数学实验 一元微积分 基础实验1 函数与极限 专题实验1 极限的应用 基础实验2 微分及其应用 专题实验2 选址问题

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1 数学实验 一元微积分 基础实验1 函数与极限 专题实验1 极限的应用 基础实验2 微分及其应用 专题实验2 选址问题
基础实验1 函数与极限 专题实验1 极限的应用 基础实验2 微分及其应用 专题实验2 选址问题 基础实验3 积分及其应用 专题实验3 销售决策问题

2 数学实验 一元微积分基础实验1 ——函数与极限

3 一、实验内容 二、实验目的 函数图形的显示，极限的运算，最值的计算． 1.熟悉Mathematica软件的基本操作．
2.掌握函数与极限的有关操作命令． 3.学会利用Mathematica软件对函数进行分析研究．

4 三、常用命令 1.Plot[f[x]],{x,min,max},选项]
2.Plot[{f1,f2,…},{x,min,max},选项] 功能：在同一坐标系下画出函数f1,f2,…的图形． 3.ParametricPlot[{fx,fy},{t,min,max}] 功能：画出参数方程x=x(t),y=y(t)的图形． 4.Show[％n,％m] 功能：将第n及第m个函数图形重叠在一起． 5.Limit[f[x],x－>x0,Direction－>±1] 功能：求函数f[x]在x0处的左、右极限． 7.FindMinimum[f[x],{x,x0}] 功能：从点x0开始求函数f[x]的局部极小值．

5 四、例子 1.利用图形显示命令分析下列函数的性质： (1)f(x)=（x2－x）sinx，x∈[0,16]
(3)f1(x)=sinx f2(x)=sin2x，x∈[0,2π] (4）

6 五、实验简单操作过程 1.(1) Plot[(x^2-x)Sin[x],{x,0,16}]
(2) Plot[Sin[x^2]/x^2,{x,-5,5}] (3) Plot[{Sin[x],Sin[2x]},{x,0,2Pi}] (4)ParametricPlot[{Sin[t],Sin[2t]},{t,0,2Pi}]

7 四、例子 2.计算下列极限： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (8) (7) (9) (10) (11)

8 五、实验简单操作过程 (3) In[7]: = Limit[((-1)^2)^n,n→Infinity]
2.(1) In[5]: =Limit[n*Sin[1/n],n→Infinity] Out[5]: =1 (2) In[6]:=Limit[n^2/(n+1)*Sin[(n+1)/n^2],n→Infinity] Out[6]: =1 (3) In[7]: = Limit[((-1)^2)^n,n→Infinity] Out[7]: =1 注:这里若输入 Limit [ (-1)^(2n), n-> Infinity ] 从结果可以看出Mathematica 什么都没做. 这是因为 Mathematica 并不能从式子中知道其中的 n 代表整数, 所以在输入时需处理一下. 事实上，在许多情况下，我们都需要对表达式作变形处理，才能求出结果.

9 五、实验简单操作过程 2. (4) In[8]: = Limit[((n+1)/n)^(n+1)n/(n+2),n→Infinity]
Out[8]: = e (5) In[9]: = Limit[Sin[x]/x,x→0] Out[9]: =1 (6) In[10]: = Limit[Sin[x]/x,x→0,Direction→-1] Out[10]: =1 (7) In[11]: = Limit[Sin[x]/x,x→0,Direction→+1] Out[11]: =1

10 五、实验简单操作过程 (9) In[13]: =Limit[(x^2-1)/(6x^2-12x+1),x→Infinity]
2. (8) In[12]: = Limit[(Tan[x]-Sin[x])/x^3,x→0] Out[12]: = 1/2 (9) In[13]: =Limit[(x^2-1)/(6x^2-12x+1),x→Infinity] Out[13]: = 1/6 (10) In[14]: =Limit[Sin[1/x],x→0] Out[14]: = Interval[{-1,1}] (11) In[15]: = Limit[1/x,x→0,Direction→-1] Out[15]: =∞

