合理解题有效应试学习复习解题考试. 合理解题有效应试学习复习解题考试数学学习关键词： ——听做问数学中考考什么？ ——考“感觉”

合理解题有效应试学习复习解题考试

数学学习关键词： ——听做问数学中考考什么？ ——考“感觉”

——做值得做的题目 1.作业要有收获 2.不要浪费时间 3.解题尽量彻底 ——做一个算一个二、关于复习 ——注意效率 ①知识雷同的题目少做
②弱化的知识不要做太多太深 ③外省的复习资料要有选择 ④技巧性太强的代数题目少做 ⑤复杂的几何证明少做 3.解题尽量彻底 ——做一个算一个

1.梯形ABCD,AB∥CD,CB⊥AB,AB=AD, AB=2CD,E、F为中点。则△AEF与五边形BCDFE面积之比为多少？
导引91页6.

梯形ABCD,AB∥CD,CB⊥AB,AB=AD, AB=2CD,E、F为中点。则△AEF与五边形BCDFE面积之比为多少？
导引91页6.

2. 等腰直角△ABC，∠C=90º, AC=BC=6，图中哪个正方形大？

哪个大？

3. ①正方形ABCD. E为中点，EF⊥AE 交∠DCG的平分线于点F. 求证：AE=EF

3. ②正方形ABCD. E为BC上一点， EF⊥AE交∠DCG的平分线于点F.
求证：AE=EF

3. ③正方形ABCD. E为BC延长线上一点，EF⊥AE交∠DCG的平分线于点F. 求证：AE=EF

解题考试

一、题目特点

例 =？考查知识 1+2+3+……+100 =？

例2. 已知求的值

例3.有理数，使得也都是有理数，写出两个这样的数：_____ , _____

例4.有理数，使得也都是有理数，写出两个这样的数：_______ , _______

注重通性通法淡化特殊技巧

例5. 设，则

例6. 解方程组 ① ②

2008年第16题.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为______．（第16题图） O A1 A2 A3 A4 A B B1 B2 B3 1 4 2008年第16题

2009年第16题.如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是____ 2009年第16题

2010年第16题.在如图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．

2011年16. 由“赵爽弦图”变化得到。8个全等的直角三角形拼接而成。记大中小三个正方形的面积依次为，且 =10，则 =____
2011年16. 由“赵爽弦图”变化得到。8个全等的直角三角形拼接而成。记大中小三个正方形的面积依次为，且 =10，则 =____ 2011年第16题

16.如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于____
2012年第16题

几何分析

例2.A、B、C是⊙O上三点,连接弧AB和弧AC
的中点D、E的弦交弦AB、AC于F、G，试判断△AFG的形状.

例3.∠B=2∠C,AD⊥AC, 求证：DC=2AB E

你的问题在哪里？

1. 读题太快 2. 图感较差

例1. BC⊥AD于点C，DF⊥AB于点F，设 ∠EAB= ，若△AFD的面积是△EFB 面积的9倍，则cos 的值为_____

例8.线段AB＝4，C是AB中点，分别以AC、CB
为直径作半圆01，半圆02，直线PS∥AB与两个半圆依次交于点P、Q、R、S．若PS＝，则QR＝____________ 01 02

3.△ABC中，∠C=90º AC=3, BC=4. 两个正方形如图摆放。求DH的长

例13.四边形是四个全等的正方形，若四边形ABCD与八边形的面积之比为1：11，则这个八边形一个内角的度数是______

例13.四边形是四个全等的正方形，若四边形ABCD与八边形的面积之比为1：11，则这个八边形一个内角的度数是____

例13.四边形是四个全等的正方形，若四边形ABCD与八边形的面积之比为1：11，则这个八边形一个内角的度数是_____

1. 读题太快 2. 图感较差 3. 思维偏慢

1.两个正方形. 求DF：AG

找答案

9. 两个正方形. 求DF：AG D A B C E F G

1. 两个正方形. 求DF：AG A B C D E F G

1.两个正方形. 求DF：AG D A B C E F G

2.已知点O是边长为的等边△ABC 内一点，OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC. 求AE+BF+CD=

