第六章 弹性力学问题求解 — 二维平面问题1.

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1 第六章 弹性力学问题求解 — 二维平面问题1

2 6.1 平面应变问题 水坝问题

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4 (将应力分量代入三维方程得)

5 可由此求得 便于和平面应力对比

6 注意到: 代入应变的协调方程 得

7 对两个力的平衡方程分别作 和 , 并相加得 代入应变协调方程得: 最终得平面应变问题的应力协调方程

8 因此使用应力为未知数表达的平面应变问题的基本方程为：
求出 后再利用 得 方程加边界条件构成平面应变的定解问题

9 6.2 平面应力问题

10 平面应力 与平面应变 条件对比:

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12 与平面应变 平衡方程相同

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14 整理得： 方程加边界条件构成平面应力的定解问题

15 其中：

16 6.3 体力为常数时的平面问题描述 （对平面应力和平面应变问题都成立） 重要特征：方程中不含弹性常数（材料性质）
只要边界形状相同，受到外力分布相同

17 为工程计算和模拟试验带来极大的方便：

18 平衡方程 首先给定一个简单的非零特解，满足方程组：

19 普塞和凯 显然这两个未知函数满足奇次方程组，并且要求 则该未知函数U满足奇次方程组

20 使用U表示的奇次方程组的通解为： 所以体力为常数时，平面问题的通解为： （艾瑞）

21 将U表示的应力分量代入应力协调方程 得到： (调和函数的定义 )

22 无体力时的平面问题求解：

23 负号因为x2方向向上

24 全微分形式的展开

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27 得到U在边界上的表达式

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29 由之前推导( 为n和e1的夹角): 而

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31 例：

32 应力为: 边界条件表达式为: 从原点积分消去该项 处 在 注意ds 的积分路径沿上边界逆时针

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34 6.4 使用多项式应力函数解平面问题

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36 该式

37 二次和三次多项式中单项物理含义

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40 例1: 集中力作用下的悬臂梁弯曲问题 试解法: 先取

41 根据前面对各多项式代表的应力状态的分析

42 有 （剪切力与外力平衡） 有 并考虑

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45 并将u,v的表达式代入得

46 对两式分别积分得: 则: 由上面得到的: 以及边界条件:

47 解得: 最后得:

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49 例2: 均匀分布载荷作用下的悬臂梁弯曲问题

50 同样可以进一步的求得各点的位移

51 例3: 求水坝坝体中的应力分布

52 猜解

53 由边界条件：

54 将上面的应力表达式代入得：

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56 坝底面的应力和基底相连，和解析解不同， 但根据圣维南原理，这种影响是局部的，
离底面远的区域，这种影响可以忽略。

57 6.5 使用傅立叶级数应力函数解平面问题

58 其中双曲函数sh和ch为: 也可写为sinh和cosh

59 正弦函数和余弦函数的应力函数的线性组合也应该满足应力协调方程:

60 双曲函数微分性质: 可以将任意受力情况使用傅立叶展开,应用该通解形式

61 6.6 平面应力问题解的近似性

62 既满足平衡方程 又满足所有的协调方程(以应力表示)

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66 因此得:

67 由 和

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69 我们用例子来估计这种差别的 量级 :

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71 课程作业四 问题1:

72 问题2: 使用多项式应力函数法求解均匀 加载的悬臂梁弯曲问题.
可以与一维问题的解进行对比.