第三章 一元流体动力学 §3.2 欧拉法的基本概念 §3.3 连续性方程 §3.4 元流的伯努利方程 §3.5 总流的伯努利方程

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1 第三章 一元流体动力学 §3.2 欧拉法的基本概念 §3.3 连续性方程 §3.4 元流的伯努利方程 §3.5 总流的伯努利方程
§3.1 研究流体运动的两种方法 §3.2 欧拉法的基本概念 §3.3 连续性方程 §3.4 元流的伯努利方程 §3.5 总流的伯努利方程 §3.6 总流的动量方程 §3.7 动量矩方程 2019/2/28 杨小林制作

2 §3.1 研究流体运动的两种方法 3.1.1 拉格朗日法 式中（a，b，c，t）称为拉格朗日变量。
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3 流体质点速度 流体质点加速度 2019/2/28 杨小林制作

4 3.1.2 欧拉法 欧拉法：着眼于流场中的固定空间或空间上的固定点，研究空间每一点上流体的运动要素随时间的变化规律。显然，欧拉法中运动要素是空间坐标和时间的函数，即 式中（x，y，z，t）称为欧拉变量。 2019/2/28 杨小林制作

5 欧拉法中质点的加速度应按复合函数求导法则导出
其分量式 式中 称为时变加速度； 称为位变加速度。 2019/2/28 杨小林制作

6 例3-1 已知流场的速度分布： 。试求：t＝1时，过点M（2，1）上流体质点的加速度a。
解：由式（3-8）得 当t＝1、x＝2、y＝1时，有 同理 即 2019/2/28 杨小林制作

7 §3.2 欧拉法的基本概念 若流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，这种流动称为恒定流，否则称为非恒定流。 恒定流中：
3.2.1 恒定流与非恒定流 若流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，这种流动称为恒定流，否则称为非恒定流。 恒定流中： 3.2.2 三维流动、二维流动、一维流动 若流体运动要素是三个空间坐标和时间t的函数，这种流动称为三维流动。若只是两个空间坐标和时间t的函数，就称为二维流动。若仅是一个空间坐标和时间t的函数，则称为一维流动。 2019/2/28 杨小林制作

8 1.迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。迹线微分方程 ：
迹线与流线 1.迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。迹线微分方程 ： 式中时间t是自变量。 2.流线 流线：指某一时刻流场中的一条空间曲线，曲线上所有流体质点的速度矢量都与这条曲线相切，如图所示。 2019/2/28 杨小林制作

9 流线的特性： 如图，点M处的速度为u，ds为流线在M点的微元线段矢量，根据流线定义，u与ds共线，则 流线微分方程 式中时间t是常数。
（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线。 2019/2/28 杨小林制作

10 （2）不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流线越稀，流速越小。
（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。 2019/2/28 杨小林制作

11 1.流面：在流场中任取一条不是流线的曲线，过该曲线上每一点作流线，由这些流线组成的曲面。
流面、流管、过流断面 1.流面：在流场中任取一条不是流线的曲线，过该曲线上每一点作流线，由这些流线组成的曲面。 2.流管：在流场中任取一条不与流线重合的封闭曲线，过封闭曲线上各点作流线，所构成的管状表面。 流束：流管内部的全部流体。 元流：断面积无限小的流束。元流断面上各点的运动要素可认为是相等的。 总流：断面积为有限大小的流束。总流由无数元流组成，其过流断面上各点的运动要素一般情况下不相同。 2019/2/28 杨小林制作

12 3.过流断面：在流束上取所有各点都与流线正交的横断面。过流断面可以是平面或曲面。
3.2.5 流量、断面平均流速 1.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流量可以用体积流量Q（m3/s）、质量流量Qm（kg/s）和重量流量QG（N/s）表示。显然，对于均质不可压缩流体有 元流体积流量 总流的体积流量 2019/2/28 杨小林制作

