第二章 函数 插值 — 分段低次插值.

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1 第二章 函数 插值 — 分段低次插值

2 为什么分段低次插值 n  时 Ln(x) 不一定收敛于 f(x) 插值多项式的次数并非越高越好！
高次多项式插值的病态性质： n  时 Ln(x) 不一定收敛于 f(x) 插值多项式的次数并非越高越好！ 例：Runge 函数的等距节点插值多项式 ex22.m

3 Runge 现象

4 Runge 现象

5 Runge 现象

6 分段低次插值 常见的分段低次插值 分段线性插值 分段三次 Hermite 插值 三次样条插值 用分段低次多项式函数来逼近原函数 f(x)
— 要求插值函数在整个插值区间上都二阶连续可导

7 内容提要 分段低次插值 分段线性插值 分段三次 Hermite 插值（两点三次Hermite） 三次样条插值（见下一节）

8 分段线性插值 分段线性插值 f(x) 在这些节点上的函数值为 y0 , y1 , … , yn
设 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 为 [a, b] 上的互异节点 f(x) 在这些节点上的函数值为 y0 , y1 , … , yn 记 ， 求分段函数 Ih(x) 满足 Ih(x) 在每个小区间 [xk, xk+1] 上是线性函数

9 分段线性插值 由以上条件直接可得 Ih(x) 在小区间 [xk, xk+1] 上的表达式
x  [xk, xk+1]， k = 0, 1, … , n-1

10 Ih(x) 在 [a, b] 上 一致收敛 到 f(x) 分段线性插值的缺点： Ih(x) 在节点不可导
误差估计 误差估计 在小区间 [xk, xk+1] 上有 当 h 0 时， Ih(x) 在 [a, b] 上 一致收敛 到 f(x) 分段线性插值的缺点： Ih(x) 在节点不可导

11 分段三次Hermite插值 分段三次 Hermite 插值
设 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 为 [a, b] 上的互异节点 yk ＝ f(xk) , mk ＝ f'(xk) ， k = 0, 1, … , n 求分段函数 Ih(x) 满足 Ih(x) 在每个小区间 [xk, xk+1] 上是三次多项式

12 分段三次Hermite插值 误差估计（教材第41页定理 4） 由以上条件直接可得 Ih(x) 在小区间 [xk, xk+1] 上的表达式
x  [xk, xk+1]， k = 0, 1, … , n-1 误差估计（教材第41页定理 4）

13 插值举例 例：函数 ，插值区间 [-5, 5]，取等距节点（将插值区间10等分），试分别用分段线性插值和分段三次Hermite插值画出 f(x) 的近似图像。 ex27.m

14 分段插值注记 基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式 具体作法： 优点：公式简单、 运算量小、稳定性好、收敛性 …
(1) 把整个插值区间分割成多个小区间 (2) 在每个小区间上作低次插值多项式 (3) 将所有插值多项式拼接成一个多项式 优点：公式简单、 运算量小、稳定性好、收敛性 … 分段三次 Hermite 插值比分段线性插值效果更好 但公式较复杂，且需要额外信息（导数）

15 作业 1. 教材第 48 页：15，17，18，19 思考： 给出等距分段抛物插值多项式的误差上界。 提示：
第 15 题：参考 Lagrange 插值余项公式的证明思想。 第 17 题：写出 Ih(x) 在小区间 [xk , xk+1] 上的表达式，分别计算 Ih(x) 和 f(x) 在每个小区间中点处的值（可以借助计算器），用 表格形式给出，误差通过插值余项来估计。 第 18 题和 19 题：写出插值函数在小区间 [xk , xk+1] 上的表达式即可。 第 19 题：分段两点三次Hermite插值 思考： 给出等距分段抛物插值多项式的误差上界。