11 四、例子 3.求函数f(x) =xsin4x在x=2.3附近的极小值，并根据图形对照 .
解答： In[16]: = FindMinimum[x*Sin[4x],{x,2,3}] Out[16]: = { ,{x→ }}

12 数学实验 一元微积分专题实验1 ——极限的应用

13 一、实验内容 某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行，年利率为5%。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔的地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？

14 二、实验目的 1.利用一元函数极限的定义与计算解决 实际问题. 2.熟练掌握Mathematic计算极限的方法.

15 三、预备知识 1.一元函数极限的定义与常用的计算方法. 2.Limit[f[n],n->Infinity]
3.Limit[f[x],x->x0] 功能：计算函数在x无限趋近x0时的极限值. 4.Limit[f[x],x->x0,Direction->+1] 功能：计算函数在x0点的右极限值. 注：Direcyion->-1时,即为函数在x0处的左极限值.

16 四、实验的简单操作程序 若该储户每季度结算一次，则每季度利率为：
故第一季度后储户本息共计： ; 第二季度后储户本息共计： …… 依此，一年后该储户本息共计： 若该储户每月结算一次，月利率为： 按上面的方法知一年后储户本息共计： 该储户每5天结算一次，则一年后本息共计： 若该储户等间隔结算n次，则一年后本息共计： 随着结算次数的无限增加，即在上式中n->∞,故一年后本息共计：

17 四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[1]: = Clear[n] a[n_]:=100000(1+0.05/n)^n;
Limit[a[n],n → Infinity] Out[3]: = 注: 这就是经济学中常见的连续计息问题。

18 五、练习内容 本世纪初，瘟疫还常在某些地区流行.现假设有这样一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有A人患病，每个人年平均传染率为k ,治愈率为i，若一年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？若检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？

19 数学实验 一元微积分基础实验2 ——微分及其应用

20 一、实验内容 二、实验目的 导数的运算法则,复合函数求导法及参数方程求导法等． 1.进一步理解导数及其几何应用．
2.学习Mathematica的求导命令与求导法．

21 三、常用命令 1.D[f,x] 功能：对函数f求关于变量x的导数． 2.D[f,{x,n}] 功能：对函数f求关于变量x的n阶导数．
3.Dt[f] 功能：求函数f的全微分． 4.Dt[f,x] 功能：求函数f对于变量x的全微分． 5.Simplify[D[D[y[t],t]/D[x[t],t],t]/D[x[t],t]] 功能：求参数方程确定的函数的二阶导数． 6.D[f,{x,n},{y,m}…] 功能：求函数f对x的n阶对y的m阶的混合偏导．

22 四、例子 1.求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.求下列函数的二阶导数 (1) (2)

23 五、实验简单操作过程 1.(1) In[1]: = D[1/Sqrt[a^2-x^2],x]
Out[1]: = (2) In[2]: = D[x^2/Sqrt[x^2+a^2],x] Out[2]: = (3) In[3]: = D[E^(Sin[x])^3,x] Out[3]: = (4) In[4]: = D[(Sin[x/2])^2Cot[x/2],x] Out[4]: =

24 五、实验简单操作过程 (6) In[6]: = D[x^2*Sin[1/x],x]
1.(5) In[5]: = D[(Log[x^2])^3,x] Out[5]: = (6) In[6]: = D[x^2*Sin[1/x],x] Out[6]: = 2.(1) In[7]: = D[5x^4-3x+1,{x,2}] Out[7]: = (2) In[8]: = D[1/(x^2-1),{x,2}] Out[8]: =

25 四、例子 2.求下列函数的二阶导数 (3) (4) (5) (6) 3.求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数 (1) (2) (3)