24、（2011•湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程） H

1. 读题太快 2. 图感较差 3. 思维偏慢 4. 效率不高

例1.矩形ABCD,AB=6，AD=11，如图翻折，使E、H、F共线。求AE的长

3.∠BAC=60º, ∠ABC=45°，AB= ， D为BC上一动点，以AD为直径的圆交 AB、AC于点E、F，则EF的最小值为 _______

4. CA⊥AD,ED⊥AD, BC⊥BE，BC=BE, BF⊥AD,BF=AD,∠AFD=51°，求∠CFE的度数。

谢谢！祝你成功！

2.已知点O是边长为的等边△ABC 内一点，OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC. 求AE+BF+CD=

补充题1.已知点O是边长为的等边△ABC内一点，OE⊥AB, OF⊥BC, OD⊥AC.
求证： AE+BF+CD=

4b 4a 4a 4a 9b 9b 9b 9a

16.如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于____
2012年第16题

1. 读题太快 2. 图感较差 3. 思维偏慢 4. 效率不高

1. 读题稍慢 2. 思考要快 3. 注意效率 4. 直觉有用

例14.矩形ABCD,AB=6，AD=11，如图翻折，使E、H、F共线。求AE的长
x 11-x x 11-x x M 11-2x

2.一个六边形ABCDEF恰好分成3个正方形和4个三角形，3个正方形面积分别为4、16、20，则六边形ABCDEF面积是________

7. 梯形ABCD, CE为∠DCB的角平分线，且EC⊥AB，BE=2AE, 四边形AECD面积为1. 求梯形ABCD的面积。

7. 梯形ABCD, CE为∠DCB的角平分线，且EC⊥AB，BE=2AE, 四边形AECD面积为1. 求梯形ABCD的面积。
x 1 1+x

6.正方形ABCD，E是CD中点，F是AD上的点(不包括A、D点)，且 ∠AFB =∠EFB ，求AF:FD = __________________

7.16.如图，反比例函数 (x>0)的图象交矩形OABC的边BC，BA分别于点D，E，且CD=2DB，直线DE分别交x轴、y轴于点G，F，记△FCD，△DBE，△EAG的面积分别为 ,则的值为_______. （补充）第16题

补充题2.等腰直角△ABC，∠C=90º, AC=BC=2，图中哪个正方形大？

梯形ABCD,AB∥CD,CB⊥AB,AB=AD, AB=2CD,E、F为中点。则△AEF与五边形BCDFE面积之比为多少？
导引91页6.

12、设，则

你要注意什么？

读要稍慢想要稍快

BC⊥AD于点O， DC⊥AC于点C，求证：（1）△ABC是等腰三角形； (2) ∠D=∠B.
例4. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线， BC⊥AD于点O， DC⊥AC于点C，求证：（1）△ABC是等腰三角形； (2) ∠D=∠B. C B D A O

24．如图，已知⊙A过原点O且与x轴交于点C(6,0)，与y轴交于点B（0,8），直线y=kx（k>0）与⊙A交于另一点P,连结线段PC, （1）线段OP长度的最大值为_______; ∠OPC=________; (2) 当k=1时，求点P的坐标；（3）设过点O，C的抛物线的顶点为Q，问是否同时存在，k的值，使得以O，C，Q为顶点的三角形与△OCP相似？（若存在，k的值，则直接写出答案）（第24题图）二中模拟第24题

直觉很重要

4.方程的整数解有组.

会审题

补充题3. ∠BAC=60º, ∠ABC=45°，AB= ，D为BC上一动点，以AD为直径的圆交AB、AC于点E、F，则EF的最小值为_______

补充题4.直角坐标系中，点M(-5,0)，半径为4的⊙M交x轴于A、B点，P为⊙M上不同于A、B的任意一点，PA、PB交y轴于C、D点，以CD为直径的⊙N交x轴于E、F点，则线段EF的长为______