13 2.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速u一般不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的流量与实际流量相同。
均匀流与非均匀流 流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流，否则称为非均匀流。按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流，否则称为急变流。 2019/2/28 杨小林制作

14 显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质： （1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面； （2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，即 。
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15 3.2.7 有压流、无压流、射流 有压流：边界全部为固体（如为液体则没有自由表面）的流体运动。例，给水管道中的流动
有压流、无压流、射流 有压流：边界全部为固体（如为液体则没有自由表面）的流体运动。例，给水管道中的流动 无压流：边界部分为固体，部分为大气，具有自由表面的液体运动。例，河渠中的水流运动以及排水管道中的流动。 射流：流体从孔口、管嘴或缝隙中连续射出一股具有一定尺寸的流束，射到足够大的空间去继续扩散的流动。例，经孔口或管嘴射入大气的水流运动。 2019/2/28 杨小林制作

16 §3.3 连续性方程 3.3.1 连续性微分方程 在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为控制体。设流体在该六面体形心O΄（x、y、z）处的密度为ρ，速度 为u。根据泰勒级数 展开，可得x轴方向 的速度和密度变化， 如图所示。 2019/2/28 杨小林制作

17 在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量差
同理，在y、z轴方向 单位时间流进与流出控制体总的质量差 2019/2/28 杨小林制作

18 由于控制体的体积固定不变，所以，流进与流出控制体的总的质量差只可能引起控制体内流体密度发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流体的质量变化为
根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的总的质量差，必等于单位时间控制体内流体的质量变化。即 2019/2/28 杨小林制作

19 ② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
化简得 此式即为可压缩流体的连续性微分方程。 几种特殊情形下的连续性微分方程 ① 对恒定流，上式可简化为 ② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为 对二维不可压缩流体，不论流动是否恒定，上式可简化为 2019/2/28 杨小林制作

20 ③ 柱坐标系下，三维可压缩流体的连续性微分方程为
式中：ur为径向分速；uθ为周向分速；uz为轴向分速。 对不可压缩均质流体，上式可简化为 2019/2/28 杨小林制作

21 如图，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体V，对其空间积分可得
总流的连续性方程 如图，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体V，对其空间积分可得 根据高斯定理，有 un是u在微元面积dA外法线方向 的投影。因侧表面上un=0，故上 式可简化为 2019/2/28 杨小林制作

22 对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，有
即 上式称为总流的连续性方程。 对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，有 2019/2/28 杨小林制作

23 §3.4 元流的伯努利方程 3.4.1 理想流体元流的伯努利方程 为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成
该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能求得其解。这些特定条件为： ① 恒定流动，有 2019/2/28 杨小林制作

24 ② 沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得
对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线 下列关系式成立，即 ， ， ③ 质量力只有重力，则 2019/2/28 杨小林制作

25 ④ 不可压缩均质流体，ρ=常数。上式可写为
根据以上积分条件， 有 ④ 不可压缩均质流体，ρ=常数。上式可写为 积分得 对同一流线上的任意两点1、2，有 2019/2/28 杨小林制作

26 上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，称为伯努利方程。由于元流的过流断面面积无限小，所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。
理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件： 1、理想流体； 2、恒定流动； 3、质量力只有重力； 4、沿元流（流线）积分； 5、不可压缩流体。 2019/2/28 杨小林制作

27 ：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置高度或位置水头；
3.4.2 理想流体元流伯努利方程的意义 ：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置高度或位置水头； ：单位重量流体具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头； ：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头； ：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头； 2019/2/28 杨小林制作

28 ：单位重量流体具有的机械能，又称总水头。
解释伯努利方程的物理意义和几何意义！ 2019/2/28 杨小林制作

29 3.4.3 理想流体元流伯努利方程的应用 说明毕托管的测速原理。
理想流体元流伯努利方程的应用 说明毕托管的测速原理。 如图，现欲测定均匀管流过流断面上A点的流速u，可在A点所在断面设置测压管，测出该点的压强p，称为静压。另在A点同一流线下游取相距很近的o点，在该点放置一根两端开 口的L型细管，使一端管口 正对来流方向，另一端垂直 向上，此管称为测速管。测 出的压强称为总压或全压。 2019/2/28 杨小林制作