26 五、实验简单操作过程 (4) In[10]: = D[Sin[x]Sin[2x]Sin[3x],x]
2.(3) In[9]: = D[x*Cos[x],{x,2}] Out[9]: = -x Cos[x]-2 Sin[x] (4) In[10]: = D[Sin[x]Sin[2x]Sin[3x],x] Out[10]: = 3 Cos[3 x] Sin[x] Sin[2 x]+2 Cos[2 x] Sin[x] Sin[3 x]+Cos[x] Sin[2 x] Sin[3 x] (5) In[11]: = Simplify[D[D[4t,t]/D[t^2,t],t]/D[t^2,t]] Out[11]: = (6) In[12]:=Simplify[D[D[a(Sin[t])^3,t]/D[a(Cos[t])^3,t],t] /D[a(Cos[t])^3,t]] Out[12]: =

27 五、实验简单操作过程 (1) In[14]: = ImplyD[x^2+(y[x])^2-R^2,x,y]
3. In[13]:= ImplyD[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,D[y[x],x]]; (1) In[14]: = ImplyD[x^2+(y[x])^2-R^2,x,y] Out[14]: = (2) In[15]: = ImplyD[x^2+x*y[x]+(y[x])^2-a^2,x,y] Out[15]: = (3) In[16]: = ImplyD[x*Cos[y[x]]-Sin[x+y[x]],x,y] Out[16]: = (4) In[17]: = ImplyD[y[x]-x-Log[y[x]],x,y] Out[17]: =

28 四、例子 3.求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数 (5) (6) 4.求下列函数的全微分 (1) (2) (3)

29 五、实验简单操作过程 (6) In[20]: = ParametricD[a(1-Cos[t]),a(t-Sin[t]),t]
3.(5) In[18]: = ParametricD[y_,x_,t_]:=-D[y,t]/D[x,t]; In[19]: = ParametricD[6t^2/(1+t^2),6t/(1+t^3),t] Out[19]: = (6) In[20]: = ParametricD[a(1-Cos[t]),a(t-Sin[t]),t] Out[20]: = 4.(1) In[21]: = Dt[Log[Sin[x]]+x*Sin[2^x]] Out[21]: =

30 五、实验简单操作过程 4.(2) In[22]: = Dt[(Sin[x])^2+(Sin[y])^2+(Sin[z])^2]
Out[22]: = 2Cos[x]Dt[x]Sin[x]+ 2Cos[y]Dt[y]Sin[y]+2Cos[z]Dt[z] Sin[z] (3) In[23]: = Dt[x*Sin[x+y]+Cos[x^2]/y] Out[23]: =

31 数学实验 一元微积分专题实验2 ——选址问题

32 一、实验内容 工厂A到铁路的垂直距离为3公里，垂足B到火车站C为5公里，汽车运费20元/吨公里，铁路运费15元/吨公里，为使运费最省，在M点建一转运站，且M在铁路BC间，问M应建在何处?

33 二、实验目的 三、预备知识 1．掌握求一元函数极值的驻点法解决实际问题．
2．掌握Mathematica中求极小值命令FindMinimum． 三、预备知识 1．一元函数极值与最值的求法． 2．FindMinimum[f，{x，x0}] 功能：选取初始点x0附近求f(x)的极小值． 3．FindMinimum[f，{x，x0，x1}] 功能：在选取的两个不同的初始点x0与x1附近求f(x)的极小值． 4．FindRoot[f[x_]]：==0，x] 功能：求方程f(x) ＝0的根．

34 四、实验的简单操作程序 此问题实际上是一个计算极小值的问题，由题已知条件，可设M到B的距离为x，则总费用L只与x有关，即可写出L（x）及其定义域．用Mathematica中清除命令Clear[x]清除x的值，再定义函数L（x），并求导．求函数L（x）的驻点及L（x）在驻点的函数值． 观测图形，选取初始点，用命令FindMinimum直接求函数L（x）的极小值，并与上面结果相比较．

35 四、实验的简单操作程序 In[1]: = Clear[x]; 实验步骤 Out[3]: = …Graphics…
L[x_]:=20Sqrt[9+x^2]+15(5-x); tt=D[L[x],x]; Plot[L[x],{x,0,5}] Out[3]: = …Graphics… 从图中可看出稳定点的唯一性，亦可画出导函数的图形来说明这一点.

