电磁学中的若干问题的初等数学建模解法 ——许峰 大家都知道，解物理题的过程中构建模型是关键。选择好的物理模型不但物理含义清晰，而且解法简洁。

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1 电磁学中的若干问题的初等数学建模解法 ——许峰 大家都知道，解物理题的过程中构建模型是关键。选择好的物理模型不但物理含义清晰，而且解法简洁。

2 1、求线电荷密度为λ，长为l的直线带电体在中垂线上，距离带电体为d处的场强大小。
此题若用微积分解自然非常方便快捷，但用初等模型也可以解决。且物理含义非常明确。 AB是关于中垂线OC对称，故只要考虑各微元在CO方向的分量即可。

3 我们先来构建一圆弧A‘B’。连接OA、OB，以OC为半径作圆，交AO于点A‘，交BO于点B’。在AB上任取一微元mn,连接mO,nO，交 于点m‘、n’。过n点作om的垂线，垂足为点h.
现考察微元mn在O点处产生的场强在CO方向贡献Δ ： ΔE 与水平线成α角， 不难得出 Δ =

4 再考察m’n’在O点处产生的场强在CO方向的贡献
根据相似三角形有 得Δ = 我们可以得到Δ = Δ 。这也就是说mn和m’n’于O处在CO方向上产生的场强是相等的.从而推出.A’B’与AB在O点出产生的场强是相等的.这也就是说AB在O点产生的场强完全可以用A’B’来等效。

5 特别地 ,当AB趋于无限长,此时对应的弧A’B’是个半圆,该半圆在圆O处产生的场强与无限长直带电体在距离d处产生的场强吻合,这也体现这个等效正确性.
然而等效后的AB与A’B’并不是在空间内场强处处等效,确切地说只是在O点而已..所以这里需要注意,不要犯如下错误:例如求C点强场,并不是等效成如图1,而应是等效成图2.始终保持所求点处于等效圆弧的中心. 图1 图2

6 2、一无限长均匀带电圆柱面，半径为a,面电荷密度为δ，沿轴线将其切成两半，求其中一半单位长度所受的斥力。
如果说前面一道题目运用建模解法只是物理含义比较清晰的话，那么这道题目则将该解法比较与微积分求解的优越性体现得淋漓尽致。

7 这也就是说2个半圆柱面之间的斥力可以等效为2块无限大面电荷之间的斥力。
那么F= 取在圆柱取长度l，那么长度为l的半圆柱面，包含电荷Q=δS 此处S的大小应为长度为l的半圆柱面的投影 即S=2al （此处S为什么不是2 al请读者自行思考） 代入F得到单位长度所受斥力

8 3、一带电壳,面电荷密度为δ=acosθ.求距离圆心r处的电场强度.(r<R)
不难看出,这实际上电荷极化的模型,如果运用电荷计划的理论,固然简洁方便,但却忽略电荷极化的物理机理. 我们先来看这样一个模型: 构建两个均匀带电球体,体电荷分别为是+ρ、-ρ，且两个带电球重合。现将两球拉开一微小距离d 那么在该系统的外表面出现薄薄的一层电荷，现考察这层电荷分布规律。

9 放大观察，取微小面积元s，那么微小体积元V=sd’(近似为长方体）,
d’=dcos θ V=dscos θ 假设该长方体的电荷全等效在s上，有 Vρ=δs 得到 δ=d ρcos θ 不妨设d ρ=a得到 δ =acos θ 这与次题的题设是一样的。这也就是说：这个双球模型所得到的系统电荷分布是与题设一样，那么空间中的电场分布也是等效的。 然而要求两个均匀带电球体在空间中某处的场强是异常简单的，这里就不多述。

10 总结： 1、与其说构建类似模型是为了解决物理问题，倒不如说是在解决过程中的数学问题。其功能不外乎是构建一些低级模型的组合来避免数学上一些高级的运算（如积分）。此外，物理模型构建还能解决许多数学上的问题。如：杠杆方法求解几何比例问题等。 2、此类模型法使用起来简单明了，但要创建一种新模型却需要一段过程，需要对物理过程地更深层的理解。 3、局限性。并不是所有物理问题均有如此简单的模型，且一种模型也只能使用在一类问题上。