30 以Ao所在流线为基准，忽略水头损失，对A、o两点应用理想流体元流伯努利方程
考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数c，则 将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器，称为 毕托管。 2019/2/28 杨小林制作

31 实际流体元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体元流的伯努利方程为 式中： 为实际流体元流单位重量流体从1-1过流断 面流到2-2过流断面的机械能损失，称为元流的水头 损失。 2019/2/28 杨小林制作

32 §3.5 总流的伯努利方程 3.5.1 总流的伯努利方程 图示为实际流体恒定 总流，过流断面1-1、2-2 为渐变流断面，面积为A1、
总流的伯努利方程 图示为实际流体恒定 总流，过流断面1-1、2-2 为渐变流断面，面积为A1、 A2。在总流中任取元流， 其过流断面的微元面积、 位置高度、压强及流速分 别为dA1、z1、p1、u1； dA2、z2、p2、u2。 2019/2/28 杨小林制作

33 将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量
，得单位时间通过元流两过流断面的能量方程 对上式积分，可得单位时间通过总流两过流断 面的能量方程 下面分别确定上式中三种类型的积分 2019/2/28 杨小林制作

34 式中α为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实际流速计算动能时引起的误差。即
（1） （2） 式中α为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实际流速计算动能时引起的误差。即 （3） 式中 表示单位重量流体从过流断面1-1流到2-2的平均机械能损失，称为总流的水头损失。 2019/2/28 杨小林制作

35 将以上积分结果代入前式，得 因两断面间无分流及汇流， ，得 上式即为实际流体总流的伯努利方程。若式中的hw =0，则
因两断面间无分流及汇流， ，得 上式即为实际流体总流的伯努利方程。若式中的hw =0，则 上式即为理想流体总流的伯努利方程。 2019/2/28 杨小林制作

36 3.5.2 总流伯努利方程的应用条件和注意事项 总流伯努利方程的应用条件： ① 恒定流动； ② 质量力只有重力； ③ 不可压缩流体；
总流伯努利方程的应用条件和注意事项 总流伯努利方程的应用条件： ① 恒定流动； ② 质量力只有重力； ③ 不可压缩流体； ④ 所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面间允许存在急变流； ⑤ 两过流断面间无分流或汇流； ⑥ 两过流断面间无其它机械能输入输出。 2019/2/28 杨小林制作

37 ① 过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。
总流伯努利方程的注意事项： ① 过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。 ② 过流断面上的计算点原则上可以任意选取，但若计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自由液面上。 ③ 基准面是任意选取的水平面，但一般使z为正值。 ④ 方程中的压强p1与p2可用绝对压强或相对压强，但同一方程必须采用同种压强来度量。 2019/2/28 杨小林制作

38 总水头线是沿程各断面总水头 的连线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度J表示
3.5.3 水头线及水力坡度 总水头线是沿程各断面总水头 的连线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度J表示 测压管水头线是沿程各断面测压管水头 的连线。测压管水头线沿程可升、可降、可水平，其变化快慢用测压管水头线坡度Jp表示 2019/2/28 杨小林制作

39 3.5.4 总流伯努利方程的应用 1. 文丘里管 文丘里管是一种测量管道流量的仪器，由收缩段、喉管与扩散段三部分组成。
总流伯努利方程的应用 1. 文丘里管 文丘里管是一种测量管道流量的仪器，由收缩段、喉管与扩散段三部分组成。 如图，列1-1、2-2断面 的伯努利方程 令 ，则上式简化为 2019/2/28 杨小林制作

