电磁场理论基础 第九章 导行电磁波 主讲教师：司黎明 办公室：4号楼202；新信息楼212 办公电话： 、

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1 电磁场理论基础 第九章 导行电磁波 主讲教师：司黎明 办公室：4号楼202；新信息楼212 办公电话：68915628、68918212
第九章 导行电磁波 主讲教师：司黎明 办公室：4号楼202；新信息楼212 办公电话： 、 手机号： 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明

2 第九章课后习题 9.1； 9.2；9.3；9.4；9.5；9.8；9.9；9.10；9.11；9.15；9.20；9.23

3 { ①无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波 ②波导 广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。
①无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波 ②波导 广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。 习惯上 按结构分： 平行双线传输线、同轴线、带线和微带线等 按横截面形状分： 矩形波导、圆形波导和椭圆波导等 按使用频段分： 介质波导和光纤 { ③导行电磁波问题仍然是电磁场的边值问题，即求解满足波导边界条件的波动方程，然后分析沿波导的传播特性。

4 §9.1 导行波的电磁场 1、均匀波导中的 假定 ①由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀； ②并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中；
§9.1 导行波的电磁场 1、均匀波导中的 假定 ①由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀； ②并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中； ③电磁波在媒质中沿导体向方向传播。 此时电磁场的复矢量为： 称为导行电磁波的传播常数 将这两个表达式代入理想媒质无源区域的麦克斯韦方程中，即

5 考虑到各分量都有 的关系，则在直角坐标系中有
电磁场共有六个分量，但其中四个横向分量可以用两个纵向分量导出

6 因此可以得到由纵向分量 表示的横向分量表达式
其中 可见，若求得了 和 ，则电磁场的各分量就可求得。

7 　　在广义坐标系下，电磁场的横向电磁分量可由纵向电磁分量来导出，写成矩阵的形式为
在直角坐标系中， 在圆柱坐标系中,

8 电场、磁场都满足齐次亥姆霍兹方程 由此可求得电磁场纵向分量满足以下方程 令 则以上两式可以写成 求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。

9 2、波导中电磁波解的分类 ① 横电波或TE波，也称为磁波或H波 横磁波或TM波，也称为电波或E波 TE波和TM波的组合叠加 ② 只有当 时，才可能有不等于零的横向场分量 导行电磁波的电场分量和磁场分量都垂直于传播方向，故称为横电磁波或TEM波 。

10 §9.2 矩形波导管中的电磁波 一. 矩形波导内的 TE 电磁波 矩形波导管轴线与 z 轴方向一致， 内壁坐标分别为
§9.2 矩形波导管中的电磁波 矩形波导管轴线与 z 轴方向一致， 内壁坐标分别为 假设波导管材料为理想导体， 内部为理想介质。 一. 矩形波导内的 TE 电磁波 因为 ，所以只需求解方程 可利用分离变量法求解，令

11 则有 分离变量 其中 写成标准形式 两方程的解分别为

12 所以 利用横向分量与纵向分量的关系可得两个磁场分量 在波导壁上，电场切向分量满足零边界条件，即 ① ② ③ ④ 根据条件①②可得 C = 0，根据条件③④可得A = 0，所以 其中 ，由初始条件确定。

13 两个电场分量 再利用边界条件②和④可得 若对任意的 x y 都成立，则必须 至此，除了常数 H0 将由激励强度决定外，其它常数均已确定。

14 因此，TE波的5个场分量的表达式为 以上各式乘以传播因子 ，并作矢量相加后就得到矩形波导内TE波的电磁场复矢量 其中

15 ★关于 TE 波的说明： 1、物理图像 ①每一组m、n值对应一种分布，称为一种 TEmn模。 ②每个TEmn模的场分量 沿x方向呈m／2个周期的正弦或余弦变化， 沿y方向呈n／2个周期的正弦或余弦变化， 所以m和n分别表示场分布沿 x 和 y 方向变化的半周期数。 ③ m 和 n 最多只能有一个为零，否则将使横向分量都为零。 而仅有一个周期性变化的纵向磁场分量，不满足麦克斯韦方程， 电磁波不复存在。 ④当n =0 时， TEm0模：只有E0y，H0x，H0z 当m =0 时，TE0n模： 只有E0x，H0y，H0z

