第五节 对坐标的曲面积分 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分的联系.

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1 第五节 对坐标的曲面积分 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分的联系

2 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

3 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面

4 典型单侧曲面: 莫比乌斯带

5 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 封闭曲面 > 0 为前侧 < 0 为后侧 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 • 设  为有向曲面, 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定

6 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量.

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8 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 .

9 2. 求和

10 3.取极限

11 三、概念及性质

12 被积函数 积分曲面 类似可定义

13 2、存在条件: 3、组合形式:

14 5、性质:

15 四、计算法

16 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.

17 例1. 计算 其中  是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧.

18 例2

19 例3. 设S 是球面 的外侧 , 计算

20 五、两类曲面积分之间的联系

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22 两类曲面积分之间的联系

23 两类曲面积分之间的联系的用处-化为同一类型的积分

24

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26 解

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28 例5. 设 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解:

29 六、小结 计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号”

30 思考题

31 作业 P228. 2,3,4