第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 蒙特卡罗方法求积分 重要抽样 俄国轮盘赌和分裂 半解析方法 系统抽样 分层抽样.

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1 第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 蒙特卡罗方法求积分 重要抽样 俄国轮盘赌和分裂 半解析方法 系统抽样 分层抽样

2 第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用 计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。

3 蒙特卡罗方法求积分 蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。

4 设欲求积分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs) 表示 s 维空间的点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令 则
即θ是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：Pi，i＝1，2，…，N， 则 就是θ的近似估计。

5 重要抽样 偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令 则有
现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则 就是θ的又一个无偏估计。

6 重要抽样和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函I[f1] 极小。 利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为

7 特别地，当 g(P)≥0 时，有 这时 即 g1的方差为零。实际上，这时有 不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。

8 俄国轮盘赌和分裂 分裂 设整数 n≥1，令 则 于是计算θ的问题，可化为计算 n 个θi 的和来得到，而每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技巧。

9 俄国轮盘赌 令 0 ＜ q＜1， 则 于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值， ζ的特性为： 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，这就是俄国轮盘赌。

10 重要区域和不重要区域 我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分θ贡献小的区域为不重要区域，或不感兴趣的区域。 考虑二重积分 令R是V2上 x 的积分区域，表为 R＝R1+R2，其中R1是重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q为V2上相应于 y 的积分区域。则

11 通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用
作为θ的一个无偏估计。 现在，改变抽样方案如下： 当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取 n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值 代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。

12 当 x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜ q(xi) ＜1，
以抽样值 代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。这里ξ是随机数。 显然，这种抽样估计技巧，就是对 x∈R1时，利用分裂技巧，而对 x∈R2时，利用俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。

13 半解析（数值）方法 考虑二重积分 令 则θx为θ的无偏估计。

14 θx 的方差为 而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为θ的估计，其方差为

15 系统抽样 我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是： 从 fl(x) 中抽取 xi， 再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，

16 yi 的抽样方法不变。 其方差为 与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约

17 分层抽样 考虑积分 在（0，1）间插入J－1个点 0＝α0＜ α1＜ …＜ αJ-1＜ αJ＝1 令

18 则有 现在，用蒙特卡罗方法计算θj ，对每个θj 利用 fj(x)中的nj 个样本xij ，那么有

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