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正弦函数、余弦函数的图象 授课教师: 李毅重
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正弦函数、余弦函数的定义 实 数 角 任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx
实 数 一 一对应 角 唯一确定 余弦值 正弦值 任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx (或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx (或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数), 其定义域为R。
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的图象 作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 问题:如何作出比较精确的正弦函数图象? (3) 平移 途径:利用单位圆中正弦线来解决。
(1) 等分 (2) 作正弦线 问题:如何作出比较精确的正弦函数图象? (3) 平移 途径:利用单位圆中正弦线来解决。 (4) 连线 O y x B 用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来! -1 1 O1 A 2
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知识回顾:三角函数线 三角函数 三角函数线 正弦函数 余弦函数 正切函数 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT sin=MP cos=OM
tan=AT 正切线AT y x O T -1 P M A(1,0)
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y=sinx x[0,2] y=sinx xR
6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 正弦曲线 sin(x+2k)=sinx, kZ
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观察与思考: 观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数y=sinx,x[0,2]的图象,你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用? 五点画图法 y x o 1 -1 ( ,1) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( 2 ,0) ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( 2 ,0) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( 2 ,0) ( ,-1) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2 ,0) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2 ,0) (0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2 ,0) 五点法—— (0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2 ,0)
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探究: 你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗?
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y=sinx xR y=cosx xR y=sinx的图象 y=cosx的图象 y o x 正弦曲线
6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 正弦曲线 y=sinx的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR 形状完全一样只是位置不同 向左平移 个单位长度 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=cosx的图象 余弦曲线
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探究:类似于正弦函数图象的五个关键点,你能找出余弦函数的五个关键点吗?
y x o 1 -1 ( ,1) y=cosx,x[0, 2] ( ,0) ( ,0) ( ,1) ( ,-1) 方法总结: 在精确度要求不太高时,先作出函数y=sinx和y=cosx的五个关键点,再用光滑的曲线将它们顺次连结起来,就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点(画图)法”。
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典型例题: x 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线 例1 (1) 画出函数y=1+sinx,x[0, 2]的简图: 解:
x sinx 1+sinx 1 -1 o 1 y x -1 2 y=1+sinx,x[0, 2]
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典型例题: x 例1(2) 画出函数y= -cosx,x[0, 2]的简图: 0 2 1 -1 1 -1 0 1 0 -1
x cosx -cosx 1 -1 1 y x o 1 -1 y=-cosx,x[0, 2]
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? 思考: 同样的,如何利用y=cos x, x[0, 2]的图象,得到y=-cos x , x[0, 2]的图象?
你能否从函数图象变换的角度出发,利用y=sinx, x[0, 2]的图象,得到y=1+sinx , x[0, 2]的图象? 同样的,如何利用y=cos x, x[0, 2]的图象,得到y=-cos x , x[0, 2]的图象? o 1 y x -1 2 y=1+sinx,x[0, 2] y=sinx,x[0, 2] 向上平移1个单位
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思考: ? y x o 1 -1 y= cosx,x[0, 2] y=-cosx,x[0, 2] 作关于x轴对称的图象
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巩固练习1: x x 在同一坐标系内,用五点法分别画出函数y= sinx,
x[0, 2] 和 y= cosx,x[ , ]的简图, 并说出 它们之间的关系。 解: x sinx x cosx 1 -1 1 -1 向左平移 个单位长度 o 1 y x -1 2 y=sinx,x[0, 2] y= cosx,x[ , ]
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巩固练习2: 不用作图,你能判断函数 和y=cosx的图象有何关系吗? 解:∵ ∴这两个函数图象相同
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? 思考题: 方程 的 的解有多少个?
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总结提升 正弦、余弦函数的图象 1. 利用正弦线作正弦函数的图象(精确); 2.运用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象(简图);
3.利用正弦函数、余弦函数的图象研究函数的性质(数形结合).
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自我评价: 课本 P46 习题1.4 A组1.
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谢谢指导!
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(1) 等分 作法: (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线 - -1 1 - -1 1
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