补充5.正方形ABCD. E为中点， EF⊥AE交∠DCG的平分线于点F.
求证：AE=EF

补充5.正方形ABCD. E为BC上一点， EF⊥AE交∠DCG的平分线于点F.
求证：AE=EF

补充5.正方形ABCD. E在BC延长线上， EF⊥AE交∠DCG的平分线于点F.
求证：AE=EF

补充5.正方形ABCD. E为BC上一点， EF⊥AE交∠DCG的平分线于点F.
求证：AE=EF

29. MN为⊙O直径，四边形ABCD、EFGC是两个正方形。其中B、C、G点在MN上，A、F点在⊙O上，已知⊙O的半径为5。则这两个正方形的面积之和是否为定值？若是定值，求出该值；若不是，用AB的的长表示面积之和。 b a x

29. MN为⊙O直径，四边形ABCD、EFGC是两个正方形。其中B、C、G点在MN上，A、F点在⊙O上，已知⊙O的半径为5。则这两个正方形的面积之和是否为定值？若是定值，求出该值；若不是，用AB的的长表示面积之和。 1

29. MN为⊙O直径，四边形ABCD、EFGC是两个正方形。其中B、C、G点在MN上，A、F点在⊙O上，已知⊙O的半径为5。则这两个正方形的面积之和是否为定值？若是定值，求出该值；若不是，用AB的的长表示面积之和。

1：等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F，连结AE．①求证：D是AC的中点； ②若CD=CF=4，求⊙O的直径； ③sin∠CAE=k（k>0），求的值．（2010二中模拟）（第23题图）

24、（2011•湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程） H

谢谢！

一、关于学习数学学习关键词： ——听做问数学中考考什么？ ——考“感觉”

1. 做了多少题目？ 2. 数学中考考什么？

注重通性通法淡化特殊技巧

不要浪费时间 1. 弱化的知识不要做太多太深 2. 外省的复习用书资料要有选择，教材有差异

不要浪费时间 3. 技巧性太强的代数题目少做《考试说明》：注重通性通法淡化特殊技巧

不要浪费时间 4.复杂的几何证明少做（单独的几何证明）

1.复杂的几何证明不宜钻研过多过深 2.六中的百题试卷检查基础知识掌握情况的较好试卷

例4. abc =1, 求的值

一、题目特点二、如何分析三、你的问题四、几个提醒

例11.已知：∠B =2∠C，AD平分∠BAC 求证：AC = AB + BD E E

引伸1.正△ABC 内接于圆O，P 是CB弧上任意一点，求证：PC+PB= PA

求证两条线段的和常见的辅助线是延长或者截取
O P C B A O P C B A D D 求证两条线段的和常见的辅助线是延长或者截取

学习复习

数学中考考什么？ ——“感觉”

当n=0,1,2,3,4,5时,代数式的值是质数吗?你能否得到结论:对于所有的自然数n这个代数式的值都是质数?
想一想当n=0,1,2,3,4,5时,代数式的值是质数吗?你能否得到结论:对于所有的自然数n这个代数式的值都是质数?

补充题2. 已知是方程的一个实数根，则（） A B C D.

补充题2. 已知是方程的一个实数根，则（ A） A B C D.

祝你快乐祝你成功

2. 已知:如图,AD是△ABC的高,E是 AD上一点.AD=BD,DE=DC,
⌒ B C D E 1 ∟ A

A B C B' A' C' D

找答案

也都是有理数，写出两个这样的数：_______ , _______
5.有理数，使得也都是有理数，写出两个这样的数：_______ , _______

6.正方形ABCD，E是CD中点，F是AD上的点(不包括A、D点)，且 ∠AFB =∠EFB ，求AF:FD = __________________

谢谢！

祝你快乐祝你成功

1：等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F，连结AE．①求证：D是AC的中点； ②若CD=CF=4，求⊙O的直径； ③sin∠CAE=k（k>0），求的值．（2010二中模拟）（第23题图）

例6.∠B=2∠C,AD⊥AC, 求证：DC=2AB

7. 梯形ABCD, E为AB上一点，且EC⊥AB，BE=2AE, 四边形AECD面积为1. 求梯形ABCD的面积。

运动----连续 1.变化-----函数 2.不变-----常量------特殊

7.两个正方形，BC=6.求△BEF面积 A B C D E F G

9.两个正方形. 求DF：AG

9.两个正方形. 求DF：AG A B C D E F G

10.B、C是⊙O上三点,连接弧AB和弧AC 的中点D、E的弦交弦AB、AC于F、G，试判断△AFG的形状.

10.A、B、C是⊙O上三点,连接弧AB和弧AC
的中点D、E的弦交弦AB、AC于F、G，试判断△AFG的形状.

11.矩形ABCD,AB=6,AD=8，菱形EFGH,E、F、H分别在三边BC、CD、AB上,BE=5. 求三角形AHG的面积最小值

（第16题图） O A1 A2 A3 A4 A B B1 B2 B3 1 4

(2) 若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290<a<306．则a的值是_______ ．(写出一个即可)

例6.∠APB=∠BPC=120º,∠ABC=60°， AP=6，PC=8, 求PB长.

