2.2等差数列.

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1 2.2等差数列

2 复习回顾: 1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数, 简记作:{an} 2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式 3.数列的分类 (1)按项数分： 有穷数列， 无穷数列 递减数列， (2)按项之间的大小关系： 递增数列， 摆动数列， 常数列。 4.数列的实质 5.递推公式: 如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.

3 2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻
1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5， 10，15，20，… 年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.

4 3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5.

5 4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列： 10072，10144，10216，10288，10360.

6 问题1：观察一下上面的这四个数列： ① ② ③ ④ 0, 5, 10, 15, 20 48, 53, 58, 63 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 10072, 10144, 10216, 10288, 10360 这些数列有什么共同特点呢？ 以上四个数列从第2项起，每一项与 前一项的差都等于同一个常数

7 an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数 （ an+1-an = d n∈N+ ）
二、新课讲解 （一）等差数列的定义： 1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列; 这个常数叫做等差数列的公差， 公差常用字母d表示。 2.等差数列定义的符号语言： an-an-1=d， ( n≥2 )，其中d为常数 （ an+1-an = d n∈N+ ）

8 如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：
数列 为等差数列

9 a1=1,d=2 a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 a1=3,d=0 不是 不是 练 习
练 习 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 a1=1,d=2 （1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3… （3）-8，-6，-4，-2，0，… （4）3，3，3，3，… 是 a1=9,d=-3 是 a1=-8,d=2 是 是 a1=3,d=0 小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断： an+1-an是不是同一个常数？ 不是 （6）15，12，10，8，6，… 不是

10 等差数列 1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数，也可以是０和负数。
你注意到了吗？ 等差数列 1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数，也可以是０和负数。

11 等差中项 如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知： 不难发现，在一个等差数列中，从第
2项起，每一项（有穷数列的末项除外） 都是它的前一项与后一项的等差中项.

12 数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项. 求出下列等差数列中的未知项 (1):3, a, 5; (2):3, b, c,-9;

13 练习 填空题 (1)等差数列8，5，2，…，的第5项是_____; (2)已知等差数列-5，-9，-13，… ,则d=____; 递推公式是___________; 通项公式是_________. -4 -4 an= -4n-1 (3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;

14 二、新课讲解 （二）等差数列的通项公式： 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则 an=a1+(n-1)d 课本P39.1，2

15 例1. (1)等差数列8，5，2,······的第20项是几？ (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？
三、例题 例1. (1)等差数列8，5，2,······的第20项是几？ (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？ 如果是，是第几项？ 解： （1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3 ∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49 　（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401 ∵an=a1+(n-1)d ∴-401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100 ∴-401是这个数列的第100项

16 三、例题 例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元. 所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。 那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费   a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2 答：需要支付车费23.2元。

17 例3：已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数且p≠0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断．
是一个等差数列 证：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1 (n≥2) ，则 ∵p是一个与n无关的常数 ∴{an}是一个等差数列 1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数) 证明：an+1-an= 常数. 2.证明数列{an}是等差数列的方法: 3.等差数列{an}的通项公式为an=p n+q 的图象的特征是 ; 数列的公差的几何意义是: 各项对应的点在同一条直线上. 各项对应的点所在直线的斜率.

18 练习1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
解：由题意得： 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得： 学案P66.例1，变式 ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3. 注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n,d这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。

19 三、例题 练习2. 在等差数列{an}中， （1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10 解：a10=a1+9d=2+9×3=29 （2）已知a1=3，an=21，d=2，求n 解：∵21=3+(n-1)×2 ∴n=10 （3）已知a1=12，a6=27，求d 解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d ∴ d=3 （4）已知d=-1/3，a7=8，求a1 解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3) ∴a1=10

20 二、例题 例4.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70 等差数列通项公式的另一种形式 an=am+(n-m)d 例.a10=a d， a32=a d. 5 －67

21 三、新课 等差数列的常用性质1 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 (1) an=am+(n-m)d 2. 若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2， b3，y各成等差数列，那么 练习:1. 等差数列{an}中, a2=－5, a6= a3 +6,则a1 =_______ －7

22 练习 1. 在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则 插入这7个数中的第4个数的值为______ 2. 若{an}为等差数列,ap= q, aq=p(p ≠q),则ap+q= ______ 3. 在等差数列{an}中,已知am+n=A, am-n=B,则a2m = _____ 15

