(t)是虚函数时， 设 代入傅立叶变换式 此时 仍是的偶函数 仍是的奇函数 f(t)是虚奇函数，但是 返回

44 （三） 时移特性 若 则 可见： 信号在时域中沿时间轴右移t0 （延时t0），等效于在频域中乘以因子

45 信号延时后，其幅度频谱不变，相位频谱产生附加相位值(-t0)
（ 三）、时移特性 信号延时后，其幅度频谱不变，相位频谱产生附加相位值(-t0) 结论： 1、信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的， 与信号在时间轴上出现的位置无关； 2、信号的相位频谱则是由信号的波形形状和在时 间轴上出现的位置共同决定的

46 （ 三）、时移特性 例 2.5—1 已知矩形脉冲f1(t)的频谱函数 试画出 的相位频谱 解：根据时移特性，

47 （ 三）、时移特性 即 可见，幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后 返回

48 （四） 频移特性 若 则 把时域信号f(t)乘以因子 等效于频谱F()沿 频率轴右移0 这种技术称频谱搬移 课堂练习：求 的傅立叶变换

49 调制 将信号f(t)乘以 或 就可以 引起信号的频谱搬移。这个过程如下： 时域：f(t)改变正弦（或余弦）信号的幅度
（ 四）、频移特性 频谱搬移也称为信号的调制，广泛应用于通信技术中 将信号f(t)乘以 或 就可以 引起信号的频谱搬移。这个过程如下： 时域：f(t)改变正弦（或余弦）信号的幅度 频域：f(t)的频谱产生平移 调制 根据欧拉公式，有

50 设f(t)的频谱为F()，利用频移特性可知
（ 四）、频移特性 设f(t)的频谱为F()，利用频移特性可知 可见，将信号f(t)乘以 或 等效于 将f(t)的频谱为F()一分为二，即幅度减小一半，沿频率轴向左和向右各平移0。

51 （ 四）、频移特性 例2.5-3 求矩形调幅信号 的频谱函数 解：已知门函数 的频谱函数为 又有 根据频移特性

52 （ 四）、频移特性 返回

53 １、信号在时域中压缩（a>1)，等效于在频域中扩展
（五） 尺度变换特性 若 则 特例：当a=-1时 结论： １、信号在时域中压缩（a>1)，等效于在频域中扩展 ２、信号在时域中扩展（0<a<1)，等效于在频域中压缩 3、当a=-1时，f(-t)F(-) 　信号在时域中沿纵轴反褶，等效于在频域中也沿 纵轴反褶 返回

54 （六） 对称特性 若 则 若 f(t)为偶函数，且 则

55 例：求抽样函数Sa(t)的频谱

56 当=2， 所以，Sa(t)的频谱为 返回

57 说明：在时域中f(t)对t取n阶导数，等效于在频域中频谱F()乘以因子(j)n
（七） 微分特性 １、时域微分特性 若 则 说明：在时域中f(t)对t取n阶导数，等效于在频域中频谱F()乘以因子(j)n

58 ２、频域微分特性 若 则

59 例２.５—４ 求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换 解：f(t)的一次导数f'(t) 是幅值为 的两个脉冲 其二阶导数是四个正负冲激函数
（ 七）、微分特性 例２.５—４　求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换 解：f(t)的一次导数f'(t) 是幅值为 的两个脉冲 其二阶导数是四个正负冲激函数

60 （ 七）、微分特性 返回

61 （八） 积分特性 若 则 或当F(0)=0时，有 推广： 返回

62 （九） 卷积定理 1、时域卷积定理 若 则 上式表明：两函数在时域中的卷积，等效于频域中两函数傅立叶变换的乘积 2、频域卷积定理 若 则

63 （ 九）、卷积定理 例：如图a 所示三角函数f(t),可以看作图b所示的门函数的卷积。求f(t)的频谱函数。 图b 图a 解：

64 （ 九）、卷积定理 返回

65 总 结 作业：2-14 （1，2，3，4） 2-15 (a) 2-16 (1) 2-17 1、主要掌握傅立叶变换定义（正反变换公式）
总 结 1、主要掌握傅立叶变换定义（正反变换公式） 2、典型非周期信号的频谱（脉冲信号、单边指数、 单位冲激信号 、单位阶跃、直流信号的频谱） 3、傅立叶变换性质 作业：2-14 （1，2，3，4） (a) 2-16 (1) 返回

66 （ 六）、对称特性 证明： 于是可知 将式中的变量t和变量互换，可以得到

67 对称特性表明：当f(t)为偶函数，时域与频域完全对称
（ 六）、对称特性 即F(t)的傅立叶变换为2f(-) 若f(t)为偶函数，且 则 或 对称特性表明：当f(t)为偶函数，时域与频域完全对称 返回