材料力学 刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社 教师：陈彬，教授， 航空航天学院 应用力学研究所

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1 材料力学 刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社 教师：陈彬，教授， chenb6@zju.edu.cn 航空航天学院 应用力学研究所
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2 第七章作业1 7.1、7.2(a,c)、7.3(a,c,d)、7.4(b,c) 7.8、7.10

3 基本变形的研究步骤 应力 强度条件 外力 内力 刚度条件 变形 工程实际问题 解决超静定 强度、刚度效核 截面尺寸设计 许可载荷确定

4 基本变形框架图 变形 轴向拉（压） 剪切* 扭转 平面弯曲 受力特点 作用在横截面内 力垂直轴线且与 都作用在纵向对称面内 内力
力垂直轴线且与 都作用在纵向对称面内 内力 （截面法求） 轴力 ，拉为 “+” 剪力 ，作用在剪切面内 扭矩T，正负由右手螺旋法则定 M下层纤维受拉为“+” 应力公式 （从变形、物 理、静力 三方面考虑定） 方向同 （计算剪应力）,方向同FS 沿切向与T转向一致 （矩形类截面）, 方向同 FS

5 变形 轴向拉（压） 剪切* 扭转 平面弯曲 强度条件 变形特点 轴向伸（缩） 沿剪切面相互错动 横截面相对有一个转角（扭转角 ，纵向线也有转角（剪切角 ） 横截面沿竖向位移（挠度w）；横截面绕中性轴转过一个角度（转角 ） 变形公式 , 拉为“+” 积分求解，用梁支承处的变形条件定积分常数，若M(x)分段还需分界点处的连续条件。 刚度条件 变形小于允许值

6 材料力学 第七章 应力应变分析 强度理论 Mechanics of Materials
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria

7 第七章 应力和应变分析 强度理论Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories
§7-1 应力状态概述 (Concepts of stress-state) §7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state) §7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state) §7-4 三向应力状态分析 (Analysis of three-dimensional stress-state)

8 §7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state)
§7-6 广义虎克定律 (Generalized Hook’s law) §7-7 复杂应力状态的变形比能 (Strain-energy density in general stress-state ) §7-8 强度理论 ( Failure criteria) §7-9 莫尔强度理论 (Mohr’s failure criterion)

9 一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state) 一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state) 请看下面几段动画 1、低碳钢和铸铁的拉伸实验 (A tensile test of low-carbon steel and cast iron) 2、低碳钢和铸铁的扭转实验 (A torsional test of low-carbon steel and cast iron)

10 低碳钢和铸铁的拉伸 铸铁 (cast-iron) 低碳钢 (low- carbon steel) ? 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

11 ? 低碳钢和铸铁的扭转 低碳钢 (low- carbon steel) 铸铁 (cast-iron)
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？

12 3、重要结论（Important conclusions)
(1) 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; (3) 同一面上不同点的应力各不相同; (4) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同 应 力 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 4、一点的应力状态（state of stresses of a given point) 过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态（state of stresses of a given point)，亦指该点的应力全貌.

13 二、应力状态的研究方法 (The method for investigating the state of stress)
x y xy yx 二、应力状态的研究方法 (The method for investigating the state of stress) 1、单元体（Element body） 2、单元体特征 (Element characteristic) 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 任意一对平行平面上的应力相等 3 1 2 3、主单元体(Principal body) 各侧面上切应力均为零的单元体

14 4、主平面(Principal plane)
切应力为零的截面 1 2 3 5、主应力(Principal stress) 主面上的正应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即

15 三、应力状态的分类(The classification of stresses-state)
1、空间应力状态(triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ) 三个主应力1 、2 、3 均不等于零 2、平面应力状态(biaxial stress-state or plane stress-state) 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零 3、单向应力状态(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零 3 1 2 2 1 1

