第九章 数项级数 §9.1 级数的收敛性 §9.2 正项级数 §9.3 一般项级数.

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1 第九章 数项级数 §9.1 级数的收敛性 §9.2 正项级数 §9.3 一般项级数

2 §9.1级数的收敛性 一、问题的提出 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件

3 一、问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积

4 二、级数的概念 1. 级数的定义: 一般项 (常数项)无穷级数 级数的部分和 部分和数列

5 2. 级数的收敛与发散:

6

7 余项 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．

8 观察雪花分形过程 第一次分叉： 播放 依次类推

9 第 次分叉： 周长为 面积为

10 于是有 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．

11 解

12 收敛 发散 发散 发散 综上

13 解 已知级数为等比级数，

14 解

15

16 解 等比级数

17 三、基本性质 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,  敛散性不变.  结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

18 解

19

20 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.

21 证明

22 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散

23 四、收敛的必要条件 级数收敛的必要条件: 证明

24 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;  发散 2.必要条件不充分. 

25 讨论

26 4项 2项 8项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散.

27 五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法

28 思考题 思考题解答 能．由柯西审敛原理即知．