16 2、TEmn波的参数 ①传播常数 a. 当γ为虚数（即βmn是实数）时 电磁场瞬时表达式具有 的形式， 形成沿z方向传播的电磁波， βmn称为导行波的相位常数 。 b. 当γ为实数（即 βmn 是虚数）时 电磁场瞬时表达式变成 的形式， 场幅度沿z衰减，并且没有了等相位面的移动，失去电磁波的 传输特征，称之为截止。

17 ②截止频率 βmn = 0 时的频率称为截止频率，记作fmn 其中 为波导填充介质中的光速。 决定截止频率fmn的因素：波导尺寸（a , b） 模式（m, n） 介质参量（ε,μ） ③截止波长

18 ④传输条件 用fmn和λmn表示的相位常数为 βmn是实数时，电磁波可以在波导中传输，即 或 （TEmn波的）传输条件 可见，波导具有高通特性。

19 ⑤基模和高次模 利用高通特性，可以通过选择波导尺寸和充填介质的参数来抑制m、n较大的模式，使波导内只存在一种或少数几种m、n较小的传输模式。 一般选取波导尺寸a > b，此时TE10模具有最低的截止频率和最长的截止波长， TE10模称为基模，其他模通称为高次模。 若工作频率f 满足 或 则波导内只有TE10波单模传输 除基模TE10以外，其它高次模一般不能实现单模传输。 这是因为当工作频率高于某种高次模的截止频率时，也一定高于TE10模和一些较低模的截止频率，从而使波和这些较低模也满足传输条件。

20 ⑥相速度 ⑦导波波长 ⑧波阻抗 是同种介质中均匀平面电磁波的波阻抗 当 时， 当 时， ，相当于波导开路； 当 时， 成为虚数，电场和磁场相位相差π/ 2，没有平均电磁场能量的传输，电磁能量只是在波导与信号源之间来回反射振荡。

21 ⑤电磁场的瞬时分布（以TE10为例） TE10 波的场分布图

22 二. 矩形波导内的 TM 电磁波 对于TM波，意味着 利用分离变量法可以得到TM波电磁场的各分量表达式

23 所以，矩形波导内TE波的电磁场复矢量为 其中 ★TM波与TE波的异同点： ①矩形波导内的TM波也有无穷多个解，称为TMmn模。 TM波的m和n都不能为零，因而，TM波的最低模是TM11。 ②TMmn模的传播常数γ、相位常数βmn、截止频率fmn、截止波长 λ mn 、相速度vp 、导波波长 λg和传播条件的表达式与TEmn模 对应量的表达式完全相同。 ★ m、n值相同的TMmn模和TEmn模称为简并模 ★ TM波一般不能单模传输!

24 ③TMmn模的波阻抗与TEmn模不同 当 时， 当 时， ，相当于波导短路； ★矩形波导中的各种传输模式

25 参见 波导规格.pdf Waveguide Designation a (in) b t fc10 (GHz) freq range
WR975 9.750 4.875 .125 .605 .75 – 1.12 WR650 6.500 3.250 .080 .908 1.12 – 1.70 WR430 4.300 2.150 1.375 1.70 – 2.60 WR284 2.84 1.34 2.08 2.60 – 3.95 WR187 1.872 .872 .064 3.16 3.95 – 5.85 WR137 1.372 .622 4.29 5.85 – 8.20 WR90 .900 .450 .050 6.56 8.2 – 12.4 WR62 .311 .040 9.49 参见 波导规格.pdf

26 例 设某矩形波导的尺寸为a=8cm, b=4cm; 试求工作频率在3 GHz时该波导能传输的模式。

27 解: 由 f=3 GHz，得 可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。

28 例9.1 一空气填充的矩形波导传输TE10模波，工作频率为 f = 3 GHz。若要求工作频率至少比TE10模的截止频率高20%，而比距TE10模最近的高次模的截止频率低20%。试决定波导尺寸a和b 。 解: 由截止频率表达式可得 根据要求有 可得 一般传输波导a 略大于2b，可选择 a = 70 mm ，b = 34 mm

29 §9.3 TE10模电磁波 TE10模（a > 2b）的优点： ①截止波长最长（截止频率最低） ② 在同一频带内要求波导尺寸最小
③具有最小的衰减 1、TE10模的参数

30 2、TE10模的特征 ①电磁场分布 TE10模电磁波的复矢量为 电场： 只有一个分量且极化在y方向上 其振幅沿x方向呈正弦分布 在 x = 0 及 x = a 处为零， x = a / 2 处有最大值 yz平面称为电场平面或E面 磁场： 两个分量均在xz平面内 xz平面称为磁场平面或H面

