计算机数学基础(下) 第5编 数值分析 第12章 数值积分与微分(续).

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1 计算机数学基础(下) 第5编 数值分析 第12章 数值积分与微分(续)

2 本章主要内容： 高斯点 高斯—勒让德公式 高斯求积公式 等距节点的两点求导公式 三点求导公式 重点：高斯求积公式
难点：积分区间的转化，等距节点的三点求导公式。

3 教学要求： 1。熟练掌握高斯点的求法， 2。会用高斯求积公式计算数值积分， 3．了解高斯求积公式的代数精度， 4．掌握几个数值微分计算公式。

4 教学资源 1．  中央电大在线平台上文字辅导材料《计算机数学基础(2)》数值积分(02-12)和IP课件计算机数学基础(二)辅导2，学员需注册才能进入。 2．  安徽电大网站上的教学服务栏目中有文字辅导材料第三次辅导。 注意：安徽电大影音在线中的VOD教学课件中计算机本科的教学栏目内的课件全部是《计算机数学基础(上)》的教学内容，不可看。而应该在计算机专科的教学栏目中看《计算机数学基础(下)06》的教学内容。

5 12.3 高斯求积公式 12.3.1 高斯求积公式和高斯点 考察两个点的求积公式： 它可以是： 具有1次代数精度，
高斯求积公式 高斯求积公式和高斯点 考察两个点的求积公式： 它可以是： 具有1次代数精度， 也可以是： 具有3次代数精度。 它表明，有n+1个节点的求积公式 最高可以具有2n+1次代数精度。 这类求积公式称为高斯求积公式。

6 当求积公式： 具有2n+1次代数精度时，其n+1个节点 称为高斯点。 这样的求积公式对于一切次数不超过2n+1次的多
都能精确成立，关键问题是哪些节点是高斯点，各节 点对应的系数 是多少。 下面，我们就给出求高斯点的公式： 高斯—勒让德公式。

7 12.3.2 高斯—勒让德公式 通过变量替换 ，我们可以把积分 区间从[a,b]变换成[-1,1]，
高斯—勒让德公式 通过变量替换 ，我们可以把积分 区间从[a,b]变换成[-1,1]， 当t在[-1,1]间取值时， 的值在[a,b]间 把以t为变量的积分值乘以 ，就得到以x为变量 在区间[a,b]上的积分值。 因此，我们可以在区间[-1,1]内寻找高斯点。 在区间[-1,1]上的求积公式称为高斯—勒让德公式：

8 勒让德多项式： 的零点就是在区间[-1,1]内的高斯点。
注意：这里的n指的是在区间[-1,1]内节点的个数， 而不是下面求高斯求积公式的代数精度时所说的n。 　n＝1， 　n＝2， n＝3，　　　　　　　　　　　　

9 选取适当的系数。就可得到高斯求积公式： 1个节点时， 具有1次代数精度。算代数精度时的n＝0。 2个节点时， 具有3次代数精度。算代数精度时的n＝1。 3节点时， 具有5次代数精度。算代数精度时的n＝2。 　　　　　　　　　　　　

10 例2 用两个节点的高斯—勒让德求积公式计算积分
解：取 ， n＝1，具有3次代数精度。

11 例3 用高斯—勒让德求积公式计算 使其具有5次代数精度。 解：2n+1＝5，n＝2，用3个节点的高斯—勒让德公式,

12 12.4 数值微分 本书中求数值微分的方法称为插值型求导公式。 它的思路是：利用已知的函数值 ，用
数值微分 本书中求数值微分的方法称为插值型求导公式。 它的思路是：利用已知的函数值 ，用 等距节点的插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似，然后 对Pn(x)求导，得到f’(x)。 我们知道，两点的插值函数为： 若两个节点用 表示，并记

13 两节点的导数为： 三点的插值函数为： 若节点用 表示，并记

14 分别取 代入，得三节点处的求导公式 该公式比较复杂，不要死背硬记，那样很容易忘 记。要寻找系数中的规律进行记忆。

15 例1 已知数据为 用三点公式求 解：

16 [2002年1月试卷选择题4] 已知当 时的函数值 ，则 B

17 [2001年7月试卷计算题13(2)] 设函数值表为 取步长h=0.2，计算f’(2.7)的近似值，计算保留4位小数。
解：步长h=0.2，计算f’(2.7)，只能用x=2.5,2.7,2.9计算

18 本课小结： 1． 高斯—勒让德公式是建立在区间[-1，1]上的数值积分公式。对于积分区间是[a，b]的数值积分，可通过变量替换 ，化为[-1，1]上的数值积分。 2． 高斯点的求法是求勒让德多项式的零点。勒让德多项式是 。要注意的是该公式里的n表示的是高斯点的个数，而不是求高斯求积公式的代数精度时所用到的n。

19 1．  一个高斯点的求积公式是 ， 两个高斯点的求积公式是 ， 三个点的求积公式是 ， 2．  求高斯求积公式的代数精度时，n＝高斯点数－１，它具有2n＋1次代数精度。 3．  等距节点的两点求导公式是：

20 等距节点的三点求导公式是： 作业： P.133、P.137、P.143 带※的练习题