23 如何判断一个数列为等差数列

24 (3) 已知数列{an}是等差数列， 求证：数列{an+an+1} 也是等差数列. （4）证明：若数列 与 是等差数列， 是等差数列吗？

25 （4）去掉前几项后余下的数列是等差数列吗？奇数项数列和偶数项数列仍是等差数列吗？
等差数列的常用性质2 若 是公差为 的等差数列,则下列数列: (1) (c为任一常数)是公差为 的等差数列 (2) (c为任一常数)是公差为 的等差数列 (3) (k为任一常数, )是公差为 的等差数列 （4）去掉前几项后余下的数列是等差数列吗？奇数项数列和偶数项数列仍是等差数列吗？ 若 分别是公差为 的等差数列,则数 列 (p、q是常数)是公差为 的等差数列

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27 等差数列的常用性质2 已知数列 为等差数列，那么有 若 成等差数列，则 成等差数列. 证明：根据等差数列的定义， 即 成等差数列. 如 成等差数列， 成等差数列. 推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）

28 推论： 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an am+1，am+2，……an是等差数列
等差数列的常用性质2 推论： 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？ am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+1，公差为d，项数为n-m

29 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an a1，a3，a5，……是等差数列 首项为a1，公差为2d
等差数列的常用性质2 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？ a1，a3，a5，……是等差数列 首项为a1，公差为2d 取出的是所有偶数项呢？ a2，a4，a6，……是等差数列 首项为a2，公差为2d

30 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an a7，a14，a21，……是等差数列 首项为a7，公差为7d
等差数列的常用性质2 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？ a7，a14，a21，……是等差数列 首项为a7，公差为7d 取出的是所有k倍数的项呢？ ak，a2k，a3k，……是等差数列 首项为ak，公差为kd

31 （4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？
等差数列的常用性质2 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an （4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？ a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为2d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是 等差数列吗？公差是多少？ a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列， 公差为3d。

32 等差数列的常用性质2 例：

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34 (4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
等差数列的常用性质3 注意：逆命题是不一定成立的； 例3 .在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值． 练习.在等差数列{an}中， (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20 (2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8 (3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？ 10 15 不能 (4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. d= _2 a14= _3 d= 2 a14= 31 或

35 × × 与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 和，即 判断： √ 可推广到三项，四项等 注意：等式两边作和的项数必须一样多 √ √
等差数列的常用性质3推论 与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 和，即 判断： √ 可推广到三项，四项等 注意：等式两边作和的项数必须一样多 × √ √ ×

36 二、例题 例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数. 解：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则 (a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12 ∴a=4 又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12 解得 d=±2 ∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6 当d=-2时，这三个数分别为6，4，2 练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数 学案P69例1

37 设项技巧： （1）若有三个数成等差数列，则可设为 （2）若有四个数成等差数列，则可设为 （3）若有五个数成等差数列，则可设为
例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数. 练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数 设项技巧： 等差数列的常用性质4 （1）若有三个数成等差数列，则可设为 （2）若有四个数成等差数列，则可设为 （3）若有五个数成等差数列，则可设为

38 练习 (3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________; 方法1：∵由等差数列的定义可得 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d …… an=an-1+d=a1+(n-1)d ∴ 不完全归纳法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d

39 练习 (3)已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________; 方法2：∵由等差数列的定义可得 叠加法 a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n>1) 上述各式两边同时相加，得 an-a1=(n-1)d 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d

40 练习：

41 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=
构造等差数列 1.已知 ，求 的值。 解: 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= 7. -35 d=an+1—an=4

42 构造等差数列 3、 4、

43 学案P70例2换元法求通项公式：

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45 五、小结 1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数) 2.判断等差数列的方法: (定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数 (中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系 3.等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 (1) an=am+(n-m)d

46 作业3.14 作业本：课本P40.1，3 学案3.2.1

47 作业3.15 学案3.2.2 1.已知{an}是等差数列， a5=10，a8=16，求a15 ；
2.已知an是公差为d的等差数列，证 (c为任一常数)是公差为 的等差数列 3.已知数列 为等差数列,且满足 学案3.2.2

48 作业3.16

49 作业3.17

50 五、小结 3. 等差数列的性质 an+1- an=d {an}为等差数列  an+1=an+d   an= a1+(n-1) d 
1.定义：an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) 2. 通项公式 an =a1+(n-1)d 3. 等差数列的性质 an+1- an=d {an}为等差数列   an+1=an+d  an= a1+(n-1) d   an= kn + b （k、b为常数）