二面角 欧 进 兰 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 半平面及二面角的定义 1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平.

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3 二面角 欧 进 兰

4 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。
半平面及二面角的定义 1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。 面 半平面 半平面 面 棱

5 二面角的 画法与记法 1、二面角的画法： （1）、平卧式 （2）、直立式

6 面—棱—面 l 二面角－AB－  二面角C－AB－ D 二面角－ l－  二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： A C B D
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7 讨论思考区   l O B A 思考： 如何度量这个二面角的大小呢？

8 注 意 ? 二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 ? == 注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关. （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多大. 等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。） 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 注 意

9 想一想： ？ 二面角的范围： (0。,180。]

10 注 意 二面角的 平面角的定义、范围及作法 4、二面角的平面角的常用作法： A B 1、定义法： 根据定义作出来。 o 2、垂面法：
作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。 o A B 注 意 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内

11 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D；
寻找二面角的平面角 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D； （2）二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1

12 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D；
寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D； （2）二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1

13 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D；
寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D； （2）二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1 O

14 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D；
寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D； （2）二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1 O

15 A. 例2、已知二面角－ l －  ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到 l 的距离为 4.求二面角 － l －  的大小. 
求解二面角 例2、已知二面角－ l －  ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到 l 的距离为 4.求二面角 － l －  的大小.  l A.  分析：首先应找到或作出二面 角的平面角,然后证明这个角就 是所求的平面角, 最后求出这个 角的大小。 O D

16 A. 例1、已知二面角－ l －  ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到 l 的距离为 4.求二面角 － l －  的大小. 
求解二面角 例1、已知二面角－ l －  ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到 l 的距离为 4.求二面角 － l －  的大小. A. O  B D  l

17 l 解： D 过 A作 AO⊥于O，过 A作 AD⊥ l 于D，连OD， A .  就是二面角 O  － l －  的平面角.
所以 所以   l A . 所以 就是二面角 － l －  的平面角. D O 在Rt△ADO中， ∵sin∠ADO= AO AD ∴ ∠ADO=60°. ∴二面角 － l－  的大小为60 °.

18 如图，ABCD是一个梯形，AD//BC，
，求面SCD与面SBA所成二面角（不超过） 的正切值。 S D B A E C

19 S D B A E C 解：延长BA,CD相交于E，连接SE ，则SE就是所求二面角的棱。 因为 AD//BC, BC=2AD.
即为所求二面角的正切值

20 ★ 直二面角—— 平面角为直角的二面角 叫做直二面角. O A B 记作:

21 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
例3 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α 求证：α⊥β. ∪ 证明： 设α∩β=CD,则B∈CD. α A ∪ ∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. C D E B 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， β ∪ ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是 直二面角，∴α⊥β.

22 D B A C A C B D G H 二面角的应用举例 课后思考题：如图，山坡倾斜度是60度， 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.
沿这条路向上走100米,升高了多少? D B A C A C B D G H

23 二面角的应用举例 例1、如图，山坡倾斜度是60度， 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少? D C G H B A A C B G D H

24 *转化思想 —降维 1、二面角的定义： 2、二面角的画法和记法： 3、二面角的平面角： 4、二面角的平面角的作法： 6、数学思想 空间问题
课堂小结 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。 1、二面角的定义： 1、二面角的平面角 的大小与 其顶点 在棱上的位置无关 2、二面角的大小用 它的平面角的大 小来度量 2、二面角的画法和记法： 画法：直立式和平卧式 记法：二面角 －AB－  二面角 － l－  *转化思想 —降维 空间问题 平面问题 3、二面角的平面角： 1、根据定义作出来 2、利用直线和平面垂 直作出来 4、二面角的平面角的作法： 6、数学思想