40 列1-1、2-2断面连续性方程，得 联解前两式，得 则通过文丘里管的流量 式中K称为仪器常数。 2019/2/28 杨小林制作

41 考虑到两断面间实际上存在能量损失，引入流量系数ψ，可得
装测压管时 装压差计时 2.沿程有能量输入或输出的伯努利方程 当两断面间安装有流体机械装置时，流体流经水泵或风机将获得能量，流经水轮机将失去能量。设流体获得或失去的能量水头为H，根据能量守恒原理，可得有能量输入或输出的总流伯努利方程 2019/2/28 杨小林制作

42 如左图，设想在分流处作分流面ab，将分流划分为两支总流，每支总流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立分流伯努利方程
3.沿程有分流或汇流的伯努利方程 如左图，设想在分流处作分流面ab，将分流划分为两支总流，每支总流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立分流伯努利方程 2019/2/28 杨小林制作

43 同理，如右图。可建立汇流伯努利方程 2019/2/28 杨小林制作

44 4.不可压缩气体的伯努利方程 这里介绍总流伯努利方程应用于不可压缩气体流动时不同于液体流动的情况。设恒定气流，如图。气流的密度为ρ，外部大气的密度为ρa，过流断面1-1、2-2上计算点的绝对压强分别为p1abs、p2abs。 2019/2/28 杨小林制作

45 列1-1、2-2断面的伯努利方程，并表示为压强的形式，有
现将上式中的绝对压强改用相对压强p1、p2表示。由于气流的密度同外部大气的密度具有相同的数量级，必须考虑外部大气压在不同高度的差值。假设大气压强沿高程按静压强分布，则 气流在过流断面1-1、2-2处的绝对压强 2019/2/28 杨小林制作

46 将p1abs、p2abs代入压强表示的伯努利方程式，得
上式即为以相对压强表示的不可压缩气体的伯努 利方程。当气流的密度和外界大气的密度相同或 相差甚小，或两计算点的高度基本相同时，上式 简化为 2019/2/28 杨小林制作

47 当气体的密度远大于外界大气的密度时，不可压缩气体伯努利方程式中大气的密度ρa可忽略不计，简化为
即 2019/2/28 杨小林制作

48 例3-4 如图，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道直径d1＝125mm，d2＝100mm，喷嘴出口直径d3＝80mm，水银压差计中的读数Δh＝180mm，不计水头损失，求管道的泄水流量Q和喷嘴前端压力表读数p。 2019/2/28 杨小林制作

49 解：以出口管段中心轴为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程
因 代入上式，得 由总流连续性方程 联解两式，得 2019/2/28 杨小林制作

50 因压力表所在断面的管径与2-2断面的管径相同，故
列压力表所在断面及3-3断面的伯努利方程 因压力表所在断面的管径与2-2断面的管径相同，故 则压力表读数 2019/2/28 杨小林制作

51 例3-5 如图，已知离心泵的提水高度z＝20m，抽水流量Q＝35L/s，效率η1＝0. 82。若吸水管路和压水管路总水头损失hw＝1
例3-5 如图，已知离心泵的提水高度z＝20m，抽水流量Q＝35L/s，效率η1＝0.82。若吸水管路和压水管路总水头损失hw＝1.5mH2O，电动机的效率η2＝0.95，试求：电动机的功率P。 2019/2/28 杨小林制作

52 解：以吸水池面为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程
由于1-1、2-2过流断面面积很大，故v1≈0，v2≈0，并且p1＝p2 ＝0，则 故电动机的功率 2019/2/28 杨小林制作

53 例3-6 如图，气体由相对压强为 的气罐，经直径d＝100mm的管道流入大气，管道进、出口高差h＝40m，管路的压强损失 ，试求：（1）罐内气体为与大气密度相等的空气（ ）时，管内气体的速度v和流量Q；（2）罐内气体为密度 的煤气时，管内气体的速度v和流量Q。 2019/2/28 杨小林制作