36 四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[5]: = Plot[tt,{x,0,5}] Out[5]: = …Graphics…

37 四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[6]: = r=FindRoot[tt == 0,{x,3}] (注:求驻点)
原则上，把 FindRoot 应用于求导函数的根 ( 即函数的驻点 ) , 但FindMinimum 命令更为有效，此命令采用的是数值方法，它不仅将极小值点与极小值同时给出，而且在函数不可导时仍可求解,在实际操作时很实用. In[6]: = r=FindRoot[tt == 0,{x,3}] (注:求驻点) L[x]/r[[3]] (注:求L[x]在驻点的函数值) FindMinimum[L[x],{x,3}] Out[6]: = {x→ } Out[7]: = Out[8]: = { ,{x→ }}

38 五、练习内容 一幢楼房的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台．清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上．因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架7m长的梯子，问：它能达到要求吗?

39 数学实验 一元微积分基础实验3 ——积分及其应用

40 一、实验内容 二、实验目的 一元函数的不定积分与定积分 1.加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法．
2.学习求积分的命令Integrate与NIntegrate． 3.熟悉Mathematica软件在积分运算的重要作用．

41 三、常用命令 1.Sum[通项,{n,初始值,终止值}] 功能：对通项求得和的精确值． 2.NSum[通项,{n,初始值,终止值}]
功能：对通项求得和的近似值． 3.Integrate[被积函数,自变量] 功能：计算被积函数的一个原函数． 4.Integrate[被积函数,{自变量,下限,上限}] 功能：计算被积函数在区间[下限,上限]上的定积分值． 5.NIntegrate[被积函数,{自变量,下限,上限}] 或Integrate[被积函数,{自变量,下限,上限}]∥N 功能：计算被积函数在积分区间上的定积分值的近似值．

42 四、例子 1.求 和的近似值与精确值． 2.求下列函数的一个原函数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
1.求 和的近似值与精确值． 2.求下列函数的一个原函数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

43 五、实验简单操作过程 In[2]: = NSum[1/n,{n,1,100}]
1.(1) In[1]: = Sum[1/n,{n,1,100}] Out[1]: = In[2]: = NSum[1/n,{n,1,100}] Out[2]: = 2.(1) In[3]: = Integrate[x*Sqrt[x],x] Out[3]: = (2) In[4]: = Integrate[1/(x^2*Sqrt[x]),x] Out[4]: =

44 五、实验简单操作过程 2.(3) In[5]: = Integrate[Sec[x](Sec[x]-Tan[x]),x]
Out[5]: = -Sec[x]+Tan[x] (4) In[6]: = Integrate[1/(1+Cos[2x]),x] Out[6]: = (5) In[7]: = Integrate[1/Sin[x],x] Out[7]: = (6) In[8]: = Integrate[Cos[x]Sin[x]/(1+Cos[x])^2,x] Out[8]: =

45 五、实验简单操作过程 2.(7) In[9]: = Integrate[Log[x+1]/Sqrt[x+1],x] Out[9]: =
(8) In[10]: = Integrate[x^2*ArcTan[x],x] Out[10]: = (9) In[11]: = Integrate[1/(a^2(Cos[x])^2+b^2(Sin[x])^2),x] Out[11]: = (10) In[12]: = Integrate[(2x+3)/(x^2+3x-10),x] Out[12]: =

46 四、例子 3.计算下列定积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4.计算下列积分并求其结果对x的导数： (2) (1)

