抛物线的几何性质.

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1 抛物线的几何性质

2 x∈R y≥0 x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≤0 x∈R
方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦的长度 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O x∈R y≥0 x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≤0 x∈R 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0）

3 y O x B A

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6 例2、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.
y O y2=2px A B L:x=2p C(2p,0) 证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OA⊥OB 变题1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB. x y O y2=2px A B l C(2p,0) 证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p 所以OA⊥OB. 代入y2=2px得， 可知 又

7 y2 = 2px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为 直径作圆C(C为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。
变题2： 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点， 且OA⊥OB ，则__________ 直线l过定点(2p,0) 验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OA⊥OB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所以直线过定点（2p,0). x y O y2=2px A B l P(2p,0) 高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与 y2 = 2px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为 直径作圆C(C为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。

8 变题3：若过O 引AB的垂线，垂足为H，求H的
轨迹方程 变题4：若AB的中点为M，求M的轨迹方程。

9 例3：.经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，则
系是怎么？

10 变题1.经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2,过P1,P2分别作准线的垂线,垂足分别是M,N,以线段MN 为直径的圆有什么性质？

11 变题2.经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，通过点P1和抛物线顶点的直线交准线于点N，求证：直线NP2平行于抛物线的对称轴。

12 高考链接.(2001年全国理科题) 设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛 物线的准线上，且BC//x轴.证明直线AC经 过原点O.