54 解：（1）罐内气体为空气时，列气罐内1-1断面和管道出口断面2-2的伯努利方程
因 ，上式简化为 即 故管内气体的速度 管内气体的速度流量 2019/2/28 杨小林制作

55 （2）罐内气体为煤气时， ，列气罐内1-1断面和管道出口断面2-2的伯努利方程
（2）罐内气体为煤气时， ，列气罐内1-1断面和管道出口断面2-2的伯努利方程 即 故管内气体的速度 管内气体的速度流量 2019/2/28 杨小林制作

56 §3.6 总流的动量方程 质点系动量定理指出：质点系的动量对于时间 的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和，即 总流的动量方程 在恒定总流中，任取1-1、2-2两渐变流过流断面，面积分别为A1、A2，以两过流断面及侧表面围成的空间为控制体，如图。若控制体内的流体经dt时段，由1-2运动到1´-2´位置，则产生动量变化 2019/2/28 杨小林制作

57 对于恒定流动 则 2019/2/28 杨小林制作

58 式中β为动量修正系数，修正以断面平均流速代替 实际流速计算动量时引起的误差，即
因过流断面为渐变流断面，故 对于不可压缩流体，有 式中β为动量修正系数，修正以断面平均流速代替 实际流速计算动量时引起的误差，即 2019/2/28 杨小林制作

59 由质点系动量定理，有 上式即为总流的动量方程。其分量式 2019/2/28 杨小林制作

60 ① 总流动量方程对理想流体和实际流体均适用。
3.6.2 总流动量方程的应用条件和注意事项 应用总流动量方程时必须满足下列条件： ① 恒定流动； ② 所取过流断面为渐变流或均匀流断面； ③ 不可压缩流体。 应用总流动量方程时还需注意以下各点： ① 总流动量方程对理想流体和实际流体均适用。 ② 正确选取控制体，全面分析作用在控制体内流体上的外力。特别注意控制体外的流体通过两过流断面对控制体内流体的作用力，此力为断面上相对压强 2019/2/28 杨小林制作

61 ③ 总流动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒。
与过流断面面积的乘积。 ③ 总流动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒。 ④ 动量方程宜采用投影式进行计算。正确确定外力和流速的投影正负，若外力和流速的投影方向与选定的坐标轴方向相同则为正，相反则为负。 ⑤ 流体对固体边壁的作用力F与固体边壁对流体的作用力F′是一对作用力和反作用力。应用动量方程可先求出F′，再根据F＝－F′求得F。 2019/2/28 杨小林制作

62 例3-7 如图，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1=500mm，d2=400mm，转角θ=45º，断面1-1处流速v1=1
例3-7 如图，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1=500mm，d2=400mm，转角θ=45º，断面1-1处流速v1=1.2m/s，相对压强p1＝245kPa。若不计弯管水头损失，试求水流对弯管的作用力分量Fx、Fy。 2019/2/28 杨小林制作

63 解：取过流断面1-1、2-2及管壁所围成的空间为控制体。
分析作用在控制体内流体上的力，包括：过流断面上的压力P1、P2；弯管对水流的作用力Fx′、Fy′；选直角坐标系xoy，重力在xoy水平面上无分量。 令β1＝β2＝1，列总流动量方程x，y轴方向的投影式 由连续性方程，得 2019/2/28 杨小林制作

64 以管轴线为基准，列1、2断面伯努利方程 得 将各量代入动量方程，得 水流对弯管的作用力 ，方向与ox轴方向相同 ，方向与oy轴方向相同
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65 例3-8 如图，夹角呈60º的分岔管水流射入大气，干管及管的轴线处于同一水平面上。已知v2＝v3＝10m/s，d1＝200mm，d2＝120mm，d3＝100mm，忽略水头损失，试求水流对分岔管的作用力分量Fx、Fy。 2019/2/28 杨小林制作