16 例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F l/2 S平面 5 4 3 2 1

17 5 4 3 2 1 F S平面 M 5 4 3 2 1 x2 2 3 1 x1 2 3

18 例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态 单元体 F FS MZ T a l S x z y 4 3 2 1 z y 4 3 2
例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态 单元体 a l S F x z y 4 3 2 1 z y 4 3 2 1 FS MZ T

19 M x z y y z y 4 3 2 1 FS MZ T 4 3 2 1 x 1 3 2 z

20 例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态 p (1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F p 薄壁圆筒的横截面面积 D y z  m n D
′ n (1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F 薄壁圆筒的横截面面积

21 (2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象
" 直径平面 p y O FN  d

22 例4:圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。

23 (Analysis of plane stress-state)
§7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state) x x y z y xy yx x y xy yx 平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和  y , yx

24 一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section)
1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象 x y a x yx xy  n e f a x xy yx y α α α n e f

25 2、符号的确定 (Sign convention)
x y a x yx xy e f  n e f a x xy yx y α α α n 2、符号的确定 (Sign convention) (1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正 (2)正应力仍规定拉应力为正 (3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正

26 3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
f a x xy yx y α α α n e f a α dA dAsin dAcos 3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得

27 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
e f a x xy yx y α α α n 化简以上两个平衡方程最后得 不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

28 (Maximum normal stress and it’s direction)
二、最大正应力及方位 (Maximum normal stress and it’s direction) 1、最大正应力的方位(The direction of maximum normal stress ) 令 0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.

29 2、最大正应力(Maximum normal stress )
将 0和 0+90°代入公式 得到 max 和  min (主应力） 下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角

30 若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内
则确定主应力方向的具体规则如下 (1)当x> y 时 ， 0 是x与max之间的夹角 (2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角 (3)当x=y 时 ，0 =45°，主应力的方向可由单元体上 切应力情况直观判断出来

31 (Maximum shearing stress and it’s direction)
二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) 1、最大切应力的方位(The direction of maximum shearing stress ) 令 1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.

32 2、最大切应力(Maximum shearing stress )
将 1和 1+90°代入公式 得到 max和min 比较 和 可见

33 例题4 简支梁如图所示. 已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切 应力分别为 =-70MPa， =50MPa
例题4 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切 应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面 的方位.  A  m a l 解： 把从A点处截取的单元体放大如图 A  

34 因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
1 3 A 0 x A   因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应

35 例题5 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa
例题5 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位. x y xy n 30° e f (1) 求 ef 截面上的应力

36 (2) 求主应力和主单元体的方位 x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa =-30° 因为 x < y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应

37 x y xy 1 3 22.5°

38 例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.
例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. 解 （1）求主平面方位 1 3 xy 45° 因为 x = y ，且 x > 0 所以0= -45°与 max 对应 （2）求主应力 1 =  ， 2 = 0 ， 3 = - 

39 第七章作业2： 7.13、7.17、7.18 7.19、7.21、7.28

40 (Analysis of plane stress-state with graphical means)
§7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means) 一、莫尔圆(Mohr’s circle) 将斜截面应力计算公式改写为 2 + 2

41 因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为
变量的圆周方程。当斜截面随方位角  变化时, 其上的应力 ，  在 -  直角坐标系内的轨迹是一个圆 . 1、圆心的坐标 (Coordinate of circle center) 2、圆的半径（Radius of circle) 此圆习惯上称为 应力圆( plane stress circle) , 或称为莫尔圆(Mohr’s circle)

42 二、应力圆作法（The method for drawing a stress circle)
x y x yx xy y o   1、步骤（Steps) (1) 建  -  坐标系 ,选定比例尺

43 (4) 连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点
x y x yx xy  D xy y B x A o yx D′ C  (2) 量取 OA=  x AD =  xy 得 D 点 (3) 量取 OB= y BD′= yx 得 D′ 点 (4) 连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点 (5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆

44 2、证明(Prove) (1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为 xy o yx (2)该圆半径为 D   x A y
B yx D′ C 2、证明(Prove) (1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为 (2)该圆半径为