例8.线段AB＝4，C是AB中点，分别以AC、CB
为直径作半圆01，半圆02，直线PS∥AB与两个半圆依次交于点P、Q、R、S．若PS＝，则QR＝____________ 01 02

1. 读题太快 2. 图感较差

7. 梯形ABCD, E为AB上一点，且EC⊥AB，BE=2AE, 四边形AECD面积为1. 求梯形ABCD的面积。

例12. BC⊥AD于点C，DF⊥AB于点F，设 ∠EAB= ，若△AFD的面积是△EFB面积的9倍，则cos 的值为_______

例13. 四边形是四个全等的正方形，若四边形ABCD与八边形的面积之比为1：11，则这个八边形一个内角的度数是 ____

例13. 四边形是四个全等的正方形，若四边形 ABCD与八边形的面积之比为1：11，则这个八边形一个内角的度数是 ____

1. 读题太快 2. 图感较差 3. 思维偏慢

一、题目特点二、如何解题三、反思

直觉很重要

例4. abc =1, 求的值

补充题1.已知点O是边长为的等边△ABC内一点，OE⊥AB, OF⊥BC, OD⊥AC.
求证：AE+BF+CD=

补充题2. 已知是方程的一个实数根，则（） A B C D.

补充题2. 已知是方程的一个实数根，则（ A） A B C D.

3.四边形ABCD,∠B+∠C=90,E、F是AD、BC中点，EF=4，求以AB和CD为直径的半圆面积之和_________

8.如图,直线与x轴、y轴交于Ａ、Ｂ两点，且OA=OB=1,点Ｐ是反比例函数图象在第一象限的分支上的任意一点，Ｐ点坐标为（a,b），由点Ｐ分别向x轴,y轴作垂线PM、PN,垂足分别为M、N；PM、PN分别与直线交于点Ｅ，点Ｆ。（１）设交点E、F都在线段AB上，分别求出点E、点F的坐标。（用含a的代数式表示）（2）△AOF与△BOE是否一定相似？若是，请给出证明；若不一定相似或一定不相似，请简短说明理由。（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论。（4）在反比例函数图象上是否存在点P，使点P 到直线AB的距离最短，若存在，求出点P坐标及最短距离；若不存在，说明理由．

Dododox.读读通 1. 趋势 2. 有效

谢谢！

已知：如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的中点, DE分别交AB和AC于点M、N; 求证:△AMN是等腰三角形. ⌒ ⌒
例8. 已知：如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的中点, DE分别交AB和AC于点M、N; 求证:△AMN是等腰三角形. ⌒ ⌒ ●O D A B C N M E

例12.两个正方形.求DF：AG D A B C E F G

1.做了多少题目？两万道题 2.中考数学考什么？感觉——解题能力

(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路 (由“因”导“果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善. 上面几何证明的步骤和格式，是今后几何证明中必须遵循的，我们在证明时一定要按这些步骤和格式进行。

做一做： 1、已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。

基础问答 7.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是 AD上一动点，PE⊥AC于E， PF⊥ BD于 F，则PE+PF的值是 . 2.4
O

引伸1、正三角形ABC 内接于圆O，P 是CB弧上任意一点，求证：PC+PB= PA
.

D

证法二: 延长CP至D，使DP=BP,连结BD, O P C B A ∵ △ABC是等边三角形 ∴AB=BC，∠BAC= 60° ∵四边形ABPC内接于⊙O，∴∠BPD=∠BAC= 60° 又∵ DP=BP,∠BPD= 60° ∴ △BPD是正△，BP=DP, ∠DBP =60 ° ∵ ∠DBP= ∠ABC =60 ° ∴ △ABP≌ △BCD∴AP=CD=DP+PC=BP+PC ∴ ∠ABP= ∠CBD D

求证两条线段的和常见的辅助线是延长或者截取
O P C B A O P C B A D D 求证两条线段的和常见的辅助线是延长或者截取

例6、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900，四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG.
∴CF∥DE D E F A B C G ∴△ACF∽△ADE ∴ ① 又∵FG ∥AC∥BE ∴△AGF∽△ABE ∴ ② 又∵ DE=BE ∴FC=FG 由①②可得：

3. 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点， ED交CB的延长线于F。
求证：BD·CF=CD·DF C E B A D F

（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。
拓展提高 5、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由； C A B D P E x 5 5-x y （２）设ＡＰ＝x　ＤＥ=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； 2 （3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。

类比猜想探究如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点P。
S3 S1 S2 如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE、FG、MN交于点P。若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3 SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以验证。探究

2、已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A E F B D C

8、如图，ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长是。 8cm
E是AD的中点,BM⊥EC, 垂足为M, 则BM的长为 E A D M B C

4、如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数。

6、已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,M为CD的中点,过M作MN⊥AB于N. 求证:S梯形ABCD =AB×MN.