66 解：取过流断面1-1、2-2、3-3及管壁所围成的空间为控制体。
分析作用在控制体内流体上的力，包括：过流断面1-1上的压力P1；过流断面2-2和3-3上的压力P2＝P3＝0；分岔管对水流的作用力Fx′、Fy′；选直角坐标系xoy，重力在xoy水平面上无分量。 令β1＝β2＝1，列总流动量方程x，y轴方向的投影式 2019/2/28 杨小林制作

67 以分岔管轴心线为基准线，列1、2断面伯努利方程
将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力 水流对分岔管的作用力 ，方向与ox轴方向相同 ，方向与oy轴方向相反 2019/2/28 杨小林制作

68 例3-9 如图，水平方向的水射流以v0＝6m/s的速度冲击一斜置平板，射流与平板之间夹角α＝60º，射流过流断面面积A0＝0
例3-9 如图，水平方向的水射流以v0＝6m/s的速度冲击一斜置平板，射流与平板之间夹角α＝60º，射流过流断面面积A0＝0.01m2，不计水流与平板之间的摩擦力，试求：（1）射流对平板的作用力F；（2）流量Q1与Q2之比。 2019/2/28 杨小林制作

69 解：取过流断面1-1、2-2、0-0及射流侧表面与平板内壁为控制面构成控制体。因整个射流在大气中，过流断面1-1、2-2、0-0的压强可认为等于大气压强。因不计水流与平板之间的摩擦力，则平板对水流的作用力F′与平板垂直。 （1）求射流对平板的作用力F 列y轴方向的动量方程 其中 代入动量方程，得平板对射流的作用力 则射流对平板的作用力 ，方向与oy轴方向相反 2019/2/28 杨小林制作

70 （2）求流量Q1与Q2之比 列x轴方向的动量方程 分别列0-0、1-1断面及0-0、2-2断面的伯努利方程，可得 因 代入上式，解得
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71 §3.7 动量矩方程 质点系动量矩定理指出：质点系对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和。
令恒定总流动量方程式中的β1=β2=1，并将方程两边对流场中某固定点取矩，得 上式即为恒定总流的动量矩方程。 动量矩方程主要应用在旋转式流体机械。 2019/2/28 杨小林制作

72 离心式泵或风机的叶轮 2019/2/28 杨小林制作

73 叶轮以角速度ω旋转，流体在叶轮内，一方面以相对速度w沿叶轮叶片流动；另一方面以等角速度ω作旋转运动，牵连速度为u，若以v表示流体的绝对速度，则v＝w＋u。叶轮进、出口速度三角形如图所示。
将叶轮两面轮盘及叶轮内外圈间的所有流道作为控制体，流道中的流动相对于匀速旋转的叶轮来讲是恒定的。不考虑流体的粘性且流场对称，因此外力矩只有叶片对流道内流体的作用力对转轴的力矩，其总和为M。 2019/2/28 杨小林制作

74 单位时间叶轮作用给流体的功 则单位重量理想流体通过叶轮所获得的能量 上式即为涡轮机械的基本方程。 由恒定总流的动量矩方程式，得
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75 例3-10 如图，离心风机叶轮的转速n＝1725r/min，叶轮进口直径d1＝125mm，进口气流角α1＝90º，出口直径d2＝300mm，出口安放角β2＝30º，叶轮流道宽度b1＝b2＝b＝25mm，流量Q＝372m3/h。试求：（1）叶轮进口处空气的绝对速度v1与进口安放角β1；（2）叶轮出口处空气的绝对速度v2与出口气流角α2；（3）单位重量空气通过叶轮所获得的能量HT。 2019/2/28 杨小林制作

76 解：（1）叶轮进口牵连速度 叶轮进口绝对速度 叶片进口安放角 （2）叶轮出口绝对速度 2019/2/28 杨小林制作

77 故： （3）单位重量空气通过叶轮获得的能量 因： ，由涡轮机械的基本方程式得 2019/2/28 杨小林制作