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3．1.3 导数的几何意义
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1.理解函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数与函数y＝f(x)图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．
2.已知函数解析式，会求函数在点(x0，y0)处切线的斜率，能求过点(x0，y0)的切线的方程.
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1.根据导数的几何意义，求函数在点(x0，y0)处的切线的方程．(重点)
2.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点)
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1．平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？
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2．如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？
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3.设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关系？与f′(x0)有什么关系？
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1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率
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切线 f′(x0)
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(2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
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1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案： B
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2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2 答案： C
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3．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．
答案： 4x＋y＋1＝0
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4．已知曲线y＝3x2，求在点A(1,3)处的曲线的切线方程．
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[策略点睛]
![[策略点睛]](http://slidesplayer.com/slide/16687946/96/images/18/%5B%E7%AD%96%E7%95%A5%E7%82%B9%E7%9D%9B%5D.jpg "[策略点睛]")
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[题后感悟] (1)已知曲线的切点P(x0，y0)，怎样求曲线的切线方程？
①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，得切线的斜率k＝f′(x0)； ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
![[题后感悟] (1)已知曲线的切点P(x0，y0)，怎样求曲线的切线方程？](http://slidesplayer.com/slide/16687946/96/images/20/%5B%E9%A2%98%E5%90%8E%E6%84%9F%E6%82%9F%5D+%281%29%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%9A%84%E5%88%87%E7%82%B9P%28x0%EF%BC%8Cy0%29%EF%BC%8C%E6%80%8E%E6%A0%B7%E6%B1%82%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9F.jpg "①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，得切线的斜率k＝f′(x0)； ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．")
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(2)注意事项 ①求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P处的切线，点P必为切点，且在曲线上； ②若曲线y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或不存在；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行．
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1.求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．
由y＝x3＋2x－1得 Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1 ＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.
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求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
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[题后感悟] (1)求曲线的切线方程的类型：
![[题后感悟] (1)求曲线的切线方程的类型：](http://slidesplayer.com/slide/16687946/96/images/28/%5B%E9%A2%98%E5%90%8E%E6%84%9F%E6%82%9F%5D+%281%29%E6%B1%82%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E7%B1%BB%E5%9E%8B%EF%BC%9A.jpg "[题后感悟] (1)求曲线的切线方程的类型：")
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(2)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：
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2.已知曲线y＝3x2，求过点B(1，－9)的曲线的切线方程．
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在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 分别求出该点的坐标．
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[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．
![[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．](http://slidesplayer.com/slide/16687946/96/images/36/%5B%E9%A2%98%E5%90%8E%E6%84%9F%E6%82%9F%5D+%E8%A7%A3%E5%86%B3%E6%AD%A4%E7%B1%BB%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%8C%E5%85%B3%E9%94%AE%E6%98%AF%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%AF%BC%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%84%8F%E4%B9%89%E6%B1%82%E5%87%BA%E8%BF%87%E5%88%87%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E7%9A%84%E6%96%9C%E7%8E%87%EF%BC%8C%E7%BB%93%E5%90%88%E9%A2%98%E6%84%8F%E5%88%97%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8C%E6%B1%82%E5%87%BA%E5%88%87%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%EF%BC%8E%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BF%87%E7%A8%8B%E5%BA%94%E8%AE%A4%E7%9C%9F%E9%A2%86%E4%BC%9A%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E8%BD%AC%E5%8C%96%E6%80%9D%E6%83%B3%E3%80%81%E5%BE%85%E5%AE%9A%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%B3%95%EF%BC%8E.jpg "[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．")
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3.已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
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利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
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[特别提醒] (1)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行．f′(x0)＞0，切线与x轴正向夹角为锐角，f′(x0)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．
![[特别提醒] (1)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行．f′(x0)＞0，切线与x轴正向夹角为锐角，f′(x0)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．](http://slidesplayer.com/slide/16687946/96/images/41/%5B%E7%89%B9%E5%88%AB%E6%8F%90%E9%86%92%5D+%281%29%E8%8B%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%EF%BC%9Df%28x%29%E5%9C%A8%E7%82%B9P%28x0%EF%BC%8Cf%28x0%29%29%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%AF%BC%E6%95%B0f%E2%80%B2%28x0%29%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%EF%BC%8C%E5%B0%B1%E6%98%AF%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ey%E8%BD%B4%E5%B9%B3%E8%A1%8C%EF%BC%8Ef%E2%80%B2%28x0%29%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E6%AD%A3%E5%90%91%E5%A4%B9%E8%A7%92%E4%B8%BA%E9%94%90%E8%A7%92%EF%BC%8Cf%E2%80%B2%28x0%29%EF%BC%9C0%EF%BC%8C%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E6%AD%A3%E5%90%91%E5%A4%B9%E8%A7%92%E4%B8%BA%E9%92%9D%E8%A7%92%EF%BC%9Bf%E2%80%B2%28x0%29%EF%BC%9D0%EF%BC%8C%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E5%B9%B3%E8%A1%8C%EF%BC%8E.jpg "(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．")
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◎试求过点P(3,5)且与y＝x2相切的直线方程．
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【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．
【正解】 f′(x)＝2x(解法同上)，设所求切线的切点为A(x0，y0)， 因为点A在曲线y＝x2上，所以y0＝x， 又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率为f′(x0)＝2x0，
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从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)， 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10， 因此所求的切线有两条， 方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
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练考题、验能力、轻巧夺冠
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