31 ②TE10模的波阻抗 ③波导内壁上的表面电荷和表面电流 根据边界条件 ，上、下底面的面电荷密度复振幅为 由边界条件 ，可得波导内壁上的电流面密度复矢量为

32 面电流的瞬时值为 其分布图形如图所示：

33 3、部分波 以TE10模为例，将其电场表达式改写成 其中 TE10模可以看作两个平面电磁波的迭加： ①两个x分量迭加等效于垂直入射到导体平面的平面波在导体外形成全驻波；②两个z分量迭加形成传输的行波。

34 沿传播方向看，两个波峰之间距离就是导行波的导波波长
相速度为 沿z方向能量的传播速度为 并且有 当 时 ，相当于电磁波平行于导体平面传播 当 时 ，相当于电磁波垂直入射到导体表面上，形成全驻波，z 方向没有能量传播，称为截止。

35 §9.4 波导中的能量传输与损耗 一. 波导中的传输功率 波导传输的功率为坡印廷矢量平均值对波导横截面的积分 对于TE10模
§9.4 波导中的能量传输与损耗 一. 波导中的传输功率 波导传输的功率为坡印廷矢量平均值对波导横截面的积分 对于TE10模 式中Em是x = a/2处的幅值，即电场最大幅值， 是TE10波的波阻抗。

36 二. 波导的衰减 1、衰减的原因 ①表面电流的存在将引起电磁波能量的损耗。 ②媒质的非理想状态也将引起损耗。 2、衰减的计算
二. 波导的衰减 1、衰减的原因 ①表面电流的存在将引起电磁波能量的损耗。 ②媒质的非理想状态也将引起损耗。 2、衰减的计算 将损耗看成是一种微扰，则传播常数可以写作 其中α称为导行波的衰减常数，即电磁场的振幅将按 e-αz 规律衰减，而传输功率将按 e-2αz 规律衰减。z处截面通过的功率可以写成 两边对z求导，得 由此得到

37 α的单位为奈培每米(NP／m)。 α＝1NP / m 时，电磁波传输1米距离的功率将下降到初值的1/e2。
从图中可以看出： ①在截止频率附近的衰减很大，随着频率升高衰减迅速下降，达到一个最小值后再缓慢增大。 ②衰减随着b／a 比值的增大而减小，但b／a＞1/2 后，减小已经比较缓慢。兼顾衰减和最大单模传输频带的要求，一般取b／a 略小于1/2

38 §9.5 圆形波导中的电磁波 圆波导中，向 z 方向传播的电磁场复矢量表示为 在圆柱坐标系下，代入麦克斯韦方程可得

39 由此可求得用纵向分量表示的横向分量为 利用波动方程，可以得到纵向分量所满足的二维亥姆霍兹方程 求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。

40 一.TE 模场量的一般表达式 利用分离变量法可得 其中qmn表示m阶贝塞尔函数导数的第n个根，每给定一组m和n的值，就决定一种场结构。

41 一.TM 模场量的一般表达式 利用分离变量法可得 其中pmn表示m阶贝塞尔函数的第n个根，每给定一组m和n的值，就决定一种场结构。

42 根据贝塞尔函数性质，可得到不同模式的工作波长，排序后如图所示
可以看出TE11模的截止波长最长，它是圆波导中的基模。 TE11模单模传输的工作波长范围是

43 三. 传播特性 圆波导中的传输参量为

44 §9.6 传输线上的TEM波 1、TEM波的电磁场 对于TEM波 ，而 都不为零 所以 即 TEM波的场分量表达式为 （i=x , y）

45 根据无源理想介质区域中的复Maxwell方程可得（9-3a）
对于TEM波，H0z= 0，将 带入得 同理 TEM波与自由空间的均匀平面电磁波相比较： ①传输特性及电场和磁场的关系与十分类似。 ②差别仅在于TEM波的振幅E0i和H0i是坐标x、y的函数。

46 2、传输TEM波时传输线上的电位分布 将TEM波的电场二维复矢量记作 取旋度得 根据（9-3f） 并且对于TEM波，有H0z= 0，所以 由于 无旋，故可以表示为标量位函数 的梯度，令