47 五、实验简单操作过程 3.(1) In[13]: = Integrate[Sqrt[1-x^2],{x,0,1}] Out[13]: =
(2) In[14]: = Integrate[Sqrt[x]*(1+Sqrt[x]),{x,4,9}] Out[14]: = (3) In[15]: = Integrate[1/(x+x^3),{x,1,2}] Out[15]: = (4) In[16]: = Integrate[(1+Log[x])/x,{x,1,E}] Out[16]: =

48 五、实验简单操作过程 3.(5) In[17]: = Integrate[1-x,{x,0,1}]+Integrate[x-1,{x,1,2}] Out[17]: = 1 (6) In[18]: = Integrate[(1-x)(4-x),{x,0,1}]+Integrate[(x-1)(4-x),{x,1,2}] Out[18]: = 3 4.(1) In[19]: = D[1/Sqrt[a^2-x^2],x] Out[19]: = (2) In[20]: = D[Integrate[Exp[t^2],{t,1,Sqrt[Log[x]]}],x] Out[20]: =

49 五、实验简单操作过程 4.(3) In[21]: = D[Integrate[ArcTan[x]/(1+x^2),{x,0,x}],x]
Out[21]: = (4) In[22]: = D[Integrate[Exp[-t^2],{t,x,x^2}],x] Out[22]: =

50 四、例子 5.判定广义积分 ， 与 的敛散性，收敛时计算出积分值． 6.求由 所确定的隐函 数y对x的导数． 7.求积分 的近似值．

51 5. In[23]: = Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity}]
五、实验简单操作过程 5. In[23]: = Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity}] Out[23]: = In[24]: = Integrate[x*Log[x],{x,0,1}] Out[24]: = In[25]: = Integrate[1/(1-x)^2,{x,0,2}] Out[25]: = ∞ 这说明积分不收敛.

52 五、实验操作过程简单 6. In[26]: = ImplyD[f_,x_,y_]:= Solve[D[f,x]==0,D[y[x],x]];
In[26]: = ImplyD[Integrate[E^t,{t,0,y[x]}]+Integrate[Cos[t],{t,0,x}],x,y] Out[27]: = 7. In[28]: = N[Integrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]] Out[28]: =

53 数学实验 一元微积分专题实验3 ——销售决策问题

54 一、实验内容 某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费b元，而每件的库存费为c元。在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进商品才能使所花手续费及库存费之和为最小？

55 二、实验目的 1.掌握一元函数的求导方法. 2.熟练掌握一元函数极值的方法，如：驻点法；图形驻点结合法；用FindMinimum命令直接求.

56 三、预备知识 1.一元函数微分学知识. 2.D[f[x],x] 功能：对函数f[x]关于x求导数. 3.D[f[x],{x,n}]

57 四、实验的简单操作程序 在均匀销售情况下，商品库存量仅需年销售量的一半，即 件，设总费用为y，共分x批购进，手续费为bx，每批购进的件数为 ，库存费 ，则

58 四、实验的简单操作程序 令 ，得 ，也即 (负值舍去) 又 所以 为极小值.

59 四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[1]: = Clear[x,a,b,c]; f[x_]:=b*x+a*c/(2x);
f1=D[f[x],x] Solve[f1==0,x] Out[3]: = Out[4]: = (注: 负值舍去) In[5]: = D[f[x],{x,2}] Out[5]: =

60 四、实验的简单操作程序 实验步骤 In[6]: = %/.{x→Sqrt[a*c]/Sqrt[2b]} Out[6]: =
( 注: 由函数在一点取得极值的第二种充分条件知是 f (x) 的极小点. )

61 五、练习内容 假定某林场种树x棵，根据经验每棵树的生产函数Q=tα，这里Q为t年后木料的板尺数，α为参数，因树种不同而异，且0<α<1；假定树的成本为F+WQ+rp dt，这里F为种树的成本，W为维护成长中的树每板尺所需费用，r为利息率，p为每板尺木料的价格，rp dt为到砍树时为止的因积压资金引起的机会成本，试问：什么时候砍树利润最大?