◆如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD的中点，CE和BF相交于G，求证：CD=GD.
P F A D E G B M C

8. 如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AE交BD于F，设∠ABC=，则=( ) （A）sin (B) cos (C) tan (D) sin

3.2三角形的内切圆 C B A D F E

3． △ABC 周长为20，AB=6 则_______
4. 若三边分别为5、6、7，则_______ F E o A B D

5．若△ABC 周长为20，半径为3，则△ABC 面积为___
F E o A B D

例1：等边三角形的边长为3cm，求内切圆的半径r。 A D O C B

例1：如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆。已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，
求圆柱底面圆的半径。 A D O C B

知识回顾 1、确定圆的条件是什么？ 1.圆心与半径 2.不在同一直线上的三点 2、叙述角平线的性质与判定 3、下图中△ABC与圆O的关系？
性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。知识回顾 3、下图中△ABC与圆O的关系？ A C B O △ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心

思考下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。思考 C B A

探究：思考下列问题： A M 1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？ O B N C
图2 A B C 2．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。

3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
探究： 3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ C 作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。 F E I A 4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？ B D 只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。

探究：三角形内切圆的作法 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。作法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I. 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。 A M N I D B C

识记 1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。 O 图2 A B C

例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
三角形内心性质的应用 O为△ABC的内心分析： BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 O A 2 4 3 B C 1 ∠1 + ∠3= ? ∠O = ?

例1：如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆。已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。

例2：已知:如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,设△ABC的周长为L, 求证：AE+BC= L
解：连结OE,OF,OA ∵ ⊙O是△ABC的内切圆,E,F为切点 ∴ ∠AEO= ∠AFO=Rt ∠ 又∵OE=OF,OA=OA, ∴ △AOE≌ △AOF∴AE=AF 同理,BD=BF,CD=CE ∴AE+BC=AE+BD+CD= F E O C B D

辨析: 名称确定方法图形性质三角形三边中垂线的交点内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点外心（三角形外接圆的圆心）
（1） OA=OB=OC （2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．外心（三角形外接圆的圆心）

补充练习如图:直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c 则其内切圆的半径为: r = a+b-c 2 A B C O a b c D E
如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。 r 2cm

2、圆内接平行四边形是矩形延伸与拓展 A C B D O D 菱形圆外切平行四边形是_______

检测 1、判断：如图：1、△ABC是圆O的外切三角形。（） A 2、圆O是△ABC的外接圆。（）
2、到三角形三边距离相等的点是三角形的（） A、内心 B、外心 3、一个直角三角形的斜边的长为10cm，内切圆的半径为1cm，则三角形的周长是 A O C B

已知：△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，
求证：DE=DB=DC 补充练习 A E B C D

作业 1、课本作业题 2、作业本 3、同步特训 4、订正作业 5、收集易错题

3． △ABC 周长为20，AB=6 则_______
F E o A B D

例9.已知：如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的中点, DE分别交AB和AC于点M、N; 求证:△AMN是等腰三角形. ⌒

6.正方形ABCD，E是CD中点，F是AD上的点，且 ∠AFB =∠EFB ，求AF:FD = ______

解题与考试

1.做了多少题目？两万道题 2.中考数学考什么？感觉——解题能力

1：等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F，连结AE．①求证：D是AC的中点； ②若CD=CF=4，求⊙O的直径；（2）在△ADB和△ABF中， ∵∠ADB=∠ABF=90°，∠DAB=∠FAB， ∴△ADB∽△ABF．（2分） ∴ ，∴ ．（1分）（第23题图）

求证：（1）△ABC是等腰三角形；例4 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于点O， DC⊥AC于点C， (2)∠D=∠B. C

29. MN为⊙O直径，四边形ABCD、EFGC是两个正方形。其中B、C、G点在MN上，A、F点在⊙O上，已知⊙O的半径为5。则这两个正方形的面积之和是否为定值？若是定值，求出该值；若不是，用AB的的长表示面积之和。

补充题3. ∠BAC=60º, ∠ABC=45°，AB= ，D为BC上一动点，以AD为直径的圆交AB、AC于点E、F，则EF的最小值为_______

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