47 取散度得 对于电场有 而 代入后消去 ，得到 因此电位的微分方程是 此电位与静电场中无电荷区域的电位都满足Laplace方程，时变场的导体边界与静电场的导体边界一样也是等电位边界。 根据唯一性定理，两个位函数应有相同的表达式。 因此，对于同轴线和平行双线这类典型问题，只需将相同边界形状的静电位或静电场的解直接使用即可。

48 例 9.5 已知同轴传输线的内导体半径为a，外导体的内径为b。 求：①同轴线传输TEM波的电场和磁场的表达式。
②用单位长度的电感和电容表示相速度。 解：①静电场中同轴线的解为 上式乘以 ，并记 为复常数，得到TEM波的电场复矢量 电场瞬时矢量为 对应的磁场复矢量为 磁场瞬时矢量为

49 ②根据同轴线单位长度上的电感和电容 TEM波的相速度可以表示为 优点： ①没有截止频率的限制，原则上可以传输任意频率的电磁波； ②TEM波为非色散波，不会产生宽带信号的变形。 缺点： ①开放的双线系统其辐射损耗大； ②同轴线系统在频率较高时存在着较大的介质损耗； ③功率容量比较小。

50 §9.7 谐振腔 一、谐振腔简介 谐振腔：在微波波段用封闭的金属空腔来实现谐振回路的功能， 称为空腔谐振器（简称谐振腔）。
§9.7 谐振腔 一、谐振腔简介 谐振腔：在微波波段用封闭的金属空腔来实现谐振回路的功能， 称为空腔谐振器（简称谐振腔）。 应用：①波长表 ②回波箱 ③振荡器中的选频和稳频回路 …… 谐振腔的种类： ①封闭式 ②开放式（损耗小、Q值高） ③介质谐振腔（体积小）

51 二、矩形谐振腔内的电磁场 x z y O a b d 1、利用边界条件求解波动方程 在腔内电场方程为
在直角坐标系内，每个场分量满足同样形式的标量方程 并且三个电场分量在6个内壁上满足 Et= 0 的导体边界条件，所以

52 将电场表达式代入 ，得到对应的磁场分量复振幅
若记 则得到Hi0与Ei0的关系 2、利用导行波的结论分析求解 将谐振腔视为a×b的矩形波导的一段，当其传输TEmn或TMmn波时，用两块金属板在相距 的地方短路，电磁波在短路壁上全反射形成驻波。由于此时两个短路壁处恰好是切向电场的零点，满足导体的边界条件，所以这样的驻波可以在两板之间存在。将入射导行波和反射导行波的表达式相加，即可得到腔内的电磁场表达式。

53 3、矩形谐振腔的性质： ①腔内的电磁场以驻波的形式存在 由于复振幅中不存在传播因子，电场和磁场的瞬时值随时间分别按 和 变化，电场和磁场在相位上相差 ，预示平均能流为零，代表一种电场能量和磁场能量相互交换的电磁振荡。 ②谐振腔内可能存在着无穷多种谐振模式 m、n、p分别是场幅度沿x、y、z方向变化的半周期数，取0时表示场幅沿该方向不变。 ③谐振腔内振荡模式分类 谐振腔内的谐振模分为TEmnp和TMmnp两类模式。若仍按z方向为纵向定义，则Ez= 0的振荡模称为TEmnp振荡模，Hz= 0的振荡模称为TMmnp振荡模。

54 ｛ ④谐振条件 a. 谐振腔的横向尺寸a和b必须满足对应导行波的传输条件； b. 纵向距离d应等于该导行波导波长一半的整数倍（即 ）。
⑤简并 同一个谐振频率对应多个谐振模式 a. 模式简并 原因：TEmnp模和TMmnp模具有相同的谐振频率 m,n = 只有TE0np,TEm0p p = 只有TMmnp ｛ 消除：令m，n，p中的一个为0 b. 尺寸简并 原因：腔体尺寸a，b，c出现整数倍关系 消除：设计尺寸时避免出现整数倍关系

55 ⑥波长计 通过尺寸设计使d 的变化范围内只存在一种振荡模式，则d 的每一个值便只对应一个谐振频率。通过谐振发生时d的数值，将可以获得输入电磁波的工作频率，这就是谐振腔波长计的工作原理。 ⑦品质因数 腔内的电磁能量 W 与损耗功率 p 之比乘以角频率ω Q值越大，其谐振曲线就越尖锐，对频率的分辨率越灵敏 损耗来源： a.导体表面的导电损耗 b. 腔内的介质损耗 c. 输出耦合损耗