45 三、应力圆的应用（Application of stress-circle)
1、求单元体上任一 截面上的应力(Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle) 从应力圆的半径 CD 按方位角  的转向 转动 2 得到半径 CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力  和切应力  。 D xy o   x A y B yx D′ C 20 x y a x yx xy E 2  n F e f

46 D xy o   x A y B yx D′ C 20 E 2 F 证明：

47 说 明 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单
元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。 2   O C B A A B 

48 D xy o   x A y B yx D′ C 20 F E 2 2、求主应力数值和主平面位置 (Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle) 2 B1 (1)主应力数值 1 A1 A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2

49 （2）主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 xy 针转 0 （负值）即到 1 o
B yx D′ C 1 2 A1 B1 （2）主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线 20 0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定

50 3、求最大切应力(Determine maximum shearing stress by using stress circle)
xy o   x A y B yx D′ C 1 2 A1 B1 3、求最大切应力(Determine maximum shearing stress by using stress circle) G1 G2 20 G1 和 G 两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力 因为最大最小切应力 等于应力圆的半径

51 例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,
例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , (1)绘出相应的应力圆 (2)确定此单元体在  =30°和 = - 40°两斜面上的应力。 解: (1) 画应力圆 量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点; OB =y= 和， BD′ = yx= 0.2 , 定出 D′点 . 以 DD′ 为直径绘出的圆即为应力圆。 x y xy   o D′ (-0.4,0.2) C A B (-1,-0.2) D

52 将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE, E 点的坐标就 代表  = 30°斜截面上的应力。
(2) 确定  = 30°斜截面上的应力 将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE, E 点的坐标就 代表  = 30°斜截面上的应力。 (3) 确定  = - 40°斜截面上的应力 将 半径 CD顺时针转 2 = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40° 斜截面上的应力。 A D′ C   B o D  40° F 80° 40° 30°= MPa 30°= MPa 40°= 0.26MPa -40°= MPa 30° E 60°  30°

53 例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并
例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。 120 15 270 9 z a b 250KN 1.6m 2m A B C

54 解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN Mmax = MC = 80 kN•m
B C 解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN Mmax = MC = 80 kN•m + 200kN 50kN + 80kN.m

55 120 15 270 9 z a b (2)横截面 C上a 点的应力为 a x xy yx a点的单元体如图所示

56 (3)做应力圆 x =122.5MPa， xy =64.6MPa y=0， yx =-64.6MPa
由 x ， xy 定出 D 点 由 y ， yx 定出 D′ 点   以 DD′为直径作应力圆 (122.5 , 64.6) D A1，A2 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个主应力  1 和  3 A C A2 B O A1 3 1 (0 , ) D′ A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面

57 a (4)横截面 C上b点的应力 b点的单元体如图所示 b 3 yx 1 x 0 xy 120 15 9 z 270 x a

58 b 点的三个主应力为 b 1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C x  (136.5 , 0) D  D′
(0 , 0) D′ 1

59 (analysis of three-dimensional stress-state)
§7-4 三向应力状态分析 (analysis of three-dimensional stress-state) 一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 (the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state) 3 1 2 已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。 59

60 首先研究与其中一个主平面 (例如主应力3 所在的平面)垂 直的斜截面上的应力 用截面法，沿求应力的 截面将单元体截为两部分，
2 用截面法，沿求应力的 截面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象 1 3 1   2 1 2 60

61 主应力 3 所在的两平面上是一对 自相平衡的力， 因而该斜面上的 应力  ,  与 3 无关, 只由主应力 1 , 2 决定
1 , 2 决定 1 2 3 与 3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示   2 1 61

62 于与3 所在主平面垂直的所有斜截面上的应力
 该应力圆上的点对应 于与3 所在主平面垂直的所有斜截面上的应力 与主应力 2 所在主平面垂 直的斜截面上的应力,  可 用由 1 ,3 作出的应力圆 上的点来表示  2 B A 1 O C 3 与主应力 １ 所在主平面垂 直的斜截面上的应力 ,  可用 由 2 ,3作出的应力圆上的点 来表示 62

63 该截面上应力  和  对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内
a b c 2 abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面 1 1 该截面上应力  和  对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内 3 2 63

64 结论 三个应力圆圆周上的点 及由它们围成的阴影部分 上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的 应力 该点处的最大正应力
 A 1  O 2 B C 3 三个应力圆圆周上的点 及由它们围成的阴影部分 上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的 应力 该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大应 力圆上A点的横坐标 1

65 最大切应力则等于最大的 应力圆的半径 最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。 
A 1  O 2 B C 3 最大切应力则等于最大的 应力圆的半径 最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。

66 例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位.
例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位. 40MPa x y z 20MPa 解: 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力 66

67 由 x ， xy 定出 D 点 由 y ， yx 定出 D′ 点 以 DD′为直径作应力圆 A1，A2 两点的横坐标分别代
O  由 x ， xy 定出 D 点 由 y ， yx 定出 D′ 点 以 DD′为直径作应力圆 D′ A1，A2 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力  1 和  3 C A1 A2  3 =-26MPa 1 3 D  1 =46MPa 该单元体的三个主应力  1 =46MPa  2 =20MPa  3 =-26MPa 根据上述主应力，作出三个应力圆 67

68 (Analysis of plane strain-state)
§ 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) 平面应力状态下，已知一点的应变分量x 、y 、 γxy ，欲求方向 上的线应变α和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件，分别找 出微单元体（长方形）由于已知应变分量x 、y 、 γxy在此方向上 引起的线应变及切应变，再利用叠加原理. 一、任意方向的应变(The strain of any direction) 在所研究的 O 点处, Oxy 坐标系 内的线应变 x , y , xy 为已知. 求该点沿任意方向的线应变  . y x O

69 将Oxy 坐标绕O点旋转一个 角，得到一个新 Ox' y'坐标系.
并规定  角以逆时针转动时 为正值，反之为负值. y' x'  为 O 点沿 x‘方向的线应变  为直角  x‘Oy’的改变量 ，即切应变.  假设: （1）O点处应变是均匀的; （2）变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立; 分别计算  x ,y ,xy 单独存在时的线应变  和切应变  ，然 后叠加得这些应变分量同时存在时的 和  .

70 1、推导线应变  ( Derive the linear strain)
从O点沿 x′方向取出一微 段 OP = dx′, 并以它作为 矩形 OAPB 的对角线. x y O  y' x' P A B 该矩形的两边长分别为 dx 和 dy dx' dx dy

71 （1）只有正值 x 存在 假设 OB 边不动，矩形 OAPB 变形后成为 OA'P'B 的伸长量 为 O点沿 x'方向的线应变 1 为
y O （1）只有正值 x 存在 y' x' 假设 OB 边不动，矩形 OAPB 变形后成为 OA'P'B A B dx dy A' P' P  D  xdx 的伸长量 为 O点沿 x'方向的线应变 1 为

72 （2）只有正值 y存在 假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为 OAP"B' 的伸长量为 O点沿 x'方向的线应变 2 为 y
ydy 假设 OA 边不动  D' x' A B dx dy P 矩形 OAPB 变形后为 OAP"B'  的伸长量为 O点沿 x'方向的线应变 2 为

73 （3）只有正值 切应变γxy存在 使直角增大的  为正 假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为 OAP"'B" 的伸长为
γxydy x' 假设 OA 边不动 B P''' B'' P 矩形 OAPB 变形后为 OAP"'B"  D'' dy γxy  O dx A x 的伸长为 O 点沿 x′方向的线应变为

74 根据叠加原理，x , y 和 xy 同时存在时，O点沿 x´方向的线应
变为 2、切应变  (Shearing strain) 以上两式利用三角函数化简得到

75 二、主应变数值及其方位 (The